Файл: Т.С. Жирнова Дифференциальные уравнения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

7

 

y′+ P(x) y = Q(x) ym ,

(1.6)

где m ≠ 0, m ≠ 1 (при m = 0 уравнение (1.6) является линейным, а

при

m = 1 - уравнением с разделяющимися переменными). Уравнение Бернулли, а также и линейное уравнение, рассмотрен-

ное в п. 1.3, можно проинтегрировать с помощью подстановки y(x) = u(x)v(x).

Посредством данной подстановки уравнение Бернулли сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

Имеем

y

′

= uv

′

′

Подставляя значения

y и y

′

в (1.6), полу-

 

 

+ u v.

 

чим

′

′

 

 

 

 

 

 

m

 

m

или

′

 

′

 

 

m

 

m

 

uv

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

v

.

 

+u v + P(x)uv = Q(x)u

 

 

u(v

+ P(x)v) +u v = Q(x)u

 

 

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например v) может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), за v принимают любое частное решение уравнения v′+ P(x)v = 0 (например

v1 = e−∫P( x)dx ), обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при u в последнем уравнении. Тогда это уравнение приведётся к уравнению

′

m

v

m

,

которое также является уравнением с разделяющимися

u v = Q(x)u

 

 

переменными. Подставляя в это уравнение частное решение v1 и разделяя переменные, найдём его общее решение u = u(x,c). Общее же решение исходного уравнения находим умножением u на v1:

y = v1u(x,c).

Пример 1. Решить уравнение x2 y 2 y′+ xy3 =1.

Решение. Разделив обе части уравнения на

 

 

x2 y2

:

 

 

y′+

 

y

= y −2

1

,

 

 

 

 

 

x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где P(x) = x−1 ;

 

Q(x) = x−2 ;

m = −2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по формуле

y = uv, имеем

 

 

′

 

 

 

′

 

 

′

 

Заменяя функцию y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

= u v

+uv ,

 

′

 

 

′

 

uv

 

 

1

 

 

 

 

 

′

 

′

+

 

v

) =

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

2

 

2

 

или

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

u v

+ v u +

 

 

x

u

v

 

u v +u(v

 

 

 

x

 

x

u

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдём частное решение уравнения

v′+

 

= 0

или

 

 

dv

 

= −

dx

.

 

x

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

ln

 

v

 

= −ln

 

x

 

;

 

 

 

 

 

v1 =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Подставляя v1 в уравнение и решая его, находим u как общий ин-

 

u′

1

 

 

 

 

 

u3

 

x2

c

 

 

3

2

 

теграл этого уравнения:

 

=

 

;

u 2 du

= xdx;

 

 

=

 

+

 

;

u = 3

2 x

 

+c.

x

u 2

3

2

3

 

Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения равен

 

 

y =uv = 3

3

+ c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2x

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Решить уравнение

′

3

sin y

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

y x

 

+ 2 y = xy .

 

 

 

 

 

 

Решение. Данное уравнение будет уравнением Бернулли относи-

тельно

функций

x = x( y)

 

и

x′ = x′( y),

если

его

записать в виде:

2 yx′− x = −x3 sin y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

этого

уравнения

будем искать

в виде

 

 

произведения

x = u( y)v( y) = uv, при этом уравнение примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

′

3

v

3

sin y

или

 

 

v(2 yu

′

−u) + 2 yuv

′

= −u

3

v

3

sin y.

2 y(u v +uv ) −uv = −u

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем u(y) так, чтобы

2 y

du

−u = 0

или

2

du

=

dy

 

,

т.е. возьмём

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

отличное от нуля частное решение этого уравнения, например u1 = y.

 

Тогда функцию v(y) определим из уравнения

2y yv′ = −y

yv3 sin y

или

2

dv

= −v3 sin y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделяя

переменные

 

и

 

интегрируя,

 

находим

v

= v(y):

2∫

dv

= −∫sin ydy −c.

Отсюда

 

−

1

= cos y −c и

v =

1

.

 

3

 

2

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

± c −cos y

 

 

Таким образом,

x = u1v =

 

 

y

или

y = x2 (c −cos y).

 

±

c −cos y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим,

что функция

y ≡0

также является решением исходного

уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид

 

 

 

′

′′

(n)

) = 0

(2.1)

 

F(x, y, y , y

,..., y

 

или

y

(n)

 

′

 

 

(n−1)

) .

(2.2)

 

= f (x, y, y ,..., y

 

Задачей Коши для дифференциального уравнения (2.2) называется задача отыскания решения y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям

9

 

y(x0 ) = y0 , y′(x0 )= y0′, …, y(n−1)(x0 ) = y0(n−1).

(2.3)

Общим решением уравнения (2.1) или (2.2) называется такая функция y =ϕ(x, c1 , c2 ,..., cn ) , которая при любых допустимых значениях па-

раметров с1,с2,…,сn является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (2.3) найдутся постоянные с10 , с20 ,..., сn0 , определяемые из системы уравнений

y0 =ϕ(x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ), y0′ =ϕ′(x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ),

…………………………

y0(n−1) = ϕ(n−1) (x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ).

Уравнение Ф(x, y, c1 , c2 ,..., cn ) = 0 , определяющее общее решение как

неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение y =ϕ(x, c10 , c20 ,..., cn0 ) ,

полученное из общего реше-

ния при конкретных значениях c1 = c10 ,

c2 = c20 ,…, cn = cn0 , называется

частным решением дифференциального уравнения n-го порядка.

2.1.Уравнения, допускающие понижение порядка

1.Уравнение n-го порядка y(n) = f (x) решаем последовательным интегрированием. После n-кратного интегрирования получаем общий интеграл этого уравнения в виде явной функции от x и n произвольных

постоянных:

y = ϕ(x) + c1 xn−1 + c2 xn−2 +... + cn .

2. Дифференциальные уравнения вида F(x, y(k ), y(k +1),..., y(n)) = 0, не содержащие искомой функции y и (к – 1) первых производных от y, решаем понижением порядка путём введения новой неизвестной функции, равной низшей производной данного уравнения, т.е. y(k ) = z(x). При этом получается уравнение F(x, z, z′,..., z(n−k )) = 0, порядок которого на к единиц ниже порядка исходного уравнения.

3. Дифференциальные уравнения вида F( y, y′, y′′,..., y(n)) = 0, не содержащие независимой переменной x, также решаем понижением порядка путём введения новой функции y′ = z( y), аргументом которой

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

z

 

2

 

 

является y. В этом случае y′′ = z

dz

;

y

′′′

= z z

 

 

dz

 

;

и т.д. При

dy

 

dy

2

+

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подстановке производных порядок уравнения понизится на единицу. Пример 1. Решить уравнение y′′′ = 60x2 .

Решение. Умножая обе части данного уравнения 3-го порядка на dx и затем интегрируя, получаем уравнение 2-го порядка: y′′′dx = 60x2 dx; y′′ = 20x3 + c1. Далее тем же способом получаем уравнение 1-го порядка, а затем искомую функцию – общий интеграл данного

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

3

dx + c1dx;

 

 

 

y

′

= 5x

4

+ c1 x + c2 ;

 

 

 

 

 

 

y dx

= 20x

 

 

 

 

 

 

y = x

5

+c

x2

 

+ c

 

x + c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Решить уравнение

(x −3) y′′+ y′ = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Данное уравнение не содержит явно y. Полагая y′ = z(x),

получим

y

′′ =

dz

;

 

 

при этом исходное уравнение обращается в уравне-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние первого порядка:

(x −3)

+ z = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dz

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделяя переменные и интегрируя, найдём

 

= −

 

 

;

 

 

z

 

 

x −

3

 

ln

 

z

 

= −ln

 

x −3

 

+ln c;

 

 

z(x −3)

 

= c;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(x −3) = ±c = c1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменяя z через

dy

,

получим уравнение (x −3)

dy

 

 

= c1 , решая ко-

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торое, найдём искомый общий интеграл:

Пример 3. Решить задачу Коши: y′(0) = 2.

dy =

c1dx

;

y = c1 ln

 

x −3

 

+c2 .

 

 

x −3

 

 

 

 

 

 

 

yy′′−(y′)2

= 0;

 

y(0) = 1;

 

 

 

Решение. Данное

уравнение

не содержит явно x.

Полагая

 

y′ = z( y) ,

получим

 

y′′ =

dz

z. После данной подстановки

уравнение

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

примет вид: yz

dz

 

 

− z 2 = 0 .

Сократим на z и разделим переменные:

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

=

dy

;

ln

 

z

 

= ln

 

y

 

+ln c;

 

z = ±cy

или z = c1 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы