Файл: Т.С. Жирнова Дифференциальные уравнения.pdf

11

Заметим, что для данного уравнения решением является также функция y ≡ 0 , но это решение не удовлетворяет начальным условиям.

Используя начальные условия, находим c3 = 1, c1 = 2, т.е. частным решением исходной задачи Коши будет функция y = e2 x .

2.2.Линейные однородные уравнения

спостоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением называется уравнение

все члены которого первой степени относительно функции и её производных, а коэффициенты p1, p2,…, pn – известные функции от аргумента х или постоянные.

Общий интеграл однородного линейного уравнения n-го порядка

(2.4) имеет вид y = c1 y1 +c2 y2 +... +cn yn , (2.5)

где y1, y2,…, yn - линейно независимые частные интегралы этого уравнения.

Если все коэффициенты pi однородного линейного уравнения (2.4) постоянны, то его общий интеграл находится с помощью характеристического уравнения

которое получается из исходного уравнения, если сохраняя в нём все коэффициенты pi , заменить функцию y единицей, а все её производные соответствующими степенями r. При этом:

1)если все корни r1, r2,…, rn характеристического уравнения (2.6) действительны и различны, то общий интеграл уравнения (2.4)

2)если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексных сопряжённых корней r1,2 =α ± βi , то в формуле (2.5) соответствующая пара членов заменяется слагаемым

eαx (c1 cos βx +c2 sin βx);

12

3)если действительный корень r1 уравнения (2.6) имеет кратность k, (r1 = r2 = … = rk), то соответствующие k членов в формуле (2.5)

4)если пара комплексных сопряжённых корней r1,2 =α ± βi уравнения (2.6) имеет кратность k, то соответствующие k пар членов в формуле (2.5) заменяются слагаемым

eαx [(c1 + c2 x +... + ck x k −1 )cos βx + (ck +1 + ck +2 x +... + c2k x k −1 )sin βx]. .

Пример 1. Решить уравнение: y′′− 2 y′−3y = 0 .

Решение. Заменяя в данном дифференциальном уравнении функцию y единицей, а её производные соответствующими степенями r, напишем его характеристическое уравнение: r 2 − 2r −3 = 0.

Корни этого уравнения r1 = -1, r2 = 3 действительны и различны, поэтому согласно правилу 1 искомый общий интеграл данного уравне-

ния будет y = c1e−x + c2 e3x .

Пример 2. Решить уравнение: y′′′− 6 y′′+13y′ = 0.

Решение. По указанному правилу составляем характеристическое уравнение: r3 – 6r2 + 13r = 0. Оно имеет один действительный корень

находим, что оно имеет равные действительные корни r1 = r2 = -2. Со-

Решение. Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение: r7 + 2r5 + r3 = 0 или r3 (r2 + 1)2 = 0. Оно имеет трёхкратный действительный корень r = 0 и пару двукратных мнимых сопряжённых корней r = ± i. Согласно правилам 3 и 4, общий интеграл этого уравне-

Если известны линейно независимые частные решения y1(x), y2(x), …, yn(x) линейного однородного дифференциального уравнения (2.4), то вместе с общим решением y этого уравнения они образуют линейно зависимую систему, и поэтому следующий определитель (n + 1)-го порядка равен нулю:

14

корней характеристического уравнения r1,2 = ± i. Значит, характери-

стическое уравнение имеет вид (r - 1)(r - i)(r + i) = 0; (r – 1)(r2 + 1) = 0

или r3 – r2 + r – 1 = 0, а линейное однородное дифференциальное урав-

нение, соответствующее данному характеристическому уравнению,

имеет вид y′′′− y′′+ y′− y = 0 .

Пример 6. Составить однородное линейное дифференциальное уравнение по следующим его частным решениям: y1 = 1; у2 = x; y3 = e3x.

Решение. Первым двум частным решениям соответствует один двукратный корень характеристического уравнения, равный нулю, т.е.

r1 = r2 = 0. Частному решению y3 = e3x соответствует однократный корень характеристического уравнения r3 = 3. Отсюда следует, что характеристическое уравнение имеет следующий вид r2(r – 3) = 0 или

r3 – 3r2 = 0, а ему соответствует дифференциальное уравнение y′′′−3y′′ = 0 .

2.3.Линейные неоднородные уравнения

спостоянными коэффициентами

Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой степени относительно функции и её производных

отличающееся от линейного однородного уравнения наличием в правой части некоторой функции q от независимой переменной x.

Общий интеграл y линейного неоднородного уравнения равен сумме какого-либо его частного интеграла y и общего интеграла u соответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при q = 0 ).

Согласно этому свойству, для решения линейного неоднородного уравнения (2.7) с постоянными коэффициентами pi вначале находят функцию u (по правилам, описанным в п. 2.2), а затем функцию y . Их сумма и даёт общий интеграл y неоднородного уравнения: y = u + y .

Для некоторых специальных видов функции q(x) частный интеграл y можно найти методом неопределённых коэффициентов. По виду правой части q(x) можно заранее указать вид частного интеграла y , где неизвестны лишь числовые коэффициенты, которые определяют при подстановке этого частного интеграла y в исходное неоднородное уравнение.

15

1. Пусть правая часть q(x) = eax Pn (x) , где a - постоянная, в частности, может a = 0; Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 +... + an−1 x + an . В этом случае частное решение y следует искать в виде y = xt eaxQn (x) , где Qn (x) - многочлен той же степени, что и многочлен Pn (x) , но с неизвестными коэф-

фициентами; t – число корней характеристического уравнения, равных a .

2. Если правая часть q(x) = eax [Pn (x) cos bx + Rm (x) sin bx], где Pn (x) и Rm (x) - многочлены соответственно степеней n и m, a и b - постоянные,

то частное решение находим в виде: y = xt eax [QN (x) cos bx + SN (x) sin bx], где QN (x) и SN (x) - многочлены степени N = max(n, m) с неизвестными

коэффициентами; t – число пар корней характеристического уравнения, равных a ±bi .

3. Если правая часть уравнения (2.7) является суммой слагаемых, имеющих вид, рассмотренный в 1. и 2., то частное решение y берём как сумму соответствующих частных решений, определённых в

этих пунктах.

Пример 1. Решить уравнение: y′′+6 y′+5y = 25x2 −2.

Решение. Вначале находим общий интеграл u однородного уравнения y′′+ 6 y′+5y = 0 , соответствующего данному неоднородному уравнению. Его характеристическое уравнение r2 + 6r + 5 = 0 имеет

корни r1 =-5, r2 = -1. Поэтому u = c1e−5 x + c2 e−x .

Далее находим частный интеграл y данного неоднородного уравнения. Для правой части данного уравнения q(x) = 25x2 −2 , согласно указанному правилу (случай 1, число a = 0 и не является корнем характеристического уравнения), y есть функция, подобная q(x), т.е. многочлен второй степени: y = Ax2 + Bx + C.

Приравнивая коэффициенты уравнения при одинаковых степенях x из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему

5A = 25, 12A + 5B = 0, 2A + 6B + 5C = -2,

из которой находим A = 5, B = -12, C = 12.