Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл (2,91Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 798

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5.3. теыеойс					99
ТБФПТПŒ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС 8:
					(5.42)
		↑+(r; t)	↑(r ; t ) =	e−i‰(p)(t −t)+ip(r −r) n(‰(p)) ;
				p
				e−i‰(p)(t −t)+ip(r −r) [1 − n(‰(p))] ;	(5.43)
	↑(r; t) ↑+(r ; t ) =

ЗДЕ n(‰) | ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. дЕМБС РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ, РПМХЮБЕН ДМС !;k ФБЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

2i—B2	GR("+; q+) GA("−; q−) − GA("−; q+) GR("+; q−) (2ı)4						;	(5.44)
						d"d3q
\|q+\|>p0
\|q−\|<p0
ЗДЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭБС Й ПРЕТЕЦБАЭБС ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЕУФШ
			GR;A("; q) =		1			(5.45)
			GR;A("; q) =		:			(5.45)
йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП " ДБЕФ				" − ‰(q) ± i‹
йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП " ДБЕФ					! − vF k cos „ + i‹ ;			(5.46)
		GR("+; q+) GA("−; q−) d" =			! − vF k cos „ + i‹ ;			(5.46)
					2ıi
ЗДЕ „ \| ХЗПМ НЕЦДХ k Й q. œНЕУФП (5.35) РПМХЮБЕН
!;k = −4ı3			! vF k cos „ + i‹ −		! + vF k cos „ + i‹ d3q :			(5.47)
	—B2			1	1
		\|q+\|>p0	−
		\|q−\|<p0

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ЙНЕЕФ СУОЩК УНЩУМ: РЕТЕНЕООПЕ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ ŒПЪВХЦДБЕФ ЬМЕЛФТПОДЩТПЮОХА РБТХ. ьМЕЛФТПО ЙНЕЕФ ЙНРХМШУ q+, Б ДЩТЛБ | q−. рТЙОГЙР рБХМЙ ОБЛМБДЩŒБЕФ ПЗТБОЙЮЕОЙЕ ОБ ЖБЪПŒЩК ПВ ЕН: |q+| > p0, |q−| < p0, ПФЛХДБ УМЕДХЕФ, ЮФП cos „ > 0. ьОЕТЗЙС РБТЩ ЕУФШ ‰(q+) − ‰(q−) = vF k cos „, Й РПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ РТЕДЕМ НБМЩИ k, ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОБ Й ДЩТЛЙ НБМЩ. йЪ РТЙŒЕДЕООПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ЬОЕТЗЙЙ РБТЩ УМЕДХЕФ, ЮФП Й ЬМЕЛФТПООПЕ, Й ДЩТПЮОПЕ УПУФПСОЙЕ ПФУФПСФ ПФ ХТПŒОС жЕТНЙ ОЕ ВПМЕЕ ЮЕН ОБ kvF . оБУ ЙОФЕТЕУХАФ НБМЩЕ k, РПЬФПНХ Œ ЙОФЕЗТБМЕ РП q2dq НПЦОП РЕТЕКФЙ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰:

∞	n(‰−) (1 − n(‰+)) d‰	=	v	k		„ ÐÒÉ cos „ > 0 ,
	n(‰−) (1 − n(‰+)) d‰	=	0F		cos	ÐÒÉ cos „ < 0 .	(5.48)

−∞

пУФБЕФУС ЙОФЕЗТБМ РП ХЗМБН 0 < „ < ı=2. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЪБНЕОБ ! + i‹ → −! − i‹ ЬЛŒЙŒБМЕОФОБ ЪБНЕОЕ „ → ı=2 − „. рПЬФПНХ:

	ı			vF k cos „
!;k = —B2 0				vF k cos „
!;k = —B2 0		!	−	vF k cos „ + i‹ sin „ d„ :	(5.49)
	0		−

8рТЙНЕОСС ФЕПТЕНХ œЙЛБ, УМЕДХЕФ ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ, ЮФП УТЕДОЕЕ Œ ЖПТНХМЕ лХВП ОЕ T-ХРПТСДПЮЕООПЕ.

100

змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

уДЕМБЕН ПВЩЮОХА РПДУФБОПŒЛХ x = cos „ Й ŒЩЮЙУМЙН

x dx

+ i‹ + 1

−1

−

x + i‹ = −2 + x0 ln

+ i‹

−

(5.50)

рПМБЗБС x0 = !=kvF , ОБИПДЙН 9

!; k = 2—B2 0

1 − 2kv

2 kv

„ 1 − kv| |

(5.51)

−

kvF

ıi

!=kv

;

→ 0

;

РПМХЮБЕН ТБŒОПŒЕУОХА

уППФŒЕФУФŒЕООП, Œ УФБФЙЮЕУЛПН РТЕДЕМЕ 2

→

РБХМЙЕŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ: para = 2—B

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 24 В. нПЦОП ДЕКУФŒПŒБФШ ЙОБЮЕ: УОБЮБМБ ОБКФЙ НОЙНХА ЮБУФШ!;k , Б ЪБФЕН ŒПУУФБОПŒЙФШ РП ОЕК ŒЕЭЕУФŒЕООХА, РПМШЪХСУШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ. жЙЪЙЮЕУЛЙ НОЙНБС ЮБУФШ ПРЙУЩŒБЕФ ДЙУУЙРБГЙА, Ф. Е. ŒПЪВХЦДЕОЙЕ РЕТЕНЕООЩН РПМЕН ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. рПЬФПНХ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 17, Œ РЕФМЕ ОБ ТЙУ. 5.1 ŒЙТФХБМШОЩЕ УПУФПСОЙС ЬМЕЛФТПОБ Й ДЩТЛЙ ОБДП ВТБФШ ОБ

НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ " = ‰(q). жПТНБМШОП ЬФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ЪБНЕОЕ
Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.33):	GA;R("; q) → ±iı‹ (" − ‰(q))			(5.52)
Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.33):		‹ ("+ − ‰(q+)) ‹ ("− − ‰(q−))	2ı :
Im !;k = 2 —B2 ı2	(2ı)3	‹ ("+ − ‰(q+)) ‹ ("− − ‰(q−))	2ı :	(5.53)
	d3q		d"

|q+|>p0 |q−|<p0

уНЩУМ ДБООПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ ФПН, ЮФП Œ ТЕЪХМШФБФЕ РПЗМПЭЕОЙС ЛŒБОФБ h!— РЕТЕНЕООПЗП ŒОЕЫОЕЗП РПМС ЬМЕЛФТПО У ЬОЕТЗЙЕК ‰− РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ ŒПЪВХЦДБЕФУС Œ УПУФПСОЙЕ У ЬОЕТЗЙЕК ‰+ ОБД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ДБЕФ Im ФПМШЛП РТЙ ! > 0, Б РТЙ ! < 0 ПОП ТБŒОП 0, ЛБЛ Й ДПМЦОП ВЩФШ ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ ТБУРБДБ. рПМХЮЙŒ Im РТЙ РПМПЦЙФЕМШОЩИ !, НЩ ТБУРТПУФТБОЙН ЕЗП ОБ ПФТЙГБФЕМШОЩЕ ! РП УŒПКУФŒХ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (−!) = (!).

йОФЕЗТБМ РП " Œ (5.53) ХУФТБОСЕФ ПДОХ ‹-ЖХОЛГЙА:

Im !;k = —B2		‹(! − ‰(q+) + ‰(q−)) (2ı)2 :	(5.54)
		d3q

|q+|>p0 |q−|<p0

лБЛ Й Œ РТЕДЩДХЭЕН ТЕЫЕОЙЙ, РПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ДМЙООПŒПМОПŒЩК РТЕДЕМ k p−0 1, РЕТЕИПДЙН ПФ ЙОФЕЗТБМБ РП q2dq Л ЙОФЕЗТБМХ РП ‰, ЛПФПТЩК ДБЕФ kvF cos „ РТЙ cos „ > 0, Й 0 Œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ. пУФБЕФУС ЙОФЕЗТБМ РП ХЗМБН:

ı=2		!	ÐÒÉ 0 < ! < kv		,
	vF k cos „ ‹(! − vF k cos „) sin „ d„ =			F		(5.55)
		0	ÐÒÉ ! > kvF .
0

9пФНЕФЙН, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.39) ДМС РТЙЮЙООПЗП ЛПТТЕМСФПТБ РТЙ ! > 0 УПŒРБДБЕФ У ŒЩТБЦЕОЙЕН (5.51) ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЗП ЛПТТЕМСФПТБ, Б РТЙ ! < 0 ПФМЙЮБЕФУС ЛПНРМЕЛУОЩН УПРТСЦЕОЙЕН.

5.3. теыеойс

фЕРЕТШ, РПУЛПМШЛХ (−!) = (!), ВЕТЕН ОЕЮЕФОХА ЖХОЛГЙА

Im !;k = —B 0		0	ÐÒÉ	\|!\| > kvF .
2		!	ÐÒÉ	! < kvF ,

| |

Й ŒПУУФБОБŒМЙŒБЕН (!) РП БОБМЙФЙЮОПУФЙ:

(!) = ı	!		!			i0	:
1	Im (!				)d!
		−		−

101

(5.56)

(5.57)

ьФП РТЙŒПДЙФ Л ФПЮОП ФБЛПНХ ЦЕ ЙОФЕЗТБМХ, ЮФП Й Œ РТЕДЩДХЭЕН ТЕЫЕОЙЙ. ъБНЕФЙН, ЮФП Œ ВПМЕЕ УМПЦОЩИ УЙФХБГЙСИ ОБИПЦДЕОЙЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ Œ ДŒБ ЬФБ-

РБ (УОБЮБМБ НОЙНБС ЮБУФШ, Б ЪБФЕН ŒЕЭЕУФŒЕООБС) НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС ХДПВОЕЕ РТСНПЗП ŒЩЮЙУМЕОЙС. нОЙНБС ЮБУФШ ŒУЕЗДБ УŒСЪБОБ У ПРТЕДЕМЕООЩНЙ РТПГЕУУБНЙ ТБУРБДБ, РПЬФПНХ ПОБ ПВЩЮОП ЙНЕЕФ ВПМЕЕ РТПЪТБЮОХА УФТХЛФХТХ, ЮЕН ŒЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ.

тЕЫЕОЙЕ 25. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ДЙОБНЙЮЕУЛЙК ПФЛМЙЛ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ. œЩЮЙУМЙН ЕЗП РП ЖПТНХМЕ лХВП (5.2). дМС ВЕУУРЙОПŒЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ ПРЕТБФПТ РМПФОПУФЙ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ ЕУФШ

					+(x; t) (x; t) ;
РПЬФПНХ	n(x; t) =				+(x; t) (x; t) ;	(5.58)
	Q(!; k) =	i	∞	[nk (t); nk (0)] ei!t dt :		(5.59)
	Q(!; k) =	h—		[nk (t); nk (0)] ei!t dt :		(5.59)
			0

тБУЛТЩŒБЕН УТЕДОЕЕ ЛПННХФБФПТБ РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ, ЛБЛ Й Œ РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЕ, Й РПУМЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ", РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ, БОБМПЗЙЮОПЕ (5.47):

Q(!; k) =

i‹

(5.60)

−

qk=m + i‹

−

qk=m

−

2ı

|q+|>p0

−

|q−|<p0

пЗТБОЙЮЕОЙС, ОБЛМБДЩŒБЕНЩЕ РТЙОГЙРПН рБХМЙ, ПЪОБЮБАФ, ЮФП q НЕОСЕФУС Œ РТЕДЕМБИ

p0 − k=2 < q < p0 + k=2	ÐÒÉ k > 0 ;
−p0 − \|k\|=2 < q < −p0 + \|k\|=2	ÐÒÉ k < 0 :	(5.61)

уМЕДПŒБФЕМШОП, РТЙ НБМЩИ k p−0 1 Œ РПДЙОФЕЗТБМШОПН ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.60) НПЦОП РТПУФП РПМПЦЙФШ q = p0 ÐÒÉ k > 0, É q = −p0 РТЙ k < 0. рТЙ ЬФПН НЩ РТЕОЕВТЕЗБЕН ЪБŒЙУЙНПУФША УЛПТПУФЙ q=m ПФ ЬОЕТЗЙЙ Œ НБМПК ПЛТЕУФОПУФЙ ХТПŒОС жЕТНЙ. йОБЮЕ ЗПŒПТС, НЩ МЙОЕБТЙЪХЕН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ:

‰(p) = p2=2m − EF → ‰(p) = vF (|p| − p0)

(5.62)

(ЮФП ЬЛŒЙŒБМЕОФОП РЕТЕИПДХ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰). рПМХЮБЕН

Q(!; k) = 2ı	!		vF1k	+ i‹ − ! + vF1k + i‹ ;	(5.63)
k		−	\| \|	\| \|
		−	\| \|	\| \|

102	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ
ÉÌÉ		v2 k2

Q(!; k) =	1D	F	;	(5.64)
	!2 − vF2 k2 + i‹ sign !

ÇÄÅ 1D = 1=ıvF | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК РТЙ D = 1 ВЕЪ ХЮЕФБ УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС. хЮЕФ УРЙОБ ХŒЕМЙЮЙŒБЕФ 1D ŒÄŒÏÅ.

тЕЫЕОЙЕ 26. пРЕТБФПТ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ ЙОФЕТŒБМЕ 0 < x < L ЕУФШ
			NL = L n(x) dx ;					n(x) = +(x) (x) ;	(5.65)
				0

Á NL2 =	L L		n(x)n(x ) dx dx . рМПФОПУФШ				n	= p0=ı, УМЕДПŒБФЕМШОП,
Á NL2 =	0	0	n(x)n(x ) dx dx . рМПФОПУФШ				n	= p0=ı, УМЕДПŒБФЕМШОП,
	0	0		NL =			n(x) dx = ı L :
				NL =			n(x) dx = ı L :		(5.66)
						L		p0
								p0
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ						0
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ					L L
					L L
				‹NL2	=		n(x)n(x ) dx dx ;		(5.67)
					0	0

ЗДЕ ::: ПВПЪОБЮБЕФ ОЕРТЙŒПДЙНЩК ЛПТТЕМСФПТ, РПМХЮБЕНЩК ĂУŒСЪОЩНĄ ХУТЕДОЕОЙЕН. рЕТЕИПДЙН Л ЙНРХМШУОПНХ РТЕДУФБŒМЕОЙА: (x) = ap eipx. фПЗДБ

			p
NL2	= p1	;p2;p3;p4	L L ap+1 ap2 ap+3 ap4 eix(p2−p1)+ix (p4−p
			0 0

тБУЛТПЕН УТЕДОЕЕ РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ:

a+p1 ap2 a+p3 ap4 = a+p1 ap2 a+p3ap4 + a+p1 ap4 ap2

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ФПМШЛП ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ, РПУЛПМШЛХ РЕТŒПЕ ŒЛМБДБ Œ ОЕРТЙŒПДЙНЩК ЛПТТЕМСФПТ. рПМХЮБЕН

3)dx dx :

a+p3 :

ÅÓÔØ NL 2

(5.68)

(5.69)

É ÎÅ ÄÁÅÔ

n(x)n(x )

ap+1 ap2

ap+3 ap4 eix(p2−p1)+ix (p4−p3) =

eip3(x−x )

2ı

eip1

(x −x) 2ı ×

eip3(x−x ) 2ı −

dp1

∞

dp3

−p0

−∞

−p0

eip(x−x ) 2ı

eip(x−x )‹(x − x ) 2ı =

= −

−p0

1 sin2 p0(x − x )

+ p0

‹(x

−

x ) :

(5.70)

−ı2

(x − x )2

Смотрите также файлы

Уиггинс. 5 нерешенных проблем науки.pdf

Сухотин. Парадоксы науки.doc

Фритьоф Капра. Уроки мудрости.doc

Фритьоф Капра. Дао физики.doc

Успенский. Новая модель Вселенной.doc

Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно