Файл: Т.С. Жирнова Дифференциальные уравнения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по курсу

«Математика» для студентов технических направлений

Составитель Т.С. Жирнова

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 4 от 22. 02. 01

Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 150200 Протокол № 5 от 05. 03. 01

Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2001

1

Введение

Методические указания рассчитаны на проведение практических занятий и организацию самостоятельной работы студентов по овладению различными методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В начале каждого раздела методических указаний помещены некоторые определения, формулы, краткие сведения по теории и рекомендации, необходимые для решения последующих задач, а затем приведены подробные примерные решения типичных задач.

Для изучения и освоения данной темы необходимо знание основных разделов математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление. Теоретические основы для решения дифференциальных уравнений можно найти в учебном пособии В.М. Волкова, Е.А. Волковой, В.А. Гоголина и др. «Курс высшей математики» ч. 2, выпущенном КузГТУ в 1995 году.

По результатам изучения данного материала рекомендуется выполнить типовой расчёт. На с. 21 приведено содержание рекомендуемых индивидуальных заданий, условия к которым даны далее на с. 2129.

Индивидуальные задания взяты из методической разработки для преподавателей «Дифференциальные уравнения», составленной А.И. Каширцевой, Г.А. Камболиной, И.А. Коршиковой, Л.А. Лукиной, Л.И. Рогожкиной и выпущенной КузПИ в 1983 году.

2

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения, связывающие независимую переменную x, искомую функцию y и её первую производную y′, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F(x,y, y′) = 0 или в разрешённом относительно y′ виде

y′ = f(x,y).

(1.1)

Данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить из этого множества конкретное решение, необходимо задать дополнительное условие. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего условию

y(x0) = y0,

(1.2)

называется задачей Коши. Условие (1.2) называется начальным условием.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (1.1) в области D изменения переменных x, y называется функция y =ϕ(x, c) , обладающая следующими условиями: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной с; 2) для любого начального условия (x0, y0) D существует единственное значение с = с0, при котором решение y =ϕ(x, c0 ) удовлетворяет

условию (1.2).

Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешённом относительно y, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение y =ϕ(x, c0 ) , получающееся из общего решения y =ϕ(x, c) при конкретном значении с = с0, называется частным решением.

1.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

y′ = f1 (x) f2 ( y) .

(1.3)

3

Метод интегрирования этого уравнения с разделяющимися пере-

менными состоит в следующем. Учитывая, что y′ = dydx , разделим пере-

менные в уравнении (1.3), записав его в виде

 

dy

 

 

 

= f1 (x)dx.

 

 

 

 

f2 ( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Почленным интегрированием этого уравнения получаем общий

интеграл уравнения (1.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x+y +3x−2 y y′ = 0.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэф-

фициенты при dx и dy на множители:

 

 

 

 

 

2x 2 y dx +3x 3−2 y dy = 0.

Разделяем переменные, умножая на

2−y 3−x :

2x3−x dx = −3−2 y 2−y dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18−y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−y

 

 

 

 

 

 

 

=

+ c.

и интегрируем:

∫

 

 

dx = −∫18

 

 

dy + c;

 

 

 

 

 

2

 

 

ln18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Решить задачу Коши:

 

 

y′+ y tgx = 0;

 

 

 

 

= −1.

 

 

 

y

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Разделяя переменные и интегрируя, находим сначала

общий интеграл данного уравнения:

 

dy

 

= −tgx dx;

 

 

 

ln

 

y

 

= ln

 

cos x

 

+ln c;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

= c

 

cos x

 

;

y = ±c cos x = c1 cos x .

 

 

 

 

 

x =

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Затем, подставляя в общий интеграл значения

 

 

 

и y = -1, оп-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

ределяем

соответствующее

значение

произвольной

 

постоянной:

−1 = c1 cos π

; c1= -2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя полученное значение с1 в выражение общего интеграла, получаем частное решение данной задачи Коши: y = -2 cosx.

1.2. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде:

 

y

 

y′ =ϕ

 

.

(1.4)

 

 

x

 

4

Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными путём введения вместо функции y новой функции

u = u(x) =

y

;

при этом

y = u x,

y′ = u′ x + u.

Подставляя эти выражения в

x

 

 

 

 

(1.4), мы получаем уравнение:

u′ x +u =ϕ(u); или

u′ = [ϕ(u) −u]

1

,

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое интегрируется путём разделения переменных. Пример 1. Решить уравнение y − xy′ = y(ln x − ln y).

Решение. Вначале установим, что данное уравнение – однородное:

 

′

 

y

 

 

x

 

 

y

=

 

−ln

 

=

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

y

 

y

 

1

+ ln

 

 

=ϕ

 

,

 

 

 

x

 

x

x

затем введём новую функцию

 

 

 

u =

y

,

при этом исходное уравне-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

ние примет следующий вид:

 

u + x

 

 

 

= u(1 + ln u) или

 

 

 

x

= u ln u.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

Разделим переменные:

 

 

 

 

 

du

 

=

dx

и проинтегрируем данное

 

 

 

 

 

u ln u

 

x

 

уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

∫

d (ln u)

 

= ∫

dx

 

+ ln c;

или

ln

 

ln u

 

= ln

 

x

 

+ln c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln u

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потенцируя и исключая вспомогательную переменную u, найдём

искомый общий интеграл.

 

 

 

ln u

 

= c

 

x

 

;

 

u = ec1x ;

y = xec1x .

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Решить задачу Коши:

(x − y) y′ = y;

 

 

y(−1) =1.

Решение. Выяснив, что уравнение однородное:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

− y

1 −

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и полагая u =

 

 

y

,

получим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u + xu′ =

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

x

 

 

 

du

 

 

=

u 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

1 −u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −u

du =

dx

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

1

−ln

 

u

 

= ln

 

x

 

−c

 

 

 

или

1

 

+ ln

 

xu

 

= c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвращаясь к переменной y, находим общий интеграл x = y(c −ln y ).

5

Подставив заданные значения переменных: y = 1 при x = -1, находим, что c = -1. Следовательно, искомый частный интеграл задачи Коши будет иметь вид x = −y(1+ln y ).

 

1.3. Линейные уравнения

Уравнение вида

 

y′+ P(x) y = Q(x)

(1.5)

называется линейным. Если Q(x) ≡0, то уравнение (1.5) называется линейным однородным, а если Q(x) ≠ 0 – линейным неоднородным.

Общее решение линейного однородного уравнения y′+ P(x) y = 0 легко получается разделением переменных:

 

dy

= −P(x)dx;

∫

dy

= −

∫

P(x)dx;

ln

 

y

 

= −

∫

P(x)dx + ln c1 ,

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, наконец:

 

 

y = ±c1e−∫P( x)dx = ce−∫P( x)dx .

 

 

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную, т.е. пола-

гая y = c(x)e−∫P( x)dx , где с(x) − некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция от x. Для нахождения c(x) нужно подставить y в исходное уравнение, что приводит к уравнению

c′(x)e−∫P( x)dx = Q(x).

Отсюда c(x) = ∫Q(x)e∫P( x)dx dx +c2 , где c2 - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y = e

−∫P( x)dx

∫P( x)dx

 

∫Q(x)e

 

dx +c2 .

 

 

 

 

Изложенный метод решения линейных уравнений первого порядка

называется методом вариации произвольной постоянной.

Пример 1. Решить уравнение y′cos2 x + y = tqx.

Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение y′cos2 x + y = 0;

разделив переменные, получим

dy

= −

dx

 

;

ln

 

y

 

= tqx +ln c1 ,

 

 

 

y

2

x

y = ce−tqx .

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
x = c1 y −1−ln y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

Решение

исходного

 

 

неоднородного уравнения ищем в виде

y = c(x)e−tqx , где с(x) - неизвестная функция. При этом

 

′

 

 

′

−tqx

 

 

 

−tqx

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

= c (x)e

 

−c(x)e

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

x

 

 

 

 

 

 

Подставляя y и y′ в исходное уравнение, получим

 

 

 

2

′

 

 

−tqx

 

 

 

 

−tqx

1

 

 

 

2

 

−tqx

 

сos

 

x c (x) e

 

−c(x)

e

 

 

cos

 

x + c(x) e

 

= tqx,

 

 

 

cos2 x

 

 

или

c′(x) cos2 x e−tqx = tqx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

etqx tqx

 

 

 

tqx

 

 

 

 

 

Откуда

 

 

c(x) = ∫cos2 x dx = e

 

(tqx −1) + c2 .

 

 

Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:

 

y = tqx −1 +c2 e−tqx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Проинтегрировать уравнение

y = xy′+ y′ln y.

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По виду данное уравнение не является линейным. Одна-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ =

dy

1

 

 

 

 

ко, если рассмотреть x как функцию от y и учесть, что

 

dx =

 

 

 

,

по-

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

лучим линейное уравнение относительно x, т.е.

x′ =

x

 

+

 

ln y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируем соответствующее однородное уравнение

 

dx

=

x

;

 

dy

 

y

 

при этом имеем

 

dx

=

dy

;

x = cy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение неоднородного уравнения ищем,

полагая x = c( y) y,

от-

куда

 

′

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= c ( y) y + c( y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка

в

 

 

исходное

 

уравнение

 

 

 

 

 

даёт

 

2

 

 

 

 

 

 

 

′

 

1 + ln y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c′( y) y

 

 

+ c( y) y = c( y) y

+ ln y,

откуда

c ( y) = c1

−

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение исходного уравнения получаем умножением этого уравнения на y:

1.4. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

Смотрите также файлы