Файл: Дойч. Структура Реальности.doc

Но какими правилами вывода нам следует пользоваться? Это все равно, что спросить, как следует запрограммировать генератор вирту­альной реальности для передачи мира геометрии Евклида. Ответ в том, что нужно использовать те правила вывода, которые, для нашего луч­шего понимания, заставят наши символы вести себя в уместной степе­ни как абстрактные категории, которые они обозначают. Как мы мо­жем быть уверены, что они будут вести себя именно так? А мы и не можем быть уверены в этом. Предположим, что некоторые крити­ки возражают против наших правил вывода, потому что они считают, что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных катего­рий. Мы не можем ни взывать к авторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила вывода безошибочны (за исключением теоремы Геделя, это привело бы к бесконечному регрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого метода доказательст­ва, используемого нами). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-то не в порядке с интуицией, потому что нашаинту­иция говорит, что символы будут копировать абстрактные категории в совершенстве. Все, что мы можем сделать, —это объяснить. Мы должны объяснить, почему мы думаем, что при определенных обстоя­тельствах символы будут вести себя желаемым образом в соответствии с высказанными нами правилами. А критики могут объяснить, поче­му они предпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Расхождение во мнениях относительно двух таких теорий —это частично расхож­дение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физических объектов. Такого рода расхождения могут быть адресованы нормаль­ными методами науки. Иногда они легко разрешимы, а иногда —нет. Другой причиной подобного расхождения может стать концептуаль­ный конфликт, связанный с природой самих абстрактных категорий. И вновь дело за конкурирующими объяснениями, на этот раз объяс­нениями не физических объектов, а абстрактных категорий. Либо мы придем к общему пониманию со своими критиками, либо согласим­ся, что говорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придем к согласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в про­тивоположность традиционному убеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью исключительно методологических средств.

На первый взгляд, характер традиционного символического доказа­тельства кажется весьма отличным от характера «практического» вир­туального доказательства. Но теперь мы видим, что они относятся друг к другу так же, как вычисления относятся к физическим эксперимен­там. Любой физический эксперимент можно рассматривать как вы­числение, и любое вычисление —как физический эксперимент. В обо­их видах доказательства физическими категориями (независимо от то­го, находятся они в виртуальной реальности или нет) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих видах доказательства физичес­кие категории представляют интересующие нас абстрактные катего­рии. И в обоих случаях надежность доказательства зависит от истин­ности теории о том, что физические и абстрактные категории дейст­вительно имеют соответствующие свойства.

Из вышеизложенного рассуждения также можно увидеть, что до­казательство —это физическийпроцесс.В действительности, доказа­тельство —это разновидность вычисления. «Доказать» высказывание значит осуществить вычисление, которое, будучи выполненным пра­вильно, устанавливает истинность высказывания. Используя слово «до­казательство» для обозначенияобъекта,например, текста, написанно­го чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот объект можно использовать в качестве программы для воссоздания вычисления соот­ветствующего вида.

Следовательно, ни математические теоремы, ни процесс матема­тического доказательства, ни впечатление о математической интуиции не подтверждает никакую определенность. Ничто не подтверждает ее. Наше математическое знание, так же как и наше научное знание, мо­жет быть глубоким и широким, может быть неуловимым и удивитель­но объяснительным, может быть принятым без разногласий; но оно не может быть определенным. Никто не может гарантировать, что в до­казательстве, которое ранее считалось обоснованным, однажды не об­наружат глубокое недоразумение, казавшееся естественным из-за ра­нее несомненного «самоочевидного» допущения о физическом мире, или об абстрактном мире, или об отношении некоторых физических и аб­страктных категорий.

Именно такое ошибочное, самоочевидное допущение привело к то­му, что саму геометрию ошибочно классифицировали как раздел мате­матики в течение двух тысячелетий, приблизительно с 300года до н.э., когда Евклид написал свой труд«Элементы»,до девятнадцатого века (а в некоторых словарях и школьных учебниках до сегодняшнего дня). Геометрия Евклида сформировала часть интуиции любого математика. В конечном счете, некоторые математики начали сомневаться в само­очевидности, в частности, одной из аксиом Евклида (так называемой «аксиомы о параллельных»). Сначала они не сомневались в истинности этой аксиомы. Говорят, что великий немецкий математик Карл Фрид­рих Гаусс был первым, кто подверг ее проверке. Аксиома о параллель­ных необходима при доказательстве того, что сумма углов треуголь­ника составляет 180°.Легенда гласит, что в совершенной секретнос­ти (из-за боязни быть осмеянным) Гаусс разместил своих ассистентов с фонарями и теодолитами на вершинах трех холмов, чтобы вблизи измерить вершины самого большого треугольника. Он не обнаружил ни­каких отклонений от предсказаний Евклида, однако теперь мы знаем, что это произошло потому, что его инструменты не обладали достаточ­ной чувствительностью. (С геометрической точки зрения окрестность Земли оказывается довольно пассивным местом). Общая теория отно­сительности Эйнштейна включала новую теорию геометрии, которая противоречила геометрии Евклида и была доказана экспериментально. Сумма углов реального треугольника в действительностинеобязатель­но составляет 180°:истинная сумма зависит от гравитационного поля внутри этого треугольника.

Весьма похожая ошибочная классификация была вызвана фунда­ментальной ошибкой относительно самой природы математики, кото­рую математики допускали с античных времен, а именно, что мате­матическое знание более определенно, чем какая-либо другая форма знания. Такая ошибка не оставляет выбора классификации теории до­казательства, кроме как части математики, поскольку математическая теорема не может быть определенной, если теория, подтверждающая метод ее доказательства, сама по себе неопределенна. Но как мы толь­ко что видели, теория доказательства не является разделом математи­ки —она является наукой. Доказательства не абстрактны. Не сущест­вует абстрактного доказательство чего-либо, так же, как не сущест­вует абстрактного вычисления чего-либо. Конечно, можно определить класс абстрактных категорий и назвать их «доказательствами», но эти «доказательства» не могут подтвердить математические утверждения, потому что их невозможно увидеть. Они могут убедить кого-либо в ис­тинности высказывания не более, чем абстрактный генератор вирту­альной реальности, который физически не существует, может убедить людей, что они находятся в другой среде, или абстрактный компью­тер может разложить на множители число. Математическая «теория доказательств» не имела бы никакого отношения к тому, какие мате­матические истины можно или нельзя доказать в действительности, точно так же, как теория абстрактного «вычисления» не имеет ника­кого отношения к тому, что математики —или кто-то еще —могут или не могут вычислить в реальности, по крайней мере, если не су­ществует отдельной эмпирической причины считать, что абстрактные «вычисления» в этой теории похожи на реальные вычисления. Вычис­ления, включая и особые вычисления, квалифицируемые как доказа­тельства, —это физические процессы. Теория доказательств говорит о том, как обеспечить, чтобы эти процессы правильно имитировали абстрактные категории, которые они должны имитировать.

Теоремы Геделя называли «первыми новыми теоремами чистой ло­гики за две тысячи лет». Но это не так: теоремы Геделя говорят о том, что можно, а что нельзя доказать, а доказательство —это физический Процесс. В теории доказательства нет ничего, что касалось бы только чистой логики. Новый способ доказательства Геделем общих утверж­дений о доказательствах зависит от определенных допущений о том, какие физические процессы могут или не могут представить абстракт­ный факт так. что наблюдатель сможет обнаружить его и убедиться, благодаря ему. Гедель перевел такие допущения в явное и выраженное невербально доказательство своих результатов. Его результаты были самоочевидно доказанными не потому, что были «чисто логическими», а потому, что математики нашли эти допущения самоочевидными.

Одно из сделанных Геделем допущений было традиционным: дока­зательство может иметь только конечное число этапов. Интуитивное доказательство этого допущения состоит в том, что мы конечные су­щества и никогда не смогли бы постичь буквально бесконечное число утверждений. Кстати, именно эта интуиция стала причиной беспокой­ства многих математиков, когда в 1976году Кеннет Эппел и Вольф­ганг Хакен использовали компьютер для доказательства знаменитой «гипотезы четырех цветов» (о том, что, используя всего четыре разных цвета, любую карту, нарисованную на плоскости, можно раскрасить так, что никакие два примыкающих района не будут иметь одинако­вый цвет). Программа требовала сотни часов машинного времени, что означало, что этапы доказательства, если оно было бы записано, не смог бы прочитать ни один человек за много жизней, не говоря уже о том, чтобы признать его самоочевидным. «Следует ли воспринимать слово компьютера как то, что гипотеза четырех цветов доказана?» —задава­лись вопросом скептики —хотя им и в голову никогда не приходило составить каталог всех импульсов всех нейронов своего собственного мозга при принятии относительно «простого» доказательства.

Такое же беспокойство может показаться более оправданным, бу­дучи примененным к предполагаемому решению с бесконечным числом этапов. Но что такое «этап» и что такое «бесконечный»? В пятом веке до н.э. Зенон из Элеи на основе похожей интуиции пришел к выводу, Что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у черепахи будет пре­имущество на старте. Как-никак, к тому времени, когда Ахиллес поравняется с черепахой, она еще немножко продвинется вперед. К тому времени, когда он достигнет этойточки, она продвинется еще чуть-чуть и такдо бесконечности.Таким образом, эта процедура «обгона» потребует от Ахиллеса выполнения бесконечного количества этапов об­гона, которое он, будучи конечным существом, предположительно вы­полнить не сможет. Но то, что Ахиллес сможет сделать, невозможно обнаружить с помощью чистой логики. Это полностью зависит от то­го, что он сможет сделать в соответствии с управляющими законами физики. И если эти законы скажут, что он обгонит черепаху, то он ее обгонит. В соответствии с классической физикой обгон требует беско­нечного количества этапов вида «переход на настоящее место нахожде­ния черепахи». В этом смысле данное действие является вычислительно бесконечным. Точно так же, если рассматривать как доказательство то, что одна абстрактная величина становится больше другой при приме­нении данного набора действий, то это доказательство с бесконечным количеством этапов. Однако соответствующие законы обозначают это доказательство как физически конечный процесс —и только это имеет значение.

Интуиция Геделя относительно этапов и конечности, насколько нам известно, действительно накладывает некоторые физические огра­ничения на процесс доказательства. Квантовая теория требует дискрет­ных этапов, и ни один из известных способов взаимодействия физичес­ких объектов не позволил бы бесконечному количеству этапов превзой­ти измеримый вывод. (Однако, могло бы оказаться возможным, что за всю историю вселенной было бы выполнено бесконечное количество этапов —я объясню это в главе 14).Классическая физика, даже будь она истинной (что исключено), не согласилась бы с такого рода инту­ицией. Например, непрерывное движение классических систем преду­смотрело бы «аналогичное» вычисление, в котором было бы не слишком много этапов и которое обладало бы репертуаром, существенно отли­чающимся от машины Тьюринга. Известны некоторые примеры хит­росплетенных классических законов, в соответствии с которыми бес­конечный объем вычислений (бесконечный в соответствии с нормами машины Тьюринга или квантового компьютера) можно было бы выпол­нить с помощью физически конечных методов. Безусловно, классичес­кая физика несовместима с результатами бесчисленных эксперимен­тов, поэтому размышление о том, какими «были бы» «действительные» классические законы физики, носит весьма искусственный характер: однако эти примеры показывают, что никто не можетдоказать,не­зависимо от знания физики, что доказательство должно состоять из конечного числа этапов. Эти же соображения применимы к интуиции о том, что должно быть конечное количество правил вывода и что они должны быть «применимы напрямую». Ни одно из этих требований не имеет смысла для абстрактного: это физические требования. Гильберт в своем влиятельном эссе «OntheInfinite»¹⁶со знанием дела высмеял идею реальности требования «конечного количества ступеней». Однако вышеуказанный аргумент показывает, что он ошибался: это требование реально, и оно следует только изфизическойинтуиции самого Гильбер­та и других математиков.

По крайней мере, одно из направлений интуиции Геделя относи­тельно доказательства, оказывается, было ошибочным; к счастью, это никак не влияет на доказательства его теорем. Он унаследовал это на­правление из предыстории греческой математики, и оно не вызывало сомнений ни у одного поколения математиков до тех пор, пока в 1908 году открытия в области квантовой теории вычислений не доказали его ложность. Это направление интуиции заключается в том, что до­казательство —это конкретная разновидностьобъекта,а именно, по­следовательность утверждений, которая подчиняется правилам выво­да. Я уже говорил о том, что доказательство лучше рассматривать не как объект, а как процесс, разновидность вычислений. Однако в клас­сической теории доказательства или вычисления это не делает фунда­ментальной разницы по следующей причине. Если мы можем пройти через процесс доказательства, мы можем только с небольшим дополни­тельным усилием вести запись всего важного, что происходит во время этого процесса. Эта запись, физический объект, составит доказатель­ство в смысле последовательности утверждений. IIнаоборот, если бы у нас была такая запись, мы могли бы прочитать ее, проверить, удовле­творяет ли она правилам вывода, и в процессе этого мы докажем вывод. Другими словами, в классическом случае преобразование процессов до­казательства и объектов доказательства —это всегда легковычисляе­мая задача.