Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

дМС ДЕВБЕŒУЛЙИ ЖПОПОПŒ У ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ !(k) = c|k| ЙНЕЕФ НЕУФП ТБŒЕОУФŒП ’(r; t) = c√j div u(r; t). (рПЬФПНХ Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ ’(r) ≈ div u(r).) дЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБО ЛБЛ UÄÅÆ(r) = g’(r), ЗДЕ g | ЛПОУФБОФБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

œ ПРЙУБООПК НПДЕМЙ ЗБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У ЖПОПОБНЙ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ РПМС (6.5) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

(ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЗБНЙМШФПОЙБО жТ­ЕМЙИБ). иПФС ЙЪ УДЕМБООЩИ ПГЕОПЛ УМЕДХЕФ, ЮФП g ≈ 1 Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ, ОБДП ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ ЮФП УЙМБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НПЦЕФ ŒЕУШНБ УЙМШОП ŒБТШЙТПŒБФШУС ПФ ПДОПК УЙУФЕНЩ Л ДТХЗПК.

дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ УФТПЙФУС У РПНПЭША ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОПŒ, ПРТЕДЕМЕООПК УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖХОЛГЙС зТЙОБ D(!; k) ЕУФШ

!2(k)

D0(!; k) = 0 : (6.8) !2 − !02(k) + i0

рТБŒЙМБ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ ДМС ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ РПЮФЙ ФБЛЙЕ ЦЕ, ЛБЛ Й ДМС УМХЮБС ДŒХИЮБУФЙЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

1)œУЕ ДЙБЗТБННЩ УФТПСФУС ЙЪ ДŒХИ ЬМЕНЕОФПŒ: РТПУФЩИ МЙОЙК, ПРЙУЩŒБАЭЙИ ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ, Й ŒПМОЙУФЩИ, ПРЙУЩŒБАЭЙИ ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ЖПОПОПŒ.

2)дŒЕ ЬМЕЛФТПООЩИ Й ПДОБ ЖПОПООБС МЙОЙЙ УПЕДЙОСАФУС Œ ŒЕТЫЙОБИ.

3)n{НХ РПТСДЛХ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК УППФŒЕФУФŒХАФ ДЙБЗТБННЩ У 2n ŒЕТЫЙОБНЙ.

4)лБЦДПК ЬМЕЛФТПООПК МЙОЙЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ G0(x−x ) (x { ОБЮБМШОБС ФПЮЛБ, x { ЛПОЕЮОБС). лБЦДПК ЖПОПООПК | НОПЦЙФЕМШ D0(x − x ).

5)œЩТБЦЕОЙЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ДБООПК ДЙБЗТБННЕ, УМЕДХЕФ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ЛППТДЙОБФБН ЕЕ ŒЕТЫЙО. лБЦДПК ŒЕТЫЙОЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ g.

6)рПМХЮЙŒЫЙКУС ПФŒЕФ УМЕДХЕФ ХНОПЦЙФШ ОБ in (−1)F , ЗДЕ n | ЮЙУМП ŒПМОЙУФЩИ МЙОЙК, Б F | ЮЙУМП ЪБНЛОХФЩИ РЕФЕМШ, ПФŒЕЮБАЭЙИ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГБН.

œЩЮЙУМЙŒ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ, НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ УРЕЛФТ ЬМЕЛФТПОПŒ У ХЮЕФПН ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. дМС ФПЗП ЮФПВЩ БОБМПЗЙЮОЩН ПВТБЪПН ОБКФЙ УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ, ОХЦОП ТБУУНПФТЕФШ РПМАУБ ЖПОПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ D(!; k). лБЛ Й ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ G("; p), ДМС

ЖПОПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦОП РТПДЕМБФШ БОБМЙЪ, ПРЙУБООЩК Œ Р. 4.1.1, ŒЩДЕМЙФШ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Й РТПŒЕУФЙ УХННЙТПŒБОЙЕ ДЙБЗТБНН У РПНПЭША

ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ. уПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ЖПОПОПŒ ПВЩЮОП ОБЪЩŒБЕФУС РПМСТЙЪБГЙПООЩН ПРЕТБФПТПН Й ПВПЪОБЮБЕФУС ЮЕТЕЪ ˝(!; k). рПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕ-

ТБФПТ ˝(!; k) ЕУФШ УХННБ УМЕДХАЭЙИ ДЙБЗТБНН:

òÉÓ. 6.1

хТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОПŒ ŒЩЗМСДЙФ БОБМПЗЙЮОП ХТБŒОЕОЙА (4.9):

Й ТЕЫБЕФУС УФБОДБТФОЩН ПВТБЪПН:

рПЬФПНХ УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ ПРТЕДЕМСЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН

œЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ !(k) ПРТЕДЕМСЕФ ДЙУРЕТУЙА ЖПОПОПŒ, Б НОЙНБС | ЙИ ЪБФХИБОЙЕ ЙЪ-ЪБ РЕТЕДБЮЙ ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОБН.

рТЙ ЙЪХЮЕОЙЙ ЬЖЖЕЛФПŒ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН РПМШЪПŒБФШУС ВЕЪТБЪНЕТОПК ЛПОУФБОФПК ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС “ = g2 0 ( 0 = mp0=2ı2h—3 | РМПФОПУФШ ЬМЕЛФТПООЩИ УПУФПСОЙК ВЕЪ ХЮЕФБ УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС). пГЕОЛБ “ ЙЪ РЕТŒЩИ РТЙОГЙРПŒ ДБЕФ ЪОБЮЕОЙЕ “ 1. рПЬФПНХ, ЛБЪБМПУШ ВЩ, ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ, ЬЛŒЙŒБМЕОФОПЕ УХННЙТПŒБОЙА ДЙБЗТБНН РТПЙЪŒПМШОП ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ, ДПМЦОП ВЩФШ ОЕŒПЪНПЦОЩН. пДОБЛП ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ ЪБДБЮЕ РТЙУХФУФŒХЕФ ДТХЗПК НБМЩК РБТБНЕФТ, РПЪŒПМСАЭЙК ОБКФЙ

ТЕЫЕОЙЕ ВЕЪ РТЕДРПМПЦЕОЙС П НБМПУФЙ “ . ьФПФ РБТБНЕФТ ЕУФШ !D ="F (!D = ckD |

ДЕВБЕŒУЛБС ЮБУФПФБ), ЮФП РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ ТБŒОП m=M , ЗДЕ m Й M | НБУУЩ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЙПОПŒ. хУМПŒЙЕ !D ="F 1 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЙПОЩ, ŒŒЙДХ ЙИ ВПМШЫПК НБУУЩ, ДŒЙЗБАФУС ОБНОПЗП НЕДМЕООЕЕ, ЮЕН ЬМЕЛФТПОЩ. рПЬФПНХ ЬМЕЛФТПОЩ ОЕ НПЗХФ ТБУЛБЮБФШ ТЕЫЕФЛХ, ŒНЕУФП ЬФПЗП ПОЙ РТПУФП РПДУФТБЙŒБАФУС РПД ЕЕ МПЛБМШОХА ЛПОЖЙЗХТБГЙА. дТХЗБС ЙОФЕТРТЕФБГЙС ХУМПŒЙС !D ="F 1 | ВПМШЫПЕ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ ЖПОПОПŒ ОБ ŒТЕНЕОБИ РПТСДЛБ h="— F .

фЕПТЙС ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ, ЙУРПМШЪХАЭБС НБМЩК РБТБНЕФТ !D="F 1, ОБЪЩŒБЕФУС ФЕПТЙЕК нЙЗДБМБ. хРТПЭЕООП ЗПŒПТС, ЬФБ ФЕПТЙС

РПЪŒПМСЕФ ТБУРТПУФТБОЙФШ ЙДЕЙ ФЕПТЙЙ РПМСТПОБ (УН. ЪБДБЮЙ 16,17,21,33) ОБ УМХЮБК ЬМЕЛФТПООПК ЖЕТНЙ{УЙУФЕНЩ. вПМЕЕ ЖПТНБМШОП, ФЕПТЙС нЙЗДБМБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ОБВПТ ХФŒЕТЦДЕОЙК П УŒПКУФŒБИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК, ŒЩФЕЛБАЭЙИ ЙЪ НЕДМЕООПУФЙ ДЙОБНЙЛЙ ЖПОПОПŒ РП УТБŒОЕОЙА У ДЙОБНЙЛПК ЬМЕЛФТПОПŒ. œ ЬФПК ФЕПТЙЙ РПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ, ИПФС Й ŒЕМЙЛЙ, ĂОЕ ТБУРТПУФТБОСАФУСĄ ЙЪ РТПУФЩИ ЗТБЖЙЛПŒ Œ ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ. ьФП РТПСŒМСЕФУС Œ ФПН, ЮФП ОЕФ ПВТБФОПЗП ŒМЙСОЙС РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ ЬМЕЛФТПООПЗП УРЕЛФТБ ОБ ЖПОПОЩ, Б ФБЛЦЕ Œ НБМПУФЙ РПРТБŒПЛ Л ŒЕТЫЙОЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. пУОПŒОЩЕ РПМПЦЕОЙС ФЕПТЙЙ нЙЗДБМБ УЖПТНХМЙТПŒБОЩ Œ ЪБДБЮБИ 29 { 31. фЕПТЙС ПРЙУЩŒБЕФ ŒМЙСОЙЕ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ФЕТНЙОБИ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ УŒПКУФŒ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ (ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ). рТЙ ЬФПН ОЕ РТПЙУИПДЙФ ЛБЛПЗП-МЙВП ТБЪТХЫЕОЙС ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ | ХФŒЕТЦДБЕФУС, ЮФП ЛБТФЙОБ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПУФБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒПК.

œ ЪБЛМАЮЕОЙЕ УМЕДХЕФ УЛБЪБФШ, ЮФП ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ | ОЕ ФБЛБС РТПУФБС ŒЕЭШ, ЛБЛ НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС ЙЪ ŒЩЫЕЙЪМПЦЕООПЗП. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, ЬФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ПВТБЪПŒБОЙА ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ Й Л УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ (УН. ЗМ. 10). лТПНЕ ФПЗП, Œ ПДОПНЕТОПН УМХЮБЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ПВТБЪПŒБОЙА РБКЕТМУПŒУЛПЗП ДЙЬМЕЛФТЙЛБ (УН. ЪБДБЮХ 32). лБЛ Œ УМХЮБЕ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП, ФБЛ Й Œ УМХЮБЕ ДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП УПУФПСОЙК РТПЙУИПДЙФ РПМОПЕ ĂТБЪТХЫЕОЙЕĄ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, РТПСŒМСАЭЕЕУС Œ ЙУЮЕЪОПŒЕОЙЙ УПУФПСОЙК У ДПУФБФПЮОП НБМЩНЙ ЬОЕТЗЙСНЙ. рПЬФПНХ, УФТПЗП ЗПŒПТС, Œ РТЙУХФУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПО{ ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ ОЙЛПЗДБ ОЕ СŒМСЕФУС ХУФПКЮЙŒЩН УПУФП-

СОЙЕН РТЙ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЕ.

мЙФЕТБФХТБ: œФПТЙЮОП{ЛŒБОФПŒБООЩЕ ПРЕТБФПТЩ ЖПОПООПЗП РПМС ПРТЕДЕМЕОЩ Œ [1], § 7. рТБŒЙМБ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ ДМС ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТЙŒЕДЕОЩ Œ [1], § 9. œЕУШНБ РТПЪТБЮОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ЬФЙИ ŒПРТПУПŒ ДМС НПДЕМЙ ПРФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ УПДЕТЦЙФУС Œ [3], § 6.10. фЕПТЙС ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММБИ ТБУУНПФТЕОБ Œ [1], § 21, Б ФБЛЦЕ Œ [6], § 64, 65.

6.2. ъБДБЮЙ 28 { 33

ъБДБЮБ 28. (œТЕНС ЦЙЪОЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ.) тБУУНПФТЙН ŒЩТПЦДЕООЩК ЬМЕЛФТПООЩК ЗБЪ РТЙ T = 0, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК У ЛПМЕВБОЙСНЙ ТЕЫЕФЛЙ (УН. ЪБДБЮЙ 16, 17). оБКДЙФЕ ЪБФХИБОЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЬОЕТЗЙЕК |"| "F , ŒЩЮЙУМЙŒ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚("; p) Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. ъБ-

ФХИБОЙЕ ДБЕФУС НОЙНПК ЮБУФША Im ˚("; p).

ъБДБЮБ 29. (рЕТЕОПТНЙТПŒЛБ УРЕЛФТБ ЬМЕЛФТПОПŒ.) йЪХЮЙФЕ ŒМЙСОЙЕ ЬМЕЛФТПОЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБ УРЕЛФТ ЬМЕЛФТПОПŒ. оБКДЙФЕ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ Re ˚("; p) Й ХВЕДЙФЕУШ Œ ФПН, ЮФП ПОБ ЪБŒЙУЙФ ПФ " Й РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ p.

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Re ˚(") НПЦЕФ ВЩФШ ŒЕМЙЛБ ФПМШЛП Œ ОЕВПМШЫПК РП УТБŒОЕОЙА

Ó "F ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК |"| !D (НЩ ПФУЮЙФЩŒБЕН ЬОЕТЗЙА ЛŒБЪЙЮБУФЙГ " ПФ ХТПŒОС жЕТНЙ). œЩТБЪЙФЕ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ЮЕТЕЪ ˚(") Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС

жЕТНЙ ЬМЕЛФТПОЩ ĂХФСЦЕМСАФУСĄ, Б РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК | ŒПЪТБУФБЕФ.

ъБДБЮБ 30. (фЕПТЕНБ нЙЗДБМБ | ОЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ ŒЕТЫЙОЩ.) пГЕОЙФЕ РПРТБŒЛХ Л ŒЕТЫЙОЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (ТЙУ. 6.2):

Γ (1)=

òÉÓ. 6.2

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЕЕ ПФОПУЙФЕМШОБС ŒЕМЙЮЙОБ РПТСДЛБ !D ="F .

дМС ФПЗП ЮФПВЩ РТПСУОЙФШ ТПМШ РБТБНЕФТБ !D ="F ФЕПТЙЙ нЙЗДБМБ, ŒЩЮЙУМЙФЕ ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ Œ УНЕЫБООПН ĂЙНРХМШУОП-ŒТЕНЕООПНĄ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, Œ ЛПФПТПН

ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЙНРХМШУБ Й ПФ ŒТЕНЕОЙ.

ъБДБЮБ 31. (жПОПОЩ Œ НЕФБММЕ.) тБУУНПФТЙН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˝(!; k) ЖПОПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ:

Π(ω,k) =

ÇÄÅ “ = g2 0 | ВЕЪТБЪНЕТОБС ЛПОУФБОФБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. (œ НЕФБММБИ ПВЩЮОП РБТБНЕФТ “ ОЕ НБМ, ОП ŒУЕ ЦЕ 1 − 2“ > 0.)

В) тБУУНБФТЙŒБС Im ˝(!; k) РТЙ НБМЩИ ! Й k, ПРТЕДЕМЙФЕ ДМЙОХ ЪБФХИБОЙС ЪŒХЛБ

Œ НЕФБММЕ. лБЛ ПОБ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЮБУФПФЩ? уТБŒОЙФЕ У ЪБФХИБОЙЕН ЪŒХЛБ Œ ЗБЪЕ.

ъБДБЮБ 32*. (рБКЕТМУПŒУЛБС ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ.) оБКДЙФЕ ˝(!; k) (УН. ТЙУ. 6.3) Œ ПДОПНЕТОПН УМХЮБЕ. рПМХЮЙФЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ПУПВЕООПУФШ ˝(!; k) РТЙ k = 2p0. œВМЙЪЙ ЬФПЗП ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ ЮБУФПФБ ЖПОПОПŒ УФБОПŒЙФУС НОЙНПК, ЮФП ПЪОБЮБЕФ ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ УЙУФЕНЩ РП ПФОПЫЕОЙА Л ЛБЛПК-ФП РЕТЕУФТПКЛЕ. юФП ЙНЕООП РТЙ ЬФПН РТПЙУИПДЙФ? œ ЛБЛПЕ УПУФПСОЙЕ РЕТЕИПДЙФ УЙУФЕНБ?

ъДЕУШ u(r) | РПМЕ УНЕЭЕОЙК УТЕДЩ, Б w(r) = u(r) | ДЕЖПТНБГЙС УТЕДЩ. нЩ ЙУРПМШЪХЕН ЛМБУУЙЮЕУЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (j=2)u2 ДМС ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ, РПУЛПМШЛХ ОБУ

ВХДЕФ ЙОФЕТЕУПŒБФШ УМХЮБК УЙМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЛПЗДБ УНЕЭЕОЙЕ u(r) ДПУФБФПЮОП ŒЕМЙЛП. œ ЬФПК УЙФХБГЙЙ РПМС u(r) Й w(r) НПЦОП УЮЙФБФШ ЛМБУУЙЮЕУЛЙНЙ. вПМЕЕ ФПЗП, Œ ДХИЕ БДЙБВБФЙЮЕУЛПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС НПЦОП УЮЙФБФШ, ЮФП ДЕЖПТНБГЙС ТЕЫЕФЛЙ УМЕДХЕФ ЪБ ДŒЙЦЕОЙЕН ЬМЕЛФТПОБ, ОЕ ЙНЕС ЛБЛПК-МЙВП УПВУФŒЕООПК ДЙОБНЙЛЙ 2.

Б) тБУУНПФТЙН УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ ЬМЕЛФТПО ŒНЕУФЕ У ŒЩЪŒБООПК ЙН ДЕЖПТНБГЙЕК УТЕДЩ w(r) РПЛПЙФУС (Œ ЬФПН УМХЮБЕ u = 0), Й ОБКДЕН w(r), НЙОЙНЙЪЙТХАЭХА ЬОЕТ-

ÇÉÀ (6.13): w(r) = −(–=K)| (r)|2. ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЬМЕЛФТПО ДЕЖПТНЙТХЕФ ТЕЫЕФЛХ ŒПЛТХЗ УЕВС, РТЙЮЕН ДЕЖПТНБГЙС ФБЛПŒБ, ЮФП ЬОЕТЗЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ ЕЗП УПВУФŒЕООПН РПМЕ w(r) РПОЙЦБЕФУС. еУМЙ ŒЩЙЗТЩЫ ЬОЕТЗЙЙ ДПУФБФПЮОП ŒЕМЙЛ, ФП ЬМЕЛФТПО ĂУБН УЕВЕ ЛПРБЕФ СНХĄ Й ПВТБЪХЕФ Œ ОЕК УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ.

ъБРЙЫЙФЕ ХТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ ДМС ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ ЬМЕЛФТПОБ (r), ŒЩТБЪЙŒ РПФЕОГЙБМ ЮЕТЕЪ (r). тЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ОЕМЙОЕКОПЗП ХТБŒОЕОЙС МЕЗЮЕ ŒУЕЗП РПМХЮЙФШ

Œ УМХЮБЕ ПДОПЗП РТПУФТБОУФŒЕООПЗП ЙЪНЕТЕОЙС. оБКДЙФЕ (r) Œ ЬФПН УМХЮБЕ Й ПРТЕДЕМЙФЕ ŒЩЙЗТЩЫ ЬОЕТЗЙЙ ЪБ УЮЕФ БŒФПМПЛБМЙЪБГЙЙ. пВУХДЙФЕ, ЛБЛ ТБЪНЕТ МПЛБМЙЪПŒБООПЗП УПУФПСОЙС, ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ, Й ХУМПŒЙЕ ЕЗП УХЭЕУФŒПŒБОЙС ЪБŒЙУСФ ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ – Й ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ РТПУФТБОУФŒБ.

В) пРТЕДЕМЙН ЬЖЖЕЛФЙŒОХА НБУУХ БŒФПМПЛБМЙЪПŒБООПЗП УПУФПСОЙС РПМСТПОБ. 3 œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ ЛМБУУЙЮЕУЛПК ДЕЖПТНБГЙЙ (6.13) ОБКДЙФЕ ЬОЕТЗЙА УПУФПСОЙС, ДŒЙЦХЭЕЗПУС У РПУФПСООПК УЛПТПУФША v, ЛБЛ ЖХОЛГЙА v Й ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ –. йЪ ОБКДЕООПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ РПМХЮЙФЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ РПМСТПОБ. рТЙ ЛБЛПК ŒЕМЙЮЙОЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС – УРТБŒЕДМЙŒП ЙУРПМШЪПŒБООПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УЙМШОПК УŒСЪЙ (Ф. Е. ЛМБУУЙЮЕУЛПК ДЕЖПТНБГЙЙ)?

6.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 28. уПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ДБЕФУС ДЙБЗТБННПК ОБ ТЙУ. 4.10, Œ ЛПФПТПК ЙУРПМШЪХЕФУС РТЙЮЙООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ G0("; p) = (" − ‰p + i0 sign ‰p)−1. œ ЪБДБЮЕ 16 ЬФБ ЦЕ ДЙБЗТБННБ ТБУУНБФТЙŒБМБУШ ДМС ПДОПЗП ЬМЕЛФТПОБ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП У ЖПОПОБНЙ. рТЙ ЬФПН ВЩМБ ЙУРПМШЪПŒБОБ ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ Œ РХУФПН РТПУФТБОУФŒЕ (УН. (4.34)). пДОБЛП Œ ЪБДБЮЕ П ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ ЬФБ ЖХОЛГЙС ОЕ ЗПДЙФУС, РПУЛПМШЛХ ПОБ ОЕ ХЮЙФЩŒБЕФ, ЮФП ЬМЕЛФТПО ОЕ НПЦЕФ РЕТЕИПДЙФШ Œ ЪБОСФЩЕ УПУФПСОЙС. фБЛЙН ПВТБЪПН,

пУОПŒОПЕ ПФМЙЮЙЕ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ПФ (4.34) ЪБЛМАЮБЕФУС Œ УРПУПВЕ ПВИПДБ РПМАУПŒ. пОЙ ОБИПДСФУС Œ ФПЮЛБИ !1 = " − ‰p−k + i 0 sign ‰p−k É !2;3 = ±(ck − i 0).

2бДЙБВБФЙЮЕУЛПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ДМС РПМСТПОБ УЙМШОПК УŒСЪЙ Й ФЕПТЙС БŒФПМПЛБМЙЪБГЙЙ ВЩМЙ ŒРЕТŒЩЕ РТЕДМПЦЕОЩ Œ ТБВПФЕ: S. I. Pekar, J. Phys. (U.S.S.R.), v. 10, p. 341 (1946); УН. ФБЛЦЕ: у. й. рЕЛБТ, йУУМЕДПŒБОЙС РП ЬМЕЛФТПООПК ФЕПТЙЙ ЛТЙУФБММПŒ, зПУФЕИЙЪДБФ, 1951.

3 м. д. мБОДБХ, у. й. рЕЛБТ, цьфж, Ф. 18, У. 419 (1948).