Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 817

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8.1. лœбъйюбуфйгщ

181

лŒБЪЙЮБУФЙГЩ СŒМСАФУС ЬМЕНЕОФБТОЩНЙ ŒПЪВХЦДЕОЙСНЙ Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. пОЙ ПВТБЪПŒБОЩ ЖЕТНЙПОБНЙ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, ĂПДЕФЩНЙĄ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН У ДТХЗЙНЙ ЖЕТНЙПОБНЙ. нБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПРЙУБОЙЕ ĂПДЕŒБОЙСĄ ДПУФЙЗБЕФУС ŒŒЕДЕОЙЕН Œ ФЕПТЙА ЬЖЖЕЛФЙŒОПЗП РПМС, ДЕКУФŒХАЭЕЗП ОБ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ. ьФП РПМЕ ПРТЕДЕМЕООЩН ПВТБЪПН ЪБŒЙУЙФ ПФ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ŒУЕИ ПУФБМШОЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. œ ТЕЪХМШФБФЕ ДЙОБНЙЛБ Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПРТЕДЕМСАФУС УБНПУПЗМБУПŒБООП.

юФПВЩ ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛЙЕ ЬЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ СŒМСАФУС ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩНЙ, ТБУУНПФТЙН ЖЕТНЙ-ЗБЪ, Œ ЛПФПТПН ПДОБ ЙЪ ЮБУФЙГ ЙНЕЕФ ОЕВПМШЫХА ЬОЕТЗЙА " > 0 ОБД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. вМБЗПДБТС НЕЦЮБУФЙЮОПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ТБУУНБФТЙŒБЕНБС ЮБУФЙГБ НПЦЕФ РЕТЕКФЙ Œ УПУФПСОЙЕ У НЕОШЫЕК ЬОЕТЗЙЕК 0 < " < ", ПДОПŒТЕНЕООП ТПДЙŒ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОХА РБТХ У ЬОЕТЗЙЕК ‹" = " − " . ðÒÉ "; " EF РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК РБТ У ЬОЕТЗЙЕК ‹" НПЦОП ПГЕОЙФШ ЛБЛ 02‹", Й РПЬФПНХ, УПЗМБУОП ЪПМПФПНХ РТБŒЙМХ, ŒЕТПСФОПУФШ ТБУРБДБ ОБ ЮБУФЙГХ У НЕОШЫЕК ЬОЕТЗЙЕК Й ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОХА РБТХ ЕУФШ ‚(") = –"2, ÇÄÅ – ≈ (e2=hv— F )2=EF . йЪ УЛБЪБООПЗП УМЕДХЕФ, ЮФП ‚(") ", Ф. Е. ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЮБУФЙГЩ ПЮЕОШ ŒЕМЙЛП. фБЛЙН ЦЕ ПВТБЪПН НПЦОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ТБУУЕСОЙЕ ЮБУФЙГ У НБМПК ЬОЕТЗЙЕК ДТХЗ ОБ ДТХЗЕ РТПЙУИПДЙФ ПЮЕОШ ТЕДЛП, РПУЛПМШЛХ РТЙ НБМПК ЬОЕТЗЙЙ ЖБЪПŒЩК ПВ ЕН ЛПОЕЮОЩИ УПУФПСОЙК ТБУУЕСОЙС ПЛБЪЩŒБЕФУС ПЮЕОШ НБМ. пФНЕФЙН, ЮФП ЬФЙ ŒЩŒПДЩ УРТБŒЕДМЙŒЩ ДБЦЕ РТЙ УЙМЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ. фТЕВХЕФУС МЙЫШ, ЮФПВЩ ЬОЕТЗЙС ЮБУФЙГЩ ВЩМБ ВМЙЪЛБ Л ХТПŒОА жЕТНЙ.

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩН ЬЖЖЕЛФПН Œ ДЙОБНЙЛЕ ЮБУФЙГ ЖЕТНЙЦЙДЛПУФЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБУУЕСОЙЕ ŒРЕТЕД 1. рТЙ ТБУУЕСОЙЙ ЮБУФЙГЩ ŒРЕТЕД ПУФБМШОБС

ЖЕТНЙ-УЙУФЕНБ ПВТБЪХЕФ УŒПЕЗП ТПДБ ПДОПТПДОХА РТЕМПНМСАЭХА УТЕДХ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЛПФПТПК ДБЕФ РПРТБŒЛХ ‹" t Л ЖБЪЕ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ ЮБУФЙГЩ e−i("(0)+‹")t,

ÇÄÅ

 

f (p; p )‹n(p ; r) (2ı)3

(8.2)

‹" =

 

 

d3p

 

| ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЖХОЛГЙПОБМ мБОДБХ. тБУУЕСОЙЕ ŒРЕТЕД ОЕ РТЙŒПДЙФ Л ТПЦДЕОЙА ДТХЗЙИ ЮБУФЙГ ЙМЙ ДЩТПЛ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ŒПЪОЙЛБЕФ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ П ĂЛŒБЪЙЮБУФЙГБИĄ, ЛБЦДБС ЙЪ ЛПФПТЩИ ДŒЙЦЕФУС Œ УБНПУПЗМБУПŒБООПН РПМЕ ПЛТХЦБАЭЙИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ.

ьОЕТЗЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ " Œ УБНПУПЗМБУПŒБООПН РПМЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ТБУРТЕДЕМЕОЙС РП ЙНРХМШУБН ŒУЕИ ПУФБМШОЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ:

"(p; ‹n) = "(0)(p) +

f (p; p )‹n(p ; r) (2ı)3

(8.3)

 

d3p

 

ъДЕУШ p | ЙНРХМШУ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, "(0)(p) = vF (p − p0) | ЬОЕТЗЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, Б ‹n = n−nF | ПФЛМПОЕОЙЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПФ ТБŒОПŒЕУОПЗП ЖЕТНЙЕŒУЛПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС. жХОЛГЙС f (p; p ) ПРТЕДЕМСЕФ ЪБŒЙУЙНПУФШ ЬОЕТЗЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЙНРХМШУПН p ПФ УПУФПСОЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЙНРХМШУПН p .

1м. д. мБОДБХ, цьфж, Ф. 30, У. 1058{1064 (1956).

182

змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

фЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ДБЕФ УŒСЪШ НЕЦДХ ЖХОЛГЙЕК f (p; p ) Й ОБВМАДБЕНЩНЙ ŒЕМЙЮЙОБНЙ, ФБЛЙНЙ ЛБЛ ФЕРМПЕНЛПУФШ, НБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Й Ф. Р. (УН. [1], § 19, 22). рТЙ ЬФПН, ЛБЛ НЩ ХВЕДЙНУС, ЖХОЛГЙПОБМ (8.3) РПМОПУФША ПРТЕДЕМСЕФ ДЙОБНЙЛХ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ.

8.2. лЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ. лПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ

œЩТБЦЕОЙЕ (8.3) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЗБНЙМШФПОЙБО H ПДОПК ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, ДŒЙЦХЭЕКУС Œ УБНПУПЗМБУПŒБООПН РПМЕ ДТХЗЙИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. дЙОБНЙЛБ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ ПРЙУЩŒБЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН зБНЙМШФПОБ @n=@t = {H; n}, ÇÄÅ {:::} = [@=@r ; @=@p] | УЛПВЛЙ рХБУУПОБ. œЩЮЙУМСС УЛПВЛЙ рХБУУПОБ У ЗБНЙМШФПОЙБОПН (8.3), РПМХЮБЕН ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ 2:

@n

+

@n @"

−

@n @"

= 0 :

(8.4)

@t

@r @p

@p @r

тБУУНПФТЙН ЛПМЕВБОЙС УЙУФЕНЩ, ПФŒЕЮБАЭЙЕ НБМЩН ПФЛМПОЕОЙСН ПФ ТБŒОПŒЕУЙС. дМС ЬФПЗП РТЕДУФБŒЙН ЖХОЛГЙА ТБУРТЕДЕМЕОЙС Œ ŒЙДЕ n = n0 + ‹n Й МЙОЕБТЙЪХЕН ХТБŒОЕОЙЕ (8.4) РП ‹n. рПМХЮЙН

@‹n

+

@‹n @"(0)

−

@‹" @n0

= 0 ;

(8.5)

@t

@r @p

@r @p

ЗДЕ ‹" | ЖХОЛГЙПОБМ мБОДБХ (8.2).

оБУ ЙОФЕТЕУХАФ ТЕЫЕОЙС ХТБŒОЕОЙС (8.5), ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ŒТЕНЕОЙ Й ЛППТДЙОБФ ЛБЛ e−i!t+ikr. оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ŒУЕ ТЕЫЕОЙС ‹n ЙНЕАФ ‹-ЖХОЛГЙПООХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ |p| Й МПЛБМЙЪПŒБОЩ ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ |p| = p0. рПЬФПНХ, ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН ЙУРПМШЪПŒБФШ Œ ЛБЮЕУФŒЕ ОЕЪБŒЙУЙНПК РЕТЕНЕООПК ЖХОЛГЙА ЕДЙОЙЮОПЗП ŒЕЛФПТБ

n ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ:

 

‹n(p) d|p| ;

 

u(n) =

(8.6)

ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС ŒДПМШ МХЮБ p n. œЕМЙЮЙОБ u(n) ЙНЕЕФ УНЩУМ ОПТНБМШОПЗП УНЕЭЕОЙС ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ Œ ФПЮЛЕ p0n.

йЪ (8.5) НПЦОП РПМХЮЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС u(n), ЛПФПТПЕ ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

(! − kv)u(n) = kv

F (n; n )u(n ) 4ı

;

(8.7)

 

dn

 

 

ÇÄÅ v = vF n, Б ЖХОЛГЙС F УŒСЪБОБ У ЖХОЛГЙЕК f Œ ЖХОЛГЙПОБМЕ мБОДБХ (8.2) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

F (n; n ) = 0f (p; p ) p =

p

=p0 ;

(8.8)

| | |

|

 

 

ÇÄÅ 0 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК У ПДОПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ.

2м. д. мБОДБХ, цьфж, Ф. 32, У. 59{66 (1957).

8.2. лйоефйюеулпе хтбœоеойе. лпммелфйœоще нпдщ

183

рПМХЮЕООПЕ УППФОПЫЕОЙЕ (8.7) УМЕДХЕФ ТБУУНБФТЙŒБФШ, ЛБЛ ХТБŒОЕОЙЕ ОБ УПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС !(k). пОП ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙС ДŒХИ ФЙРПŒ: ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩЕ Й ЛПММЕЛ-

ФЙŒОЩЕ. дМС ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩИ ТЕЫЕОЙК УŒСЪШ ! Й k ЕУФШ ! = kv, Б УППФŒЕФУФŒХАЭБС ЖХОЛГЙС u(n) ПРЙУЩŒБЕФ ЮБУФЙГХ У ПРТЕДЕМЕООЩН ОБРТБŒМЕОЙЕН УЛПТПУФЙ v. йЪ-ЪБ ЬФПЗП ЖХОЛГЙС u(n) ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ ЙНЕЕФ УЙОЗХМСТОЩК ИБТБЛФЕТ:

u(n ) = ‹(2)(n − n) + ureg(n ) ;

(8.9)

лТПНЕ ‹-ЖХОЛГЙЙ, МПЛБМЙЪПŒБООПК Œ ФПЮЛЕ n = v=|v| ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.9) УПДЕТЦЙФ ureg(n) | ВПМЕЕ РМБŒОХА ЖХОЛГЙА, ПВЩЮОП ЙНЕАЭХА РПМАУЩ РТЙ kv = ! (УН. ЪБДБЮХ 43).

тЕЫЕОЙС ДТХЗПЗП ФЙРБ ПРЙУЩŒБАФ ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ ЛПМЕВБОЙК ЖЕТНЙЦЙДЛПУФЙ, ЙМЙ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ОХМЕŒПК ЪŒХЛ. тБУУНПФТЙН РТПУФЕКЫЙК УМХЮБК, ЛПЗДБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ МПЛБМШОП Й ЙЪПФТПРОП, Ф. Е. ЖХОЛГЙС F ЕУФШ РТПУФП ЛПОУФБОФБ: F (n; n ) = F0. (рТЙНЕТПН УЙУФЕНЩ У ЖХОЛГЙЕК мБОДБХ РПДПВОПЗП ŒЙДБ СŒМСЕФУС ЦЙДЛЙК 3He.) œ ЬФПН УМХЮБЕ, ŒŒЙДХ УЙННЕФТЙЙ ЪБДБЮЙ, ЖХОЛГЙС u(n) ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ ХЗМБ „ НЕЦДХ ŒЕЛФПТБНЙ n Й k. рПЬФПНХ ХТБŒОЕОЙЕ (8.7) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

(s − cos „)u(„) = 20

cos „

u(„ )d„ ;

ÇÄÅ s = vF |k| :

(8.10)

F

 

 

!

 

тЕЫЕОЙЕ ХТБŒОЕОЙС (8.10) ЕУФШ u(n) = A cos „=(s − cos „), ЗДЕ A | РТПЙЪŒПМШОБС ЛПОУФБОФБ. рПДУФБŒМСС ЬФП ТЕЫЕОЙЕ Œ (8.10), ОБИПДЙН

s

s + 1

 

1

:

 

2 ln s − 1

− 1 =

F0

(8.11)

рТЙ МАВПН ПФФБМЛЙŒБФЕМШОПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ (Ф. Е. РТЙ F0

> 0) ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ

ЙНЕЕФ ТПŒОП ПДОП ŒЕЭЕУФŒЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ s > 1 Й, ФБЛЙН ПВТБЪПН, ПРТЕДЕМСЕФ ЖХОЛГЙА s(F0). рПЬФПНХ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ОХМЕŒПЗП ЪŒХЛБ ПЛБЪЩŒБЕФУС МЙОЕКОЩН: !0(k) = s(F0)vF |k|.

рПУЛПМШЛХ s(F0) > 1, ЮБУФПФБ !0(k) РТЙ МАВПН k МЕЦЙФ ŒЩЫЕ ЗТБОЙГЩ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП УРЕЛФТБ: !0(k) > vF |k|. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ОХМШ-ЪŒХЛБ Й ДЙОБНЙЛБ ПФДЕМШОЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ĂТБЪŒСЪБОЩĄ , ŒУМЕДУФŒЙЕ ЮЕЗП ОХМШ-ЪŒХЛПŒБС НПДБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕЪБФХИБАЭЕК. пФНЕФЙН, ЮФП ВПМЕЕ ФПЮОПЕ НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПЕ ТБУУНПФТЕОЙЕ РПЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ЬФЙ ТЕЪХМШФБФЩ УРТБŒЕДМЙŒЩ МЙЫШ РТЙ ОЕ УМЙЫЛПН ВПМШЫЙИ k (УН. ЪБДБЮЙ 44 В, 47 В). пВЩЮОП ЪБЛПОЩ ДЙУРЕТУЙЙ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ НПД Œ ЖЕТНЙЦЙДЛПУФЙ ЙНЕАФ ФПЮЛХ ПЛПОЮБОЙС kmax, Œ ЛПФПТПК РТПЙУИПДЙФ УМЙСОЙЕ У ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩН УРЕЛФТПН | УН. ТЙУХОЛЙ 8.2, 8.9, Б ФБЛЦЕ ЪБДБЮХ 73 В).

лПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ НПЗХФ ЪБФТБЗЙŒБФШ ОЕ ФПМШЛП ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ, ОП Й РПМСТЙЪБГЙА УРЙОБ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ЗПŒПТСФ П УРЙОПŒЩИ ŒПМОБИ (УН. ЪБДБЮХ 47).

пУФБОПŒЙНУС ОБ ФПН, ЛБЛ ŒЙДПЙЪНЕОСАФУС ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ Œ НЕФБММЕ, ЗДЕ

ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ ЛХМПОПŒУЛПЕ, Ф. Е. ДБМШОПДЕКУФŒХАЭЕЕ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒНЕУФП ОХМЕŒПЗП ЪŒХЛБ ŒПЪОЙЛБАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩЕ РМБЪНЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС. ъБРЙ-

ЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ (8.4) У ХЮЕФПН УЙМЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК ВМБЗПДБТС ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПНХ РПМА

184

 

змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

E = − ˘:

 

 

 

 

@n

+ (v r)n + e(E p)n = 0 ;

 

(8.12)

@t

|r − r

˘(r) = e

n(p; r ) (2ı)3 − n0

| ;

 

 

d3p

d3r

 

ÇÄÅ n0 | РМПФОПУФШ ЖПОПŒПЗП РПМПЦЙФЕМШОПЗП ЪБТСДБ. лБЛ Й ŒЩЫЕ, МЙОЕБТЙЪХЕН ХТБŒОЕОЙЕ Й РЕТЕКДЕН Œ ЙНРХМШУОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ.

рПМХЮБАЭЙЕУС ХТБŒОЕОЙС ПЛБЪЩŒБАФУС ФПЮОП ФБЛЙНЙ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ УМХЮБЕ ОХМЕŒПЗП ЪŒХЛБ, У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ F0 → 4ıe2 =k2, ÇÄÅ = 2 0 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК У ХЮЕФПН УРЙОБ. ьФП РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ (8.12), ЕУМЙ ŒЩТБЪЙФШ Œ ОЕН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЕ РПМЕ ЮЕТЕЪ РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ, РТЙПВТЕФБЕФ ФБЛХА ЦЕ ЖПТНХ, ЛБЛ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ (8.7) У ОЕМПЛБМШОЩН ЖХОЛГЙПОБМПН мБОДБХ:

‹"(r) =

 

 

r

(pr r )

(2ı)3 ;

(8.13)

 

 

e2‹n

;

d3r d3p

 

 

 

|

 

−

|

 

 

лБЛ Й Œ УМХЮБЕ ЙЪПФТПРОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЬОЕТЗЙС ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ РПМОПК РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ. рПЬФПНХ Й ХЗМПŒБС ЪБŒЙУЙНПУФШ УНЕЭЕОЙК ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, Й ДЙУРЕТУЙПООПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ŒЩЗМСДСФ ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ ДМС ОХМШ-ЪŒХЛБ:

!

ln

! + vF |k|

−

1 =

k2

:

(8.14)

2vF |k|

 

! − vF |k|

 

4ıe2

 

 

юБУФПФБ !(k), ПРТЕДЕМСЕНБС ЙЪ ХТБŒОЕОЙС (8.14), ПУФБЕФУС ЛПОЕЮОПК РТЙ НБМЩИ k: !0 ≡ !(k → 0) = (4ıne2=m)1=2, ЮФП УПŒРБДБЕФ У ЙЪŒЕУФОЩН ЛМБУУЙЮЕУЛЙН ТЕЪХМШФБФПН ДМС РМБЪНЕООПК ЮБУФПФЩ. рПДТПВОЕЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО ВХДЕФ ТБУУНПФТЕО Œ ЪБДБЮЕ 44.

рПДŒЕДЕН ЙФПЗ. в«ПМШЫБС ЮБУФШ ŒПЪВХЦДЕОЙК Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ | ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ | ЙНЕЕФ ФПЮОП ФБЛПК ЦЕ УРЕЛФТ Й ДЙОБНЙЛХ, ЛБЛ Й Œ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. лТПНЕ ФПЗП, ВМБЗПДБТС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА НПЗХФ РПСŒЙФШУС ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ РМБЪНЕООЩИ ЙМЙ ОХМШ-ЪŒХЛПŒЩИ ЛПМЕВБОЙК. рПСŒМЕОЙЕ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ НПД Й ЕУФШ ПУОПŒОПК ЛБЮЕУФŒЕООЩК ЬЖЖЕЛФ, Л ЛПФПТПНХ РТЙŒПДЙФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ.

8.3. рТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ

пВУХДЙН ФЕРЕТШ, ЛБЛ НПЦОП РТПЛŒБОФПŒБФШ ДЙОБНЙЛХ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, ЙУРПМШЪХС ЗБНЙМШФПОПŒ ЖПТНБМЙЪН. дМС ЬФПЗП РПФТЕВХЕФУС ŒŒЕУФЙ ПРЕТБФПТЩ ЬМЕЛФТПОДЩТПЮОЩИ РБТ, ХДПŒМЕФŒПТСАЭЙЕ ВПЪПООЩН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН. зБНЙМШФПОЙБО ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ (8.1), ЪБРЙУБООЩК ЮЕТЕЪ ФБЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ, УПДЕТЦЙФ ЛŒБДТБФЙЮОЩЕ ЮМЕОЩ, Б ФБЛЦЕ ЮМЕОЩ ВПМЕЕ ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ, ЛПФПТЩНЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ, ЕУМЙ ЬОЕТЗЙС ТБУУНБФТЙŒБЕНЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК НБМБ РП УТБŒОЕОЙА У EF . дЙОБНЙЛХ, ПРТЕДЕМСЕНХА ЬФЙН ЛŒБДТБФЙЮОЩН ЗБНЙМШФПОЙБОПН, НПЦОП ЙУУМЕДПŒБФШ ФПЮОП

8.3. ртйвмйцеойе умхюбкощи жбъ

185

Й ХУФБОПŒЙФШ ЕЕ ЬЛŒЙŒБМЕОФОПУФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПНХ ХТБŒОЕОЙА ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. œПЪНПЦОПУФШ ПРЙУБФШ УЙУФЕНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ (8.1) У РПНПЭША ЬЛŒЙŒБ-

МЕОФОПЗП ВПЪПООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБ ЙНЕЕФ ТБЪОППВТБЪОЩЕ ЙОФЕТЕУОЩЕ РТЙНЕОЕОЙС. пДОЙН ЙЪ ОЙИ СŒМСЕФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК НЕФПД ВПЪПОЙЪБГЙЙ, ЛПФПТЩК НЩ ТБУУНПФТЙН

Œ ÇÌ. 12.

лБЛ Й ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ мБОДБХ, НЕФПД ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ ЬМЕЛФТПОДЩТПЮОЩИ РБТ ПУОПŒЩŒБЕФУС ОБ РТЕДРПМПЦЕОЙЙ, ЮФП ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС РП ЙНРХМШУБН ЙНЕЕФ ФБЛПК ЦЕ ŒЙД, ЛБЛ Й ДМС УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, Ф. Е. ЮФП ЖЕТНЙРПŒЕТИОПУФШ ОЕ ТБЪТХЫБЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН. юФПВЩ ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕОСЕФ ИБТБЛФЕТ ŒПЪВХЦДЕОЙК, НЩ РТЙŒЕДЕН ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ (8.1) Л ŒЙДХ, УПДЕТЦБЭЕНХ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС РБТ. рТЙ ЬФПН ВХДЕФ ЙУРПМШЪПŒБОП ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ вПНБ Й рБКОУБ, ŒРЕТŒЩЕ ŒŒЕДЕООПЕ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ РМБЪНЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК Œ ŒЩТПЦДЕООПН ЬМЕЛФТПООПН ЗБЪЕ 3. œ ТБНЛБИ ЬФПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ДМС ПРЕТБФПТПŒ РБТ УЙМШОП ХРТПЭБАФУС 4.

у ЖПТНБМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ТБУУНБФТЙŒБЕНЩК ЪДЕУШ НЕФПД СŒМСЕФУС ЛПТТЕЛФОЩН Œ РТЕДЕМЕ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ, ЛПЗДБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦОП УЮЙФБФШ УМБВЩН. дМС РТПУФПФЩ ЙЪМПЦЕОЙС ВХДЕН УЮЙФБФШ ЖЕТНЙПОЩ ВЕУУРЙОПŒЩНЙ. рТЙ ОЕПВИПДЙНПУФЙ, ŒПУУФБОПŒЙФШ УРЙОПŒХА ЪБŒЙУЙНПУФШ Œ ПЛПОЮБФЕМШОЩИ ŒЩТБЦЕОЙСИ НПЦОП ВЕЪ ПУПВПЗП ФТХДБ.

œŒЕДЕН ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ cp;k, c+p;k ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

cp;k = ap+ap+k ; cp+;k = ap++kap ; ÇÄÅ |p| < p0; |p + k| > p0 :

(8.15)

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ЮЙФБФЕМС ОБ ПЗТБОЙЮЕОЙЕ, ОБМПЦЕООПЕ ОБ ЙНРХМШУЩ p Й k. пОП ŒЩВТБОП ФБЛ, ЮФПВЩ РТЙ ДЕКУФŒЙЙ ПРЕТБФПТПН c+p;k ОБ ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЩ ŒУЕЗДБ ТПЦДБМБУШ ТПŒОП ПДОБ РБТБ ЮБУФЙГБ{ДЩТЛБ, Б РТЙ ДЕКУФŒЙЙ ПРЕТБФПТПН cp;k ОБ МАВПЕ ŒПЪВХЦДЕООПЕ УПУФПСОЙЕ ЮЙУМП РБТ ŒУЕЗДБ ХНЕОШЫБМПУШ.

õÓÌÏŒÉÑ |p| < p0 É |p + k| > p0, РТЙ ЖЙЛУЙТПŒБООПН k ПРТЕДЕМСАФ РПДНОПЦЕУФŒП

3 УН.: D. Bohm and D. Pines, Phys. Rev., v. 92, p. 609{625 (1953). œ ЬФПК ТБВПФЕ ЬМЕЛФТПООБС УЙУФЕНБ ПРЙУЩŒБЕФУС У РПНПЭША НОПЗПЮБУФЙЮОПК БОФЙУЙННЕФТЙЪПŒБООПК ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ, ВЕЪ ЙУРПМШЪПŒБОЙС ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. йЪМПЦЕОЙЕ ŒПРТПУБ ОБ ВПМЕЕ УПŒТЕНЕООПН СЪЩЛЕ НПЦОП ОБКФЙ Œ ŒЕУШНБ РПМЕЪОПК ЛОЙЗЕ: D. Pines, The Many-Body Problem, (W. A. Benjamin, Inc., New York, 1961). рПНЙНП БŒФПТУЛПЗП ФЕЛУФБ ДБООБС ЛОЙЗБ УПДЕТЦЙФ ФБЛЦЕ ЖБЛУЙНЙМШОЩЕ ЛПРЙЙ ПУОПŒОЩИ ТБВПФ РП ФЕПТЙЙ НОПЗЙИ ФЕМ.

4оБЫЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ПРЙТБЕФУС ОБ ТБВПФЩ уБŒБДЩ, œЕОГЕМС Й ДТ., Œ ЛПФПТЩИ ВЩМ ŒŒЕДЕО ŒŒЕДЕО ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ĂЬЖЖЕЛФЙŒОЩК ЗБНЙМШФПОЙБОĄ, ПРЙУЩŒБАЭЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ. вПМЕЕ РПДТПВОП У НЕФПДПН ЬЖЖЕЛФЙŒОПЗП ВПЪПООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБ НПЦОП ПЪОБЛПНЙФШУС РП ПТЙЗЙОБМШОЩН ТБВПФБН: K. Sawada, Phys. Rev., v. 106, p. 372 (1957); K. Sawada, K. A. Brueckner, N. Fukuda, and R. Brout, Phys. Rev., v. 108, p. 507 (1957); G. Wentzel, Phys. Rev., v. 108, p. 1593 (1957).

Смотрите также файлы