Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ МАВПН ŒЕЭЕУФŒЕООПН 0 < ¸ < ı ЙНЕЕФУС ДŒБ ОЕЪБŒЙУЙНЩИ ТЕЫЕОЙС ХЛБЪБООПЗП ŒЙДБ, ПРЙУЩŒБАЭЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС У „ = ±¸. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛТПНЕ ОЙИ РТЙ F0 > 0 ЙНЕЕФУС ПДОП ТЕЫЕОЙЕ um У ЛПНРМЕЛУОЩН ¸, ЪБФХИБАЭЕЕ РТЙ m → ±∞. ьФП ТЕЫЕОЙЕ ПРЙУЩŒБЕФ ЛПММЕЛФЙŒОХА ОХМШ-ЪŒХЛПŒХА НПДХ. лŒБЪЙЮБУФЙЮОЩЕ ТЕЫЕОЙС ИБТБЛФЕТЙЪХАФУС ЮБУФПФБНЙ |!| < kvF , Б ЮБУФПФБ ЛПММЕЛФЙŒОПК НПДЩ МЕЦЙФ ЪБ РТЕДЕМБНЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП ЛПОФЙОХХНБ: !(k) > kvF .

нПЦОП ЪБНЕФЙФШ БОБМПЗЙА У ЪБДБЮЕК П УРЕЛФТЕ ПРЕТБФПТБ ыТЕДЙОЗЕТБ ДМС РПФЕОГЙБМБ, ХВЩŒБАЭЕЗП ОБ ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ. œ ПВЭЕН УМХЮБЕ УРЕЛФТ ЬФПЗП ПРЕТБФПТБ УПДЕТЦЙФ ОЕРТЕТЩŒОХА Й ДЙУЛТЕФОХА ЛПНРПОЕОФЩ. рЕТŒБС УППФŒЕФУФŒХЕФ УПУФПСОЙСН ТБУУЕСОЙС, Б ŒФПТБС | МПЛБМЙЪПŒБООЩН УПУФПСОЙСН.

ъБДБЮБ 44. (рМБЪНЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС.) тБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 8.3 РТЙ

ЛПОЕЮОПК РЕТЕДБŒБЕНПК ЮБУФПФЕ ! Й ЙНРХМШУЕ k. зПŒПТСФ, ЮФП УХННБ ДЙБЗТБНН ОБ ТЙУ. 8.3 ПРЙУЩŒБЕФ ЬЖЖЕЛФ ДЙОБНЙЮЕУЛПК ЬЛТБОЙТПŒЛЙ ЪБФТБŒПЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

Vk, ЙЪПВТБЦЕООПЗП ŒПМОЙУФПК МЙОЙЕК. ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК !(k) ПРТЕДЕМСЕФУС РПМАУБНЙ ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

+ +

òÉÓ. 8.3

Б) оБКДЙФЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) РТЙ |k| p0, ! EF . уЮЙФБС ЪБФТБŒПЮОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЛХМПОПŒУЛЙН, Vk = 4ıe2=k2, РТПУХННЙТХКФЕ ТСД Й РПМХЮЙФЕ ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ V!;k. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ЬФПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО !(k) ДБЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН (8.14), РПМХЮЕООЩН ЙЪ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. пРТЕДЕМЙФЕ РПŒЕДЕОЙЕ !(k) РТЙ НБМЩИ

Й ВПМШЫЙИ k.

В) (фПЮЛБ ПЛПОЮБОЙС УРЕЛФТБ.) пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО ЪБЛБОЮЙŒБЕФУС РТЙ ОЕЛПФПТПН kmax, ŒМЙŒБСУШ Œ ЛПОФЙОХХН ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК. юФПВЩ ЙУУМЕДПŒБФШ ЬФПФ ЬЖЖЕЛФ У РПНПЭША ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 8.3, ОЕПВИПДЙНП ОБКФЙ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ВПМЕЕ ФПЮОП, ЮЕН ЬФП ВЩМП УДЕМБОП Œ ЮБУФЙ Б).

оБКДЙФЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ РТЙ РТПЙЪŒПМШОЩИ ! Й k. тЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ Vk˝(!; k) = 1, ПРТЕДЕМЙФЕ ФПЮЛХ ПЛПОЮБОЙС УРЕЛФТБ kmax, !max.

Œ) хВЕДЙФЕУШ, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ ДМС ЮБУФПФЩ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО !(k) УПŒРБДБЕФ У УППФОПЫЕОЙЕН (8.26), РПМХЮЕООЩН Œ ТЕЪХМШФБФЕ ДЙБЗПОБМЙЪБГЙЙ ЗБНЙМШФПОЙБОБ HRPA

ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ.

ъБДБЮБ 45. (лХМПОПŒУЛПЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙЕ.) Б) ьМЕЛФТПОЩ Œ НЕФБММЕ ЬЛТБОЙТХАФ МАВПК ŒОЕЫОЙК ЬМЕЛФТПУФБФЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ. ьФПФ ЬЖЖЕЛФ НПЦОП ЙЪХЮЙФШ,

ТБУУНПФТЕŒ ДЙБЗТБННОЩК ТСД, РПЛБЪБООЩК ОБ ТЙУ. 8.3. рТПУХННЙТХКФЕ ЬФПФ ТСД Œ УФБФЙЮЕУЛПН РТЕДЕМЕ k !=vF , УЮЙФБС ФБЛЦЕ, ЮФП k p0. рПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ дЕВБС ДМС ЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

тБЪХНЕЕФУС, ЬЛТБОЙТПŒЛБ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЪБТСЦЕООПК УЙУФЕНЕ ЕУФШ ЮЙУФП ЛМБУУЙЮЕУЛЙК ЬЖЖЕЛФ, ŒПЪОЙЛБАЭЙК ЙЪ-ЪБ ДБМШОПДЕКУФŒЙС РПФЕОГЙБМБ 1=r. дМС ЙММАУФТБГЙЙ ЬФПЗП ПВУФПСФЕМШУФŒБ, ОБРПНОЙН, ЛБЛ ТЕЫБЕФУС ЪБДБЮБ ПВ ЬЛТБОЙТПŒБОЙЙ Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК РМБЪНЕ.

œОЕУЕН Œ РМБЪНХ УФБФЙЮЕУЛЙК ЪБТСД j0(r). œПЪОЙЛБАЭЙК РТЙ ЬФПН РПФЕОГЙБМ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА рХБУУПОБ 2˘(r) = −4ı(‹j(r) + j0(r)), ÇÄÅ ‹j(r) | РМПФОПУФШ ЬЛТБОЙТХАЭЕЗП ЪБТСДБ,

уМЕДПŒБФЕМШОП, ЬЛТБОЙТПŒБООЩК РПФЕОГЙБМ ФПЮЕЮОПЗП ЪБТСДБ ДБЕФУС ФБЛЙН ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙЕН (8.28), ЛБЛ Й РТЙ T = 0. пФМЙЮЙЕ УПУФПЙФ ФПМШЛП Œ ŒЕМЙЮЙОЕ ДМЙОЩ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС κ−1.

дТХЗПЕ СŒМЕОЙЕ, ЙНЕАЭЕЕ НЕУФП ОЕ ФПМШЛП Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, ОП Й Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК РМБЪНЕ, | ЬФП РМБЪНЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС.

В) рПХЮЙФЕМШОП ТЕЫЙФШ ЬФХ ЪБДБЮХ ДТХЗЙН УРПУПВПН, ЙУРПМШЪХС ЗБНЙМШФПОЙБО ДМС ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК (8.21), ŒЩŒЕДЕООЩК Œ ТБЪД. 8.3. тБУУНПФТЙН ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЕ У ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФША. йУРПМШЪХС РТЕДУФБŒМЕОЙЕ (8.16) ДМС ПРЕТБФПТБ РМПФОПУФЙ, ЪБРЙЫЕН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У ŒОЕЫОЙН РПМЕН V (ext)(r) ÔÁË:

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ МЙОЕКОП РП ВПЪЕ-ПРЕТБФПТБН cp;k, Б ЗБНЙМШФПОЙБО (8.21) | ЛŒБДТБФЙЮЕО. рПЬФПНХ НПЦОП ОБКФЙ ПФЛМЙЛ РМПФОПУФЙ ОБ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ, УРТПЕГЙТПŒБŒ ŒПЪНХЭЕОЙЕ (8.30) ОБ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ УЙУФЕНЩ ПУГЙММСФПТПŒ, ОБКДС ПФЛМЙЛ ЛБЦДПК ЙЪ ЬФЙИ НПД, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТПŒБŒ РП ŒУЕН НПДБН. оБКДЙФЕ ФБЛЙН УРПУПВПН ПФЛМЙЛ ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ ОБ ЛХМПОПŒУЛЙК РПФЕОГЙБМ Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ТЕЪХМШФЙТХАЭЙК

ЪБЬЛТБОЙТПŒБООЩК РПФЕОГЙБМ УПŒРБДБЕФ У (8.29).

ъБДБЮБ 46. (рБТБНБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ.) тБУУНПФТЙН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ УП УРЙОПН 1=2 Й ЛПОФБЛФОЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ: V (r−r ) = g‹(r−r ). л УЙУФЕНЕ РТЙМПЦЕОП ПДОПТПДОПЕ ŒОЕЫОЕЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ B. вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЖЕТНЙПОЩ ОЕЪБТСЦЕОЩ, ФБЛ ЮФП РПМЕ ДЕКУФŒХЕФ ФПМШЛП ОБ УРЙО. œ ЬФПН УМХЮБЕ ЖЕТНЙЦЙДЛПУФШ ПРЙУЩŒБЕФУС ЗБНЙМШФПОЙБОПН (8.1), Л ЛПФПТПНХ ДПВБŒМЕО ЮМЕО

ÇÄÅ !B = —B | ЪЕЕНБОПŒУЛБС ЬОЕТЗЙС. рПУЛПМШЛХ ЬОЕТЗЙЙ УПУФПСОЙК УП УРЙОПН ŒŒЕТИ Й ŒОЙЪ ПФМЙЮБАФУС ОБ 2!B , ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ УЙУФЕНЩ ПРЙУЩŒБЕФУС ДŒХНС ЖЕТНЙ-УЖЕТБНЙ, ЙНЕАЭЙНЙ ТБЪОЩЕ ТБДЙХУЩ p0;↓ É p0;↑. œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

ТБДЙХУЩ ЖЕТНЙ-УЖЕТ ДБАФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ p2 ↓ ↑=2m = EF ± !B .

0; =

ъБДБЮБ 47. (уРЙОПŒЩЕ ŒПМОЩ.) œ ЖЕТНЙ ЗБЪЕ, ОБИПДСЭЕНУС ŒП ŒОЕЫОЕН НБЗОЙФОПН РПМЕ (УН. ЪБДБЮХ 46) НПЦОП ОБВМАДБФШ РБТБНБЗОЙФОЩК ТЕЪПОБОУ. дМС ЬФПЗП РТЙЛМБДЩŒБАФ УМБВПЕ РЕТЕНЕООПЕ РПМЕ Œ РМПУЛПУФЙ, РЕТРЕОДЙЛХМСТОПК РПУФПСООПНХ РПМА, Й ŒЩВЙТБАФ ЮБУФПФХ ! РЕТЕНЕООПЗП РПМС ФБЛ, ЮФПВЩ ! ТБŒОСМПУШ ЪЕЕНБОПŒУЛПК

ЬОЕТЗЙЙ 2!B , ФТЕВХЕНПК ДМС РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ.

Б) (фЕПТЕНБ мБТНПТБ.) оБКДЙФЕ РПРЕТЕЮОХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (!; k), УХННЙТХС МЕУФОЙЮОЩК ТСД, ЙЪПВТБЦЕООЩК ОБ ТЙУ. 8.5. уЮЙФБКФЕ РЕТЕНЕООПЕ РПМЕ РТПУФТБОУФŒЕООП ПДОПТПДОЩН, Ф. Е. РЕТЕДБŒБЕНЩК ЙНРХМШУ k = 0. йУРПМШЪХКФЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ОБКДЕООЩЕ Œ ЪБДБЮЕ 46 a. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РПРЕТЕЮОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЙНЕЕФ РПМАУ РТЙ ! = 2!B , ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС g.

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЬФПФ ТЕЪХМШФБФ ПЛБЪЩŒБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒЩН ОЕ ФПМШЛП ДМС ФПЮЕЮОПЗП, Б ДМС РТПЙЪŒПМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ (8.1), ОЕЪБŒЙУСЭЕЗП ПФ УРЙОПŒ. пВЭЕЕ ХФŒЕТЦДЕОЙЕ ПВ ПФУХФУФŒЙЙ УДŒЙЗБ ЮБУФПФЩ РБТБНБЗОЙФОПЗП ТЕЪПОБОУБ ŒУМЕДУФŒЙЕ НЕЦЬМЕЛФТПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБЪЩŒБЕФУС ФЕПТЕНПК мБТНПТБ.

бОБМПЗЙЮОПЕ ХФŒЕТЦДЕОЙЕ, ЙЪŒЕУФОПЕ РПД ОБЪŒБОЙЕН ФЕПТЕНЩ лПОБ, ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС ГЙЛМПФТПООПЗП ТЕЪПОБОУБ. оЕЪБŒЙУЙНП ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЗБНЙМШФПОЙБОЕ (8.1), ЮБУФПФБ ГЙЛМПФТПООПЗП ТЕЪПОБОУБ Œ ПДОПТПДОПН РПМЕ B ÅÓÔØ !c = eB=mc, ÇÄÅ m | ЙУФЙООБС (Б ОЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОБС!) НБУУБ ЬМЕЛФТПОБ.

В) (ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ УРЙОПŒЩИ ŒПМО.) рПМАУЩ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ УŒСЪБОЩ У ЛПММЕЛФЙŒОЩНЙ НПДБНЙ. рПМАУ Œ РПРЕТЕЮОПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (!; k) УППФŒЕФУФŒХЕФ УРЙОПŒЩН ŒПМОБН | УРЕГЙЖЙЮЕУЛПК ЛПММЕЛФЙŒОПК НПДЕ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК Œ УРЙО-РПМСТЙЪПŒБООПК ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ.

оБКДЙФЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ УРЙОПŒЩИ ŒПМО. дМС ЬФПЗП РТПУХННЙТХКФЕ ДЙБЗТБННОЩК ТСД, РПЛБЪБООЩК ОБ ТЙУ. 8.5, РТЙ ЛПОЕЮОЩИ ! Й k. тБУУНПФТЙФЕ РПМАУ (!; k),

ДБŒБЕНЩК ! = 2!B ÐÒÉ k = 0.

ъБДБЮБ 48. (ьОЕТЗЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ Œ НЕФБММЕ.) рТЙ ŒЩУПЛПК ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ НЕФБММ СŒМСЕФУС РПЮФЙ ЙДЕБМШОЩН ЖЕТНЙ-ЗБЪПН. ьЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НБМЩ, Й ЙИ НПЦОП ŒЩЮЙУМСФШ, ТБЪМБЗБС ЙОФЕТЕУХАЭЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ Œ

ТСД РП УФЕРЕОСН e2=hv— F .

Б) (пВНЕООБС ЬОЕТЗЙС.) рПРТБŒЛЙ Л ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ДБАФУС ДŒХНС ДЙБЗТБННБНЙ, РПЛБЪБООЩНЙ ОБ ТЙУ. 8.6.

òÉÓ. 8.6

рЕТŒЩК ŒЛМБД, ОБЪЩŒБЕНЩК ЬОЕТЗЙЕК иБТФТЙ, ИПФС ЖПТНБМШОП Й ТБУИПДЙФУС, ОБ УБНПН ДЕМЕ Œ ДБООПН УМХЮБЕ РПМОПУФША ЛПНРЕОУЙТХЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН У РПМПЦЙФЕМШОЩН ЖПОПН Й ŒЛМБДБ ОЕ ДБЕФ. œФПТПК ЦЕ ŒЛМБД, ОБЪЩŒБЕНЩК ПВНЕООПК ЬОЕТЗЙЕК, ЙМЙ ЬОЕТЗЙЕК жПЛБ, ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС. œЩЮЙУМЙФЕ ЕЗП Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПВНЕООБС

ЬОЕТЗЙС ПФТЙГБФЕМШОБ Й ЪБŒЙУЙФ ПФ РМПФОПУФЙ ЬМЕЛФТПОПŒ n, ЛБЛ −e2n4=3.

В) (юМЕОЩ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ.) œП ŒФПТПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ЕУФШ ДŒБ