Файл: Дойч. Структура Реальности.doc

Теперь давайте рассмотрим некоторое математическое вычисле­ние, которое является трудновыполнимым на всех классических ком­пьютерах, но предположим, что квантовый компьютер легко может выполнить это вычисление, задействовав интерференцию между, скажем. 10⁵⁰⁰вселенными. Чтобы прояснить это, пусть вычисление будет тако­во, что ответ после его получения (в отличие от результата разложения на множители) невозможно будет проверить с помощью легкообрабаты­ваемых вычислений. Процесс программирования квантового компью­тера для получения вычислений такого рода, обработки программы и получения результата составляет доказательство того, что математи­ческое вычисление имеет именно этот частный результат. Но в этом случае не существует способа записать все, что произошло во время процесса доказательства, потому что большая часть этого произошла в других вселенных, и измерение состояния вычисления изменило бы интерференционные свойства и тем самым лишило бы доказательство обоснованности. Таким образом, создание старомодногообъектадока­зательства было бы невозможно; более того, во вселенной, как мы ее знаем, далеко не достаточно материала, чтобы составить такой объ­ект, поскольку в этом доказательстве этапов было бы больше, чем су­ществует атомов в известной вселенной. Этот пример показывает, что из-за возможности квантового вычисления два понятия доказательства не эквивалентны. Интуиция доказательства как объекта не охватыва­ет все способы, с помощью которых можно доказать математическое утверждение в реальности.

И опять мы видим неадекватность традиционного математическо­го метода получения определенности через попытки исключить каж­дый возможный источник неопределенности или ошибки из нашей ин­туиции до тех пор, пока не останется только самоочевидная истина. Именно это и сделал Гедель. Именно это делали Черч, Пост и особенно Тьюринг, когда они пытались интуитивно постичь свои универсальные модели вычисления. Тьюринг надеялся, что его абстрактная бумаж­ная модель настолько проста, настолько открыта и четко определена, что не зависит ни от каких допущений относительно физики, которые можно было бы исказить постижимым образом, и, следовательно, она может стать основой абстрактной теории вычисления, независимой от лежащей в ее основе физики. «Он считал, —как однажды выразился Фейнман, —что он понял бумагу». Но он ошибался. Реальная, квантово-механическая бумага очень отличается от абстрактного материала, ис­пользуемого машиной Тьюринга. Машина Тьюринга является всецело классической, она не принимает во внимание возможность того, что на бумаге могут быть написаны различные символы в различных все­ленных и что они могут интерферировать друг с другом. Безуслов­но, искать интерференцию между различными состояниями бумажной центы непрактично. Но дело в том, что интуиция Тьюринга, из-за со­держания в ней ложных допущений из классической физики, заставила его удалить тевычислительныесвойства его гипотетической машины, которые он намеревался сохранить. Именно поэтому результирующая модель вычисления была неполной.

Различные ошибки, которые математики во все времена допускали в том, что касается доказательства и определенности, вполне естествен­ны. Настоящее обсуждение имеет своей целью привести нас к ожида­нию того, что современная точка зрения тоже не будет вечной. Но уве­ренность, с которой математики натыкались на эти ошибки, а также их неспособность признать даже возможность ошибки во всем этом, на Мой взгляд, связана с древней и широко распространенной путаницей между методамиматематики и еепредметом.Сейчас я поясню это. В отличие от отношений между физическими категориями, отноше­ния между абстрактными категориями независимы от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Они абсолютно и объ­ективно определяются автономными свойствами самих абстрактных категорий. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким Образом, изучаетабсолютно необходимые истины.Другими словами, Истины,изучаемыематематикой, абсолютно определенны. Но это не говорит ни об определенности самого нашего знания этих необходимых истин, ни о том, что методы математики дают своим выводам необхо­димую им истинность. Как-никак, математика изучает еще и ложные утверждения и парадоксы. И это не означает, что выводы подобного изучения непременно являются ложными или парадоксальными. Необходимая истина —это всего лишьпредметматематики, а не награда за то, что мы занимаемся математикой. Математическая опре­деленность не является и не может являться целью математики. Ее целью является даже не математическая истина, определенная или какая-нибудь еще. Ее целью является и должно являться математическое объяснение.

Почему же тогда математика работает так, как она работает? Почему она ведет к выводам, которые, несмотря на их неопределенность. Можно принимать и без проблем применять, по крайней мере, в течение тысячи лет? В конечном счете, причина в том, что некоторая частьнашего знания физического мира столь же надежна и непротиворечива. А когда мы понимаем физический мир достаточно хорошо, мы так­же понимаем, какие физические объекты имеют общие свойства с аб­страктными. Но, в принципе, надежность нашего знания математики остается второстепенной по отношению к нашему знанию физической реальности. Обоснованность каждого математического доказательства полностью зависит от того, правы ли мы относительно правил, управ­ляющих поведением каких-либо физических объектов, будь то генера­торы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственный мозг.

Таким образом, математическая интуиция —это вид физической интуиции. Физическая интуиция —набор эмпирических правил (неко­торые из которых возможно врожденные, а большая часть —развивши­еся в детстве), о том, как ведет себя физический мир. Например, у нас есть интуиция существования физических объектов и того, что эти объекты обладают определенными свойствами: формой, цветом, весом и положением в пространстве, некоторые из этих свойств существуют, даже когда за этими объектами не наблюдают. Другая интуиция за­ключается в том, что существует физическая переменная —время — по отношению к которой изменяются свойства, но, тем не менее, объ­екты способны сохранять свою идентичность с течением времени. Еще одна интуиция заключается в том, что объекты взаимодействуют и что это взаимодействие может изменить некоторые их свойства. Математи­ческая интуиция описывает способ демонстрации свойств абстрактных категорий физическим миром. Одним из таких направлений интуиции является абстрактный закон или, по крайней мере, объяснение, лежа­щее в основе поведения объектов. Интуицию, предполагающую, что пространство допускает замкнутые поверхности, отделяющие «внут­реннюю часть» от «наружной части», можно уточнить, преобразовав ее в математическую интуициюмножества,разделяющего все на члены и нечлены этого множества. Однако дальнейшее уточнение математи­ками (начиная с опровержения Расселом теории множеств Фреге) пока­зало, что эта интуиция перестает быть точной, когда рассматриваемое множество содержит «слишком много» членов (слишком большую сте­пень бесконечности членов).

Даже если бы хоть какая-то физическая или математическая ин­туиция была врожденной, это не предоставило бы ей какого-то особо­го авторитета. Врожденную интуицию невозможно воспринимать как суррогат «воспоминаний» Платона о мире Форм. Ибо ложность многих направлений интуиции, которые случайно развились у людей в процес­се эволюции, —банальное наблюдение. Например, человеческий глаз и математическое обеспечение, которое им управляет, воплощают лож­ную теорию о том, что желтый свет состоит из смеси красного и зелено­го света (в смысле, что желтый свет дает нам точно такое же ощущение как смесь красного и зеленого света). В реальности все три типа света имеют разные частоты и не могут быть созданы посредством смешива­ния света других частот. Тот факт, что смесь красного и зеленого све­та кажется нам желтым светом, не имеет ничего общего со свойствами света, но связан со свойствами наших глаз. Это результат компромисса, имевшего место на каком-то этапе отдаленной эволюции наших далеких предков. Существует только возможность (хотя я в нее не верю), что геометрия Евклида или логика Аристотеля каким-то образом встроены в структуру нашего мозга, как считал философ Иммануил Кант. Но это логически не означало бы их истинности. Даже если представить еще более невероятный случай, что у нас есть врожденная интуиция, от которой мы не в состоянии избавиться, такая интуиция, тем не менее, не стала бы необходимой истиной.

Значит, реальность действительно имеет более объединенную структуру, чем это было бы возможно, если бы математическое зна­ние можно было проверить с определенностью. А следовательно, ее структура —это иерархия, как и считалось традиционно. Математи­ческие категории являются частью структуры реальности, поскольку они сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа на область абстракций, о которой размышляли Пла­тон и Пенроуз: несмотря на то, что по определению они неосязаемы, они объективно существуют и имеют свойства, независимые от за­конов физики. Однако именно физика позволяет нам приобрести зна­ние об этой области. И она накладывает строгие ограничения. Тогда как в физической реальности постижимо все, постижимые математи­ческие истины в точности составляют бесконечно малое меньшинст­во, которое оказывается в точности соответствующим какой-то фи­зической истине —как тот факт, что если определенными симво­лами, написанными чернилами на бумаге, манипулировать опреде­ленным образом, появятся другие определенные символы. То есть, это и есть те истины, которые можно передать в виртуальной ре­альности. У нас нет другого выбора, кроме как принять, что непо­стижимые математические категории тоже реальны, т.к. они сложным образом возникают в наших объяснениях постижимых катего­рий.

Существуют физические объекты, например, пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведение определен­ных абстрактных объектов. Таким образом, структура физической ре­альности дает нам окно в мир абстракций. Это очень узкое окно, оно предоставляет только ограниченный диапазон перспектив. Некоторые из структур, которые мы видим из него, например, натуральные числа или правила вывода классической логики, кажутся такими же важны­ми или «фундаментальными» для абстрактного мира, какими глубокие законы природы являются для физического мира. Но эта видимость мо­жет ввести в заблуждение. Поскольку действительно мы видим только то, что некоторые абстрактные структуры фундаментальны по отно­шению к нашему пониманиюабстракций, у нас нет никакой причины считать, что эти структуры объективно важны в абстрактном мире. Просто некоторые абстрактные категории ближе, чем другие, и их про­ще увидеть из нашего окна.

Терминология.

Математика—изучение абсолютно необходимых истин.

Доказательство —способ установления истинности математи­ческих высказываний.

(Традиционное определение): последовательность утверждений, которая начинается с некоторых посылок, заканчивается желаемым вы­водом и удовлетворяет определенным «правилам вывода».

(Лучшее определение): вычисление, моделирующее свойства какой-то абстрактной категории, результат которого устанавливает, что аб­страктная категория обладает данным свойством.

Математическая интуиция(традиционное) —высший само­очевидный источник доказательства в математическом рассуждении.

(Действительное): Множество теорий (осознанных и неосознан­ных) о поведении определенных физических объектов, поведение ко­торых моделирует поведение интересных абстрактных категорий.

Интуиционизм —доктрина, связанная с тем, что все рассужде­ние об абстрактных категориях ненадежно, кроме того случая, когда оно основано на прямой самоочевидной интуиции. Это математическая версия солипсизма.

Десятая задача Гильберта —«раз и навсегда установить опре­деленность математических методов», найдя набор правил вывода, до­статочный для всех обоснованных доказательств, и затем доказать со­стоятельность этих правил в соответствии с их собственными нормами.

Теорема Геделя о неполноте —доказательство того, что де­сятая задача Гильберта не имеет решения. Для любого набора правил вывода существуют обоснованные доказательства, которые эти прави­ла не определяют как таковые.

Резюме.

Сложные и автономные абстрактные категории объективно су­ществуют и являются частью структуры реальности. Существуют логически необходимые истины об этих категориях, которые и состав­ляют предмет математики. Однако, эти истины невозможно знать опре­деленно. Доказательства не дают их выводам определенность. Обос­нованность конкретной формы доказательства зависит от истинности наших теорий о поведении объектов, с помощью которых мы осущест­вляем доказательство. Следовательно, математическое знание наслед­ственно производно и полностью зависит от нашего знания физики. Постижимые математические истины —это в точности то бесконеч­но малое меньшинство, которое можно передать в виртуальной реаль­ности. Однако непостижимые математические категории (например, среды Кантгоуту) тоже существуют, т. к. они сложным образом появ­ляются в наших объяснениях постижимых категорий.