Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

çÌÁŒÁ 6.

ьМЕЛФТПОЩ Й ЖПОПОЩ

6.1. зБНЙМШФПОЙБО ЖПОПОПŒ. дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ

тБУУНПФТЙН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У ЖПОПОБНЙ. жПОПОЩ РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК

ЛŒБОФЩ ЛПМЕВБОЙК ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЙ. тБЪМЙЮБАФ ДŒБ ПУОПŒОЩИ ФЙРБ ЖПОПОПŒ | БЛХУФЙЮЕУЛЙЕ Й ПРФЙЮЕУЛЙЕ. пФМЙЮЙЕ НЕЦДХ ОЙНЙ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП

ЮБУФПФБ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ k = 0, Б ЮБУФПФБ ПРФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ РПМПЦЙФЕМШОБ РТЙ ŒУЕИ k. бЛХУФЙЮЕУЛЙЕ ЖПОПОЩ УХЭЕУФŒХАФ ŒП ŒУЕИ ЛТЙУФБММБИ, РПУЛПМШЛХ ЪŒХЛ НПЦЕФ ТБУРТПУФТБОСФШУС Œ МАВПК ХРТХЗПК УТЕДЕ. пРФЙЮЕУЛЙЕ ЦЕ ЖПОПОЩ ЙНЕАФУС ФПМШЛП Œ ЛТЙУФБММБИ, УПДЕТЦБЭЙИ ВПМЕЕ ПДОПЗП БФПНБ Œ ЬМЕНЕОФБТОПК СЮЕКЛЕ.

дМС ПРЙУБОЙС ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ !(k) ЮБУФП РПМШЪХАФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК НПДЕМША дЕВБС. œ ЬФПК НПДЕМЙ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РТЙОЙНБЕФУС ТБŒОЩН !0(k) = c|k| ÐÒÉ ŒÓÅÈ |k| < kD , ЗДЕ ŒЕМЙЮЙОБ kD ŒЩВЙТБЕФУС ФБЛ, ЮФПВЩ ПВ ЕН ЫБТБ ТБДЙХУБ kD ДБŒБМ РТБŒЙМШОПЕ ЮЙУМП ЛПМЕВБФЕМШОЩИ УПУФПСОЙК ОБ ЕДЙОЙГХ ПВ ЕНБ: (4ı=3)kD3 = (2ı)3v−1, ЗДЕ v | ПВ ЕН ЬМЕНЕОФБТОПК СЮЕКЛЙ ЛТЙУФБММБ. бОБМПЗЙЮОП, ПРФЙЮЕУЛЙЕ ЖПОПОЩ ПРЙУЩŒБАФУС НПДЕМША ьКОЫФЕКОБ, Œ ЛПФПТПК ЮБУФПФБ ЖПОПОПŒ РПМБЗБЕФУС ОЕ ЪБŒЙУСЭЕК ПФ ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ: !0(k) = ˙0 = const, РТЙЮЕН |k| < kD рТЙНЕТ ДŒХИЛПНРПОЕОФОПЗП ЛТЙУФБММБ, Œ ЛПФПТПН ЙНЕАФУС ЛБЛ БЛХУФЙЮЕУЛЙЕ, ФБЛ Й ПРФЙЮЕУЛЙЕ ЖПОПОЩ ВЩМ ТБУУНПФТЕО Œ ЪБДБЮЕ 1, ЗДЕ, Œ ЮБУФОПУФЙ, ВЩМП РПЛБЪБОП, ЮФП ДЙУРЕТУЙС ПРФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ ЙУЮЕЪБЕФ РТЙ УЙМШОПН ПФМЙЮЙЙ НБУУ БФПНПŒ.

дМС ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПЗП ПРЙУБОЙС ЖПОПОПŒ ŒŒПДСФУС ПРЕТБФПТЩ УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ u(r; t) Й РМПФОПУФЙ ЙНРХМШУБ ТЕЫЕФЛЙ p(r; t). (дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ НЩ ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ ПВ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОБИ.) пРЕТБФПТЩ u(r; t) Й p(r; t) НПЗХФ ВЩФШ УФБОДБТФОЩН ПВТБЪПН ЪБРЙУБОЩ ЮЕТЕЪ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС ЖПОПОПŒ b+k É bk:

111

ЗДЕ j, V | РМПФОПУФШ Й ПВ ЕН ЛТЙУФБММБ, Б ek¸ | ŒЕЛФПТ РПМСТЙЪБГЙЙ ЖПОПОБ. йОДЕЛУ ¸ ОХНЕТХЕФ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ ЛТЙУФБММБ 1. пРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ k ТБŒОЩ: b−k¸ = b+k¸. (ьФП УМЕДХЕФ ЙЪ ŒЕЭЕУФŒЕООПУФЙ u(r; t) Й p(r; t).)

œŒЕДЕООЩЕ ПРЕТБФПТЩ РПДЮЙОСАФУС УМЕДХАЭЙН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН. лПННХФБФПТЩ ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ bk É b+k ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ: [bk¸; b+k ¸ ] = (2ı)3V ‹¸¸ ‹(3)(k − k ). оПТНЙТПŒПЮОЩЕ НОПЦЙФЕМЙ Œ ПРТЕДЕМЕОЙСИ (6.1) Й (6.2) ŒЩВТБОЩ ФБЛ, ЮФП ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ДМС ПРЕТБФПТПŒ u(r; t) Й p(r; t), УМЕДХАЭЙЕ ЙЪ (6.1) Й (6.2), ЙНЕАФ ŒЙД

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЗБНЙМШФПОЙБО (6.4) РТЙŒПДЙФ Л ДЙОБНЙЛЕ ПРЕТБФПТПŒ u(r; t) Й p(r; t), ЪБДБООПК УППФОПЫЕОЙСНЙ (6.1) Й (6.2).

œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЖПОПОПŒ Й ЬМЕЛФТПОПŒ СŒМСЕФУС ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РП УŒПЕК РТЙТПДЕ. лПМЕВБОЙС ТЕЫЕФЛЙ РТЙŒПДСФ Л ПФЛМПОЕОЙА ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС ЙПОПŒ, ДЕКУФŒХА-

ЭЕЗП ОБ ЬМЕЛФТПОЩ, ПФ УŒПЕЗП УТЕДОЕЗП ЪОБЮЕОЙС. рПФЕОГЙБМ ŒПЪОЙЛБАЭЕЗП ДПВБŒПЮОПЗП РПМС РТЙОСФП ОБЪЩŒБФШ ДЕЖПТНБГЙПООЩН РПФЕОГЙБМПН. œ ПФУХФУФŒЙЕ ЬЛТБ-

ОЙТПŒЛЙ ЛХМПОПŒУЛЙЕ УЙМЩ СŒМСАФУС ДБМШОПДЕКУФŒХАЭЙНЙ Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У ЖПОПОБНЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС УХЭЕУФŒЕООП ОЕМПЛБМШОЩН. фБЛБС УЙФХБГЙС ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У ПРФЙЮЕУЛЙНЙ ЖПОПОБНЙ. иБТБЛФЕТ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ДЕЖПТНБГЙПООПЗП РПФЕОГЙБМБ ПФ ŒПМОПŒЩИ ŒЕЛФПТПŒ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ ПРТЕДЕМСЕФУС УЙННЕФТЙЕК ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЙ.

œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ПРФЙЮЕУЛЙНЙ ЖПОПОБНЙ, ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ ПВЩЮОП СŒМСЕФУС МПЛБМШОЩН. дЕМП Œ ФПН, ЮФП РТЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙСИ ТЕЫЕФЛЙ У НБМЩНЙ k УНЕЭЕОЙС УПУЕДОЙИ БФПНПŒ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ПДЙОБЛПŒЩ (УН. ЪБДБЮХ 1). œУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП, ЬМЕЛФТЙЮЕУЛБС РПМСТЙЪБГЙС, ŒПЪОЙЛБАЭБС РТЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙСИ, ПЛБЪЩŒБЕФУС РТПРПТГЙПОБМШОПК ЗТБДЙЕОФХ ДЕЖПТНБГЙЙ ТЕЫЕФЛЙ: P(r) ≈ div u(r). рПЬФПНХ РПФЕОГЙБМ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС РПМСТЙЪБГЙЙ P(r) ПЛБЪЩŒБЕФУС РТПРПТГЙПОБМШОЩН ДЕЖПТНБГЙЙ ТЕЫЕФЛЙ: UÄÅÆ(r) ≈ div u(r).

œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У БЛХУФЙЮЕУЛЙНЙ ЖПОПОБНЙ РТЙОСФП ТБУУНБФТЙŒБФШ У РПНПЭША ХРТПЭЕООПК НПДЕМЙ, Œ ЛПФПТПК РТЕОЕВТЕЗБЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН У РПРЕТЕЮОЩНЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙНЙ НПДБНЙ, ЙНЕАЭЙНЙ ŒЕЛФПТЩ РПМСТЙЪБГЙЙ ek k. пЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН ŒЩТБЪЙФШ ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ ЮЕТЕЪ РПМЕ

1œ ДБМШОЕКЫЕН НЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙŒБФШ ЗМБŒОЩН ПВТБЪПН РТПДПМШОЩЕ ЛПМЕВБОЙС, ДМС ЛПФПТЩИ ek¸ k.