Файл: Ersoy O.K. Diffraction, Fourier optics, and imaging (Wiley, 2006)(ISBN 0471238163)(427s) PEo .pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 897

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

378

 

 

 

 

APPENDIX A: THE IMPULSE FUNCTION

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figure A.1. Finite pulse of unit area.

The impulse function can also be written as the derivative of the unit step function: dðtÞ ¼ ddt uðtÞ ðA:1-5Þ

The impulse function can be obtained by limiting operations on a number of functions whose integral has the value 1. Some examples are given below.

 

 

8 a!1½1

a t

ð

Þ&

 

 

 

 

 

 

 

>

lim

 

ae

atu t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> alim

 

 

e

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

ð

Þ ¼

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

ð

 

Þ

> lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

>

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

=2a

2

 

A:1-6

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ð

 

 

Þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> a

 

0þ p2pa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

!1

 

 

pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

sin at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

It is observed that these functions in the limit approach 0 at t 6¼ 0 and 1 at t ¼ 0. In the last case, the limit at t 6¼ 0 does not approach 0, but the function oscillates so fast that Eq. (A.1-6) remains valid.

Another way to construct the impulse function is by using the triangular pulse shown in Figure A.2. Its area is 1. As a shrinks towards 0, the area of 1 remains

(a)

(b)

Figure A.2. (a) A triangular pulse, and (b) its derivative.

APPENDIX A: THE IMPULSE FUNCTION

379

constant, and the base length approaches 0 as the height grows towards infinity. Thus,

dðtÞ ¼ a!0 a

a

;

;

 

lim

1

tri

2t

1

 

1

 

 

 

The derivative of the impulse function can be defined as

d0ðtÞ ¼ dt a!0 a

a

;

;

 

 

d

lim

1

tri

 

2t

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

 

d

 

 

2t

; 1; 1

 

 

 

 

¼ a!0 a dt tri a

ðA:1-7Þ

ðA:1-8Þ

The derivative of the triangular pulse is also shown in Figure A.2. d0ðtÞ is referred to as the doublet.

The derivatives of the impulse function can be defined with respect to the following integral:

ðt2

f ðtÞdkðt t0Þdt ¼ ð 1Þkf kðt0Þ

ðA:1-9Þ

t1

where t1 < t0 < t2, dkðtÞ and f kðtÞ denote the kth derivative of dðtÞ and f ðtÞ, respectively.

Some useful properties of the impulse function are the following:

Property 1. Time scaling

1

 

 

t0

 

dðat t0Þ ¼

 

d

t

 

jaj

a

Property 2. Multiplication by a function

f ðtÞdðt t0Þ ¼ f ðt0Þdðt t0Þ; f ðtÞ continuous at t ¼ t0

Property 3.

d½ f ðtÞ&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ð

d½ f ðtÞ&dt ¼

 

 

 

 

 

1

 

; f 0

ðtkÞ 6¼ 0

 

 

 

 

k

 

 

 

f 0

tk

 

 

 

 

 

1

 

Xj

 

ð

Þj

 

 

ð

Þ ¼

d t

 

 

ð

 

 

Þ ¼

 

 

 

where f 0

t

 

 

d f ðtÞ

, and tk

occurs when f

 

tk

 

 

0.

 

ðA:1-10Þ

ðA:1-11Þ

ðA:1-12Þ

380 APPENDIX A: THE IMPULSE FUNCTION

Property 4. Sum of shifted impulse functions

 

 

 

 

X

 

 

 

X

 

 

k

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jTj k

1

d t

¼ k

 

1

 

e j2pkt=T

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cosð2pkt=TÞ

 

¼ 1

T

¼ 1

¼ 1 þ 2 k

¼

1

ðA:1-13Þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXAMPLE A.1 Evaluate the integral

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ð

 

d

3

1

 

cosð10tÞdt:

 

 

Solution:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

t

1

¼ d

1

ðt

 

3Þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼ 3dðt 3Þ

 

 

 

 

Hence,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ð d

t

1 cosð10tÞdt ¼ 3

ð

 

dðt 3Þ cosð10tÞdt

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼ 3 cosð30Þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

3

p

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXAMPLE A.2 Evaluate

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1

 

e t2=32a2

 

 

 

 

in terms of the impulse function.!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

p2pa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

 

e t2

=32a2 ¼ p

1

 

 

e ðt=4Þ2=2a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pa

 

 

 

 

 

 

 

 

Since

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

1

 

e t2=2a2

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

¼ dð Þ

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

p

2pa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

it follows that

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

t2

=32a2

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a!1 p2pa e

 

 

 

 

¼ d

 

 

 

¼ 4dðtÞ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

APPENDIX A: THE IMPULSE FUNCTION

381

EXAMPLE A.3 Evaluate

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a!1 p ð0

cosðtxÞdx

 

 

in terms of the impulse function.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution: It is known that

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

sin at

 

 

 

 

 

ð0

cosðtxÞdx ¼

 

 

ð Þ

 

 

a > 0

 

 

p

 

 

pt

 

 

Since

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sinðatÞ

 

 

t

Þ

;

 

 

 

 

a!1

 

 

pt

 

 

 

¼ dð

 

 

it follows that

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

lim

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dð

Þ ¼ a!1 p ð0

 

cosðtxÞdx

ðA:1-14Þ

This result is often written as

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1

 

e jtxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dðtÞ ¼ a!1 2p ð

 

 

 

a

Смотрите также файлы