Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf

25

2.Постоянный множитель случайной величины можно выно-

сить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квад-

рат D(cx)= c2 D(x).

Доказательство. По свойствам математического ожидания

D(cx)= M[cX − M (cx)]2 = M[cX −cM(x)]2 = M [c2 (X − M (x))2 ]= = c2 M[X − M (x)]2 = c2 D(x).

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания М(X +Y )= M (x)+ M (y), диспер-

сию случайной величины X +Y можно выразить следующим об-

разом: D[X +Y ]= M[X +Y −M(X +Y )]2 = M[X −M(x)+Y −M(y)]2 .

Представим выражение в квадратных скобках в виде двучлена и запишем квадрат его суммы. Используя свойства математического ожидания суммы и произведения двух независимых случайных величин, получаем

D[X +Y]=M[X −M(x)]2 +2M[X −M(x)]M[Y −M(y)]+M[Y −M(y)]2.

Согласно свойству 5 математического ожидания, второе слагаемое равно нулю, следовательно: D[X +Y ]= D(x)+ D(y).

4.Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, D[X −Y ]= D(x)+ D(y).

Доказательство. На основании свойства 3 можно записать D[X −Y ]= D(x)+ D(− y). Согласно свойству 2 имеем

D[X −Y ]= D(x)+(−1)2 D(y)= D(x)+ D(y).

5.Дисперсия случайной величины Х, равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х

и квадратом её математического ожидания,

D(x)= M (x2 )−[M (x)]2 .

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем

D(x)= M[X − M (x)]2 = M [X 2 −2XM (x)+(M (x))2 ]= = M (x2 )−2M (x)M (x)+(M (x))2 = M (x2 )−[M (x)]2 .

26

Пример 23. Найти дисперсию для распределения непрерывной случайной величины, заданной в примере 21.

Решение. В примере 21 было найдено математическое ожидание M (x)=1. Для нахождения дисперсии используем её 5 свой-

ство. Вычислим

Тогда дисперсия равна D(x)= M(x2 )−[M(x)]2 =π −2 −1=π −3.

Пример 24. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение для дискретной случайной величины, имеющей ряд рас-

Решение. Математическое ожидание для этого распределения найдено в примере 22, и оно равно M (x)=1,7 . Для нахожде-

ния дисперсии вычислим

M(x2)=∑xi pi =02 0,1+12 0,3+22 0,4+32 0,2=3,7. Тогда дисперсия равна D(x)= 3,7 −1,72 = 0,81. Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле σ x = D(x)= 0,81 = 0,9 .

Пример 25. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х1 и х2, причём х1<х2. Вероятность того, что Х примет значение х1, равна 0,5. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание M (x)= 4 и D(x)=1.

Решение. Используя условие нормировки p1 + p2 =1, найдём p2 =1− p1 =1−0,5 = 0,5. Так как M (x)= x1 p1 + x2 p2 , то

27

0,5x1 +0,5x2 = 4 или x1 + x2 =8 x2 =8 − x1. По пятому свойству дисперсии D(x)= M (x2 )−(M (x))2 , где

x2,1 = 5 и x2,2 = 3. По условию задачи х1<х2, следовательно: х1=3

19. Начальные и центральные моменты

О.1. Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины Xk,

νk = M (X k ).

Начальный момент для дискретной случайной величины

νk = ∑ xik pi .

Начальный момент для непрерывной случайной величины

νk = ∞∫ xk f (x)dx .

−∞

О.2. Центральным моментом k-го порядка случайной вели-

чины называют математическое ожидание величины [X − M (x)]k ,

µk = M[X − M (x)]k .

Центральный момент для дискретной случайной величины

µk = ∑(xi − M (x))k pi .

Центральный момент для непрерывной случайной величины

µk = ∞∫(x − M (x))k f (x)dx .

−∞

Соотношения между начальными и центральными моментами

µ4 =ν4 −4ν3ν1 +6ν2ν12 −3ν14 .

28

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание ν1 = M (x), а центральный момент второго

порядка дисперсию случайной величины µ2 = D(x).

О.3. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распреде-

ления (коэффициент асимметрии) A = µ3 σ 3x .

О.4. Нормированный центральный момент четвёртого порядка служит характеристикой островершинности или плосковер-

шинности распределения (эксцесс), E = µ4 −3.

σ x4

Пример 26. Случайная величина Х задана плотностью рас-

Найти коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Решение. Площадь, ограниченная плотностью распределе-

что эта площадь должна быть равна единице, находим a = 83 .

Найдём начальные моменты.