Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 750

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2.2. ъбдбюй 5 { 10

31

ЪБДБЮЕ ŒТЕНС t СŒМСЕФУС ДЙУЛТЕФОЩН.) œ ФЕПТЙЙ ŒЕТПСФОПУФЕК ТБУУНБФТЙŒБАФ РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА

 

(2.15)

G(z; q) = zt eiqx p(t; x) (t 0; |z| < 1) :

x;t

уŒПКУФŒБ ЬФПК ŒЕМЙЮЙОЩ ŒП НОПЗПН БОБМПЗЙЮОЩ УŒПКУФŒБН ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП

G(z; q) =

1

;

W (q) =

1

(cos q1

+ : : : + cos qn) :

(2.16)

1 − zW (q)

n

тБУУНПФТЙН РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА ~( q) ДМС ВМХЦДБОЙК, ОБЮЙОБАЭЙИУС ЙЪ

G z;

ОБЮБМБ ЛППТДЙОБФ, ОП ОЙ ТБЪХ ОЕ ŒПЪŒТБЭБАЭЙИУС ФХДБ ОБ РПУМЕДХАЭЙИ ЫБЗБИ. œЕ-

МЙЮЙОБ ~( q) РП УŒПЙН УŒПКУФŒБН РПИПЦБ ОБ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЮБУФЙГЩ Œ РПМЕ ПФФБМ-

G z;

ЛЙŒБАЭЕЗП ГЕОФТБ (УН. ЪБДБЮЙ 11, 12 Й 13). œ ЮБУФОПУФЙ, ДМС ОЕЕ НПЦОП ОБРЙУБФШ ФБЛПЕ ЦЕ ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ (ОБРПНЙОБАЭЕЕ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ). œЩТБЪЙФЕ

~( q) ЮЕТЕЪ ( q). оБКДЙФЕ ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ОЙЛПЗДБ ОЕ ŒПЪŒТБ-

G z; G z; P

ЭБЕФУС Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП

P −1 =

G(1; q)

dnq

:

(2.17)

(2ı)n

ъДЕУШ ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ЪПОЕ вТЙММАЬОБ, Ф. Е. РП РЕТЙПДХ ПВТБФОПК ТЕЫЕФЛЙ. œЕТПСФОПУФШ ŒПЪŒТБФБ (2.17) ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ

ТЕЫЕФЛЙ n. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Б) P = 0 РТЙ n 2;

Â) 0 < P < 1 ÐÒÉ n > 2; Œ) P → 1 ÐÒÉ n 2.

рПУЛПМШЛХ РЕТЕЮЙУМЕООЩЕ УŒПКУФŒБ ЮХŒУФŒЙФЕМШОЩ ФПМШЛП Л РПŒЕДЕОЙА G(1; q) РТЙ НБМЩИ q, Ф. Е. ОБ ВПМШЫЙИ НБУЫФБВБИ, ПОЙ ЙНЕАФ НЕУФП ДМС РТПЙЪŒПМШОПЗП ДЙЖЖХЪЙПООПЗП ДŒЙЦЕОЙС, Б ОЕ ФПМШЛП ДМС ВМХЦДБОЙС РП ТЕЫЕФЛЕ. фЙРЙЮОБС ДЙЖЖХЪЙПООБС ФТБЕЛФПТЙС ЙНЕЕФ ВЕУЛПОЕЮОП НОПЗП ŒПЪŒТБФПŒ РТЙ n 2, Й ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП РТЙ n > 2.

ъБДБЮБ 10. œФПТПК РТЙНЕТ ЙУРПМШЪПŒБОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ | ЙЪ ЬМЕЛФТПДЙОБНЙЛЙ. тБУУНПФТЙН НПДЕМШ РТПŒПДСЭЕК УТЕДЩ, РТЕДУФБŒМСАЭХА УПВПК n-НЕТОХА УЕФЛХ ЙЪ ПДЙОБЛПŒЩИ УПРТПФЙŒМЕОЙК. уЕФЛБ ПВТБЪХЕФ n-НЕТОХА ЛХВЙЮЕУЛХА ТЕЫЕФЛХ, УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛБЦДПЗП ТЕВТБ ЛПФПТПК ТБŒОП R. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ Rx РПМОПЕ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ТЕЫЕФЛЙ НЕЦДХ ХЪМБНЙ 0 Й x. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП

Rx = n

(1 − eiqx) G(1; q) (2ı)n ;

R

dnq

ЗДЕ G(z; q) | ЖХОЛГЙС зТЙОБ, ŒŒЕДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 9. йУУМЕДХКФЕ |x| 1 Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ n.

(2.18)

РПŒЕДЕОЙЕ Rx ÐÒÉ

32

змбœб 2. жхолгйс зтйоб

2.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 5. рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ = + , ЗДЕ

H H0 Hint

 

 

 

 

H0 = —B0

z

=

0 0

—B0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—B

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Hint

 

−

 

 

 

 

 

 

 

œ

 

 

 

 

 

 

—B1e−i!t—B1ei!t

 

 

 

 

Hint =

—B1( xcos !t + y sin !t) = ( 0

0 )

 

 

РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС i _

 

 

(t) , ÇÄÅ

 

 

 

 

ei—B0t =

 

Hint(t) = eiH0tHinte−iH0t =

 

 

0

e−i—B0t Hint

 

−

0

 

 

 

 

 

 

ei—B0t

0

 

 

e

i—B0t

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

e−2i˙t

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= —B1 e2i˙t

0

 

ÇÄÅ ˙ = !=2 − —B0. пФУАДБ РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i _↑ = —B1e−2i˙t

↓; i _↓ = —B1e2i˙t

↑

 

 

 

œŒЕДЕН ОПŒЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’↑ = ei˙t ↑ ; ’↓ = e−i˙t

↓ :

 

 

 

 

 

 

хТБŒОЕОЙС ДМС ’¸(t) ОЕ УПДЕТЦБФ СŒОПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ŒТЕНЕОЙ:

i’↑ + ˙’↑ = —B1’↓; i’↓ − ˙’↓ = —B1’↑;

ÉÌÉ

 

—B1

˙

 

 

i’ =

−˙

—B1

’:

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ЬФЙИ ХТБŒОЕОЙК ЙНЕЕФ ŒЙД

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

 

−(1 − –)1=2

 

−

(1 + –)1=2

 

 

’(t) = c+

(1 + –)1=2

ei!t~ + c

 

(1 − –)1=2

e−i!t~ ;

(2.26)

ÇÄÅ !~ = ˙2 + (—B1)2, – = ˙=!~, Б ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ c± ЪБŒЙУСФ ПФ ОБЮБМШОЩИ ХУМПŒЙК.

 

 

 

 

 

НБФТЙГБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ

 

(t) = S(t)

(0). уТБŒОЙŒБС У (2.26), РПМХЮБЕН

рПМОБС S-

 

i˙t

ei˙t

 

 

 

1=2 i!t~

i

1=2

i i!t~

×

 

 

S(t) =

 

 

0

−(1−–)1=2ei!t~

 

(1+–)1=2e−i!t~

(2.27)

 

e−

 

0

(1+–)

e

 

(1−–)

e−

 

 

1

(1+

–)1=2

−(1−–)1=2

 

=

 

W (t)e−i˙t

 

−i(1−–2)1=2e−i˙t sin !t~

;

×

2

(1−–)1=2

(1+–)1=2

 

−i(1−–2)1=2ei˙t sin !t~

W (t)ei˙t

 

ÇÄÅ W (t) = cos !t~

+ i– sin !t~ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ. еЕ НПЦОП ОБКФЙ У РПНПЭША S-НБФТЙГЩ, Б НПЦОП Й РТСНП ЙЪ (2.26). œПУРПМШЪХЕНУС ŒФПТЩН УРПУПВПН. рПУЛПМШЛХ

2.3. теыеойс

33

1

, ФП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ c± Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (2.26) ЕУФШ c+ = (1 + –)1=2=2,

ÐÒÉ t = 0 ’ = 0

c− = (1 − –)1=2=2.

пФУАДБ

1 √

2

(e−

i!t~

− e

i!t~

 

—B1

sin !t~

:

 

’↓(t) = 2

1 − –

 

 

) =

i!~

(2.28)

œЕТПСФОПУФШ ПВОБТХЦЕОЙС УПУФПСОЙС | ↓ ÐÒÉ t > 0 ÒÁŒÎÁ

 

 

p↓(t) = |’↓(t)|2 =

 

(—B1)2

 

 

 

 

˙2 + (—B1)2 sin2 !t~ :

 

(2.29)

еУМЙ ŒЩРПМОЕОП ХУМПŒЙЕ ТЕЪПОБОУБ ! = 2—B0, ÔÏ ˙ = 0, !~ = —B1 Й ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС

S-НБФТЙГЩ ХРТПЭБЕФУС:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos —B1t

 

i sin —B1t

:

 

 

 

 

 

 

−

i sin —B1t

−cos —B1t

 

 

 

(2.30)

 

 

S(t) =

 

 

 

 

уППФŒЕФУФŒЕООП, Œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ ЕУФШ p

(t) = sin2

—B t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

↓

 

1

 

 

m Hint(t)|n = −eEe

−

 

 

 

 

 

 

(2.31)

 

 

 

m|x|n :

 

 

тЕЫЕОЙЕ 6 a. œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

 

 

=

 

eEeiH0txe−iH0t, ПФЛХДБ

 

 

|

 

 

 

 

i(m n)!t

Hint

 

−

 

 

 

 

œПУРПМШЪХЕНУС

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРЕТБФПТБ ЛППТДЙОБФЩ:

 

 

ЙЪŒЕУФОЩНЙ НБФТЙЮОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

m|x|n = l0 m|a + a+|n = l0

‹m;n+1

√m + ‹m+1;n √n ;

 

(2.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ l0 = h=— 2m! | ТБЪНЕТ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ПУГЙММСФПТБ. рПМХЮБЕН

 

m|Hint(t)|n = −eEl0

‹m;n+1

√m ei!t + ‹m+1;n

√n e−i!t :

(2.33)

фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН

ЪБŒЙУЙНПУФШ ŒЕЛФПТБ УПУФПСОЙС ПФ ŒТЕНЕОЙ. йЪ ХТБŒОЕОЙС ыТЕ-

 

 

 

 

i

t

 

 

 

, РПМХЮБЕН

 

 

 

ДЙОЗЕТБ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ih— _ = Hint

 

 

 

 

 

(t) =

(0) − h—

 

Hint(t ) (t )dt :

 

 

 

 

(2.34)

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

йЪ ФБЛПК ЪБРЙУЙ ŒЙДОП, ЮФП РТПЕЛГЙС n| (t) ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС ФПМШЛП ОБЮЙОБС У n-ЗП

РПТСДЛБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. рПЬФПНХ

 

0 √n

 

n − 1|

(n−1)(t ) dt ;

n| (n)(t) = −i

n|Hint(t )| (n−1)

(t ) dt =

h—

ei!t

 

t

 

ieEl

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

(2.35)

ЗДЕ ЙОДЕЛУ (n) УПУФПСОЙС (n)(t) ПЪОБЮБЕФ РПТСДПЛ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. œŒПДС ЖХОЛГЙЙ un(t) = n| (n)(t) , РПМХЮБЕН ТЕЛХТТЕОФОЩЕ ХТБŒОЕОЙС:

 

ieEl

0 √n

t

 

un(t) =

ei!t un−1(t )dt ;

(2.36)

h—

0

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

змбœб 2. жхолгйс зтйоб

РТЙЮЕН u0(t) = 1. тЕЫЙŒ ЙИ, ОБИПДЙН

0

√1

ei!t − 1 :

 

(2.37)

 

 

 

 

un(t) = h!—

 

 

 

 

 

 

 

eEl

 

n

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

йУЛПНБС ŒЕТПСФОПУФШ W0→n Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ТБŒОБ

 

|

n

|

 

2m!3h—

n!

 

2

 

n!

m!3h—

 

 

 

u

(fi )

2 =

e2E2

n 1

2 sin !fi

 

2n =

1

e2E2(1 − cos !fi )

n :

(2.38)

фЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК ТБВПФБЕФ, ЕУМЙ ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ЛŒБДТБФОЩИ УЛПВЛБИ НОПЗП НЕОШЫЕ ЕДЙОЙГЩ.

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 6 В. ъБРЙЫЕН ЗБНЙМШФПОЙБО

H =

H0

+ Hint

ЮЕТЕЪ ВПЪЕ-

ПРЕТБФПТЩ:

a+a + 1=2 ;

 

 

 

 

 

 

H0 = h!—

Hint = −eEx = −eEl0(a + a+) ;

(2.39)

 

+

 

 

a+

= i!a+ :

(2.40)

a = (i=h—)[H0; a] = i![a+a; a] = −i!a ;

(l0 = h=— 2m!). оБКДЕН a(t) Й a (t) Œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ Hint = 0:

 

 

пФУАДБ ЙНЕЕН

 

 

 

 

 

 

 

 

a(t) = ae−i!t ;

 

a+(t) = a+ei!t :

 

 

(2.41)

фЕРЕТШ РХУФШ Hint = 0. ъБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙС ДŒЙЦЕОЙС ДМС a Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНП-

ДЕКУФŒЙС:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = (i=h—)[Hint; a] = ieEl0e−i!t

:

(2.42)

оБИПДЙН ТЕЫЕОЙЕ:

 

 

 

fi e−i!tdt = a(0) + — ;

 

 

a(fi ) = a(0) − iEl0

(2.43)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

ЗДЕ a(0) | ЛБОПОЙЮЕУЛЙК ВПЪЕŒУЛЙК ПРЕТБФПТ ХОЙЮФПЦЕОЙС, Б

 

 

 

 

 

eEl0

−i!fi

− 1) :

 

 

 

 

— =

h!—

(e

 

(2.44)

пФУАДБ РПМХЮБЕН ЪБŒЙУЙНПУФШ n-ЗП УПУФПСОЙС ПФ ŒТЕНЕОЙ:

 

 

(a+(fi ))n

 

 

(a+(0) + — )n

 

 

|n; t = fi =

√n!

|0; t = fi =

√n!

|0; t = fi :

(2.45)

фЕРЕТШ ТБЪМБЗБЕН УПУФПСОЙЕ |0; t = 0 РП УПУФПСОЙСН |n; t = fi :

 

 

n; t = fi |0; t = 0

= 0; t = fi |

(a(0) + —)n

 

 

√n!

|0; t = 0 =

 

 

 

(—)n

 

 

 

 

 

 

 

= √n! 0; t = fi |0; t = 0 :

 

(2.46)

Смотрите также файлы