Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 257
Скачиваний: 0
91
ется та часть рассеивания результативного признака, которую нельзя объяснить действием наблюдаемого признака.
Пример 53. Построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии по данным примера 51.
Решение. Уравнение теоретической линии регрессии имеет вид y = rв SS((xy))(x − x)+ y ,
где: x = hxu +C x = 2,2 (−0,04)+14,8 =14,792, y = hyv +C y = 6,3 0,24 +22,45 = 23,962 ,
S(x)= hx S(u)≈ 2,2 1,549 ≈ 3,408,
S(y)= hy S(v)≈ 6,3 1,422 ≈8,959 . Тогда уравнение регрессии име-
ет вид y = 0,854 83,,959408 (x −14,792)+23,962 или y = 2,245x −9,245.
Для построения возьмём точки (8,2;9,2) и (21,4;38,8). При по-
строении эмпирической линии регрессии используем точки вида (xi ; yi ), где значения yi находятся по формуле yi = hyvi +C y .
Получаем y1 = −2 6,3 +22,45 = 9,85,
y2 = −1,5 6,3 + 22,45 =13, y3 = −0,5 6,3 +22,45 =19,3, y4 = 0,5 6,3 +22,45 = 25,6 , y5 = 6,3 +22,45 = 28,75,
y6 = 43 6,3 +22,45 = 30,85 , y7 = 83 6,3 +22,45 = 39,25 . Построим на
плоскости точки с координатами (8,2;9,9), (10,4;13), (12,6;19,3),
(14,8;25,6), (17;28,8), (19,2;30,9), (21,4;39,3) и, соединив их в по-
рядке возрастания х, получим эмпирическую линию регрессии.
50
40
30
20
10
0
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
92
59. Значимость коэффициентов регрессии Проверить значимость оценок коэффициентов регрессии –
значит установить, достаточна ли величина оценки для статистически обоснованного вывода о том, что коэффициенты регрессии отличны от нуля. Для этого проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициентов регрессии, соблюдая предпосылки нормальной регрессии.
Вычисляем статистику t = |
|
b |
|
, которая имеет k = n −2 сте- |
|
Sb |
|||||
|
|
|
|||
пеней свободы, b – оценка коэффициента регрессии, Sb - оценка
среднего квадратического отклонения коэффициента, иначе стандартная ошибка оценки. По уровню значимости и числу степеней свободы по таблице находят tα ,k . Если t > tα ,k , то гипотезу о ра-
венстве нулю коэффициента регрессии отвергают, следовательно при заданном уровне значимости коэффициент регрессии значим. Оценки среднего квадратического отклонения находятся по фор-
мулам Sb |
= |
Sост |
, |
Sb = |
Sост |
, где S(x)= |
|
1 |
∑(xi − x)2 |
|
S(x) n − 2 |
n |
|||||||||
0 |
|
n −2 |
|
1 |
|
|
|
и Sост2 = n 1−2 ∑(yi − y(xi ))2 .
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии находятся по формулам b −tα ,k Sb < β < b +tα ,k Sb .
Пример 54. Найти коэффициенты регрессии, проверить их значимость и построить доверительные интервалы при уровне значимости α = 0,05 по данной выборке
xi |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
||||
yi |
|
7 |
|
9 |
11 |
|
15 |
|
15 |
|
19 |
20 |
23 |
24 |
27 |
|
|||||
|
|
|
|
Решение. Найдём коэффициенты регрессии по формулам |
|||||||||||||||||
β |
= |
|
|
xy − x y |
и β |
0 |
= y − β |
1 |
x . |
Вычислим значения входящих в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
x2 −(x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
формулы величин:
x = n1 ∑xi =101 (1+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10)= 5,5,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
|||
y = |
1 |
|
∑ yi |
= |
1 |
(7 +9 +11+15 +15 +19 +20 +23 +24 +27)=17 , |
|||||||
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
(12 |
+22 +32 +42 +52 +62 +72 +82 +92 +102 )= 38,5 , |
||||
x2 |
|
|
|
||||||||||
10 |
|||||||||||||
|
|
|
|
(72 |
+92 +112 +152 +152 +192 +202 +232 +242 +272 )=329,6, |
||||||||
|
= |
|
|
|
1 |
|
|||||||
y2 |
|
|
|
||||||||||
10 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xy =101 (7 +2 9 +3 11+4 15 +5 15 +6 19 +7 20 +8 23+9 24 +270)= =111,1.
Тогда β = |
111,1−5,5 17 |
≈ 2,13 и β |
0 |
=17 −2,13 5,5 ≈ 5,27 , следова- |
||
|
||||||
1 |
38 |
,5 |
−5,52 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
тельно, уравнение регрессии имеет вид y = 2,13x +5,27 . Проверим значимость коэффициентов регрессии. Для этого вычислим
S(x)= x2 −(x)2 = 38,5 −5,52 ≈ 2,872 . Найдём y(xi ), используя уравнение регрессии
y(1)≈ 7,4; y(2)≈ 9,53; y(3)≈11,66; y(4)≈13,79;
y(5)≈15,92; y(6)≈18,05; y(7)≈ 20,18; y(8)≈ 22,31; y(9)≈ 24,44; y(10)≈ 26,57 . Найдём остаточную дисперсию по формуле
S2 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
∑(y −y(x ))2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ост |
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
1 |
(0,42 +0,532 +0,662 +1,212 +0,922 +0,952 +0,182 +0,692 +0,442 +0,432)≈ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈0,622 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sост |
= 0,7887 |
|
|||||||||||
Вычислим |
|
Sост ≈ 0,7887 , |
тогда Sb |
= |
≈ 0,279 и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Sост |
= 0,7887 |
|
|
0 |
|
n − 2 |
8 |
|
|||||||||||||
Sb |
|
= |
|
|
≈ 0,097 . |
|
Статистики |
равны |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
S(x) |
|
|
|
|
n − 2 |
2,872 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
t |
0 |
= |
|
β0 |
|
= |
|
|
5,27 |
|
|
≈18,9 |
и |
t = |
|
β1 |
|
|
= |
2,13 |
≈ 21,96 . По таблице |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Sb |
|
|
|
|
|
0,279 |
|
|
|
|
1 |
|
Sb |
|
0,097 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
tкр(8; 0,05)= 2,31. |
Так как |
||||
(см. |
|
приложение |
|
табл. |
5) |
находим |
|||||||||||||||||||||||
t0 > tкр и t1 > tкр, то оба коэффициента значимы. Доверительный интервал для b0 имеет вид
|
|
94 |
|
|
|
5,27 − 0,279 2,31 < b0 < 5,27 + 0,279 2,31 |
или |
4,626 < b0 < 5,914 . |
|||
Доверительный |
интервал |
для |
b1 |
имеет |
вид |
2,13 − 0,097 2,31 < b1 < 2,13 + 0,097 2,31 или 1,906 < b1 < 2,354 . |
|
||||
60. Корреляционное отношение На практике часто предпосылки корреляционного анализа
нарушаются: один из признаков оказывается неслучайным, или признаки не имеют нормального распределения. Однако статистическая связь между ними существует. Для изучения связи между ними в этом случае существует показатель зависимости признаков, основанный на показателе изменчивости общей (или полной) дисперсии.
Полной называется дисперсия признака относительно его
математического ожидания. Так |
для признака У это |
σ 2y = M (Y − M (y))2. Дисперсию σ 2y |
можно разложить на две со- |
ставляющие, одна из которых характеризует влияние фактора Х на У, другая - влияние прочих факторов. Очевидно, чем меньше влияние прочих факторов, тем теснее связь, тем более приближается она к функциональной.
По выборочным данным рассчитываем выборочное корреля-
S 2y
ционное отношение η2 = |
|
x |
, где |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
S 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2 |
|
∑ y2m y |
|
∑ yi m y |
|
2 |
|
|
|
1 |
∑(y(x |
)− y)2 m |
|
|
= |
i |
− |
|
|
и S |
y |
= |
|
x |
. Зна- |
||||
|
|
|
||||||||||||
y |
|
∑m y |
|
∑m y |
|
|
|
|
∑m |
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
чения η2 лежащие в интервале 0 ≤η2 ≤1, являются показателями тесноты группировки точек около кривой регрессии независимо
от её вида (формы связи). Корреляционное отношение η2 связано с r 2 следующим образом: 0 ≤ r 2 ≤η2 ≤1. В случае линейной зависимости между переменными: r 2 =η2.
95
Задачи для самостоятельной работы Задача 1 Сколькими способами из 8 человек можно избрать
комиссию: а) в составе трёх человек; б) составе председателя, его заместителяисекретаря?
Задача 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырём; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что разность равна четырём; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырём.
Задача 3. а) Каждая из букв т, м, р, о, ш написана на одной из пяти карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово «шторм»? б) Из букв разрезанной азбуки составлено слово «ремонт». Перемешаем карточки, затем, вытаскивая их наудачу, кладём в порядке вытаскивания. Какова вероятность того, что при этом получится слово «море»?
Задача 4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.
Задача 5. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».
Задача 6. Из колоды в 52 карты вынимаются наудачу три карты. Найти вероятность того, что это тройка, семёрка, туз.
Задача 7. За круглым столом сидят 5 мужчин и 5 женщин. Какова вероятность того, что два лица одинакового пола не сидят рядом, если места занимаются случайно?
Задача 8. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Задача 9. Колоду карт, состоящую из 36 карт, наудачу разделяют на две равные части. Чему равна вероятность того, что в обеих частях окажется по равному числу красных и чёрных карт?
Задача 10. В урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся чёрными.
Задача 11. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Най-
96
ти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
Задача 12. На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.
Задача 13. В группе 12 студентов, среди которых 8 троечников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять троечников.
Задача 14. В шкафу находится 10 пар ботинок различных сортов. Из них случайно выбирается 4 ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные..
Задача 15. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.
Задача 16. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами 50 м и 30 м. На территории имеется 4 круглых нефтебака, диаметром 10 м каждый. Какова вероятность поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбывлюбуюточку равновероятно.
Задача 17. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, чтоточка, брошенная наудачу вкруг, окажется внутриквадрата?
Задача 18. Наудачу взяты два положительных числа x и y , каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того,
что произведение x y будет не больше единицы, а частное y x
не больше двух.
Задача 19. Найти вероятность того, что из трёх отрезков не превосходящих по длине а можно построить треугольник.
Задача 20. Два стрелка стреляют в цель и делают по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,5, вторым - 0,7. Какова вероятность того, что оба стрелка попадут в цель?
Задача 21. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Задача 22. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность то-