Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 784
Скачиваний: 1
2.2. ъбдбюй 5 { 10 |
31 |
ЪБДБЮЕ ŒТЕНС t СŒМСЕФУС ДЙУЛТЕФОЩН.) œ ФЕПТЙЙ ŒЕТПСФОПУФЕК ТБУУНБФТЙŒБАФ РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА
|
(2.15) |
G(z; q) = zt eiqx p(t; x) (t 0; |z| < 1) : |
x;t
уŒПКУФŒБ ЬФПК ŒЕМЙЮЙОЩ ŒП НОПЗПН БОБМПЗЙЮОЩ УŒПКУФŒБН ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП
G(z; q) = |
1 |
; |
W (q) = |
1 |
(cos q1 |
+ : : : + cos qn) : |
(2.16) |
1 − zW (q) |
n |
тБУУНПФТЙН РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА ~( q) ДМС ВМХЦДБОЙК, ОБЮЙОБАЭЙИУС ЙЪ
G z;
ОБЮБМБ ЛППТДЙОБФ, ОП ОЙ ТБЪХ ОЕ ŒПЪŒТБЭБАЭЙИУС ФХДБ ОБ РПУМЕДХАЭЙИ ЫБЗБИ. œЕ-
МЙЮЙОБ ~( q) РП УŒПЙН УŒПКУФŒБН РПИПЦБ ОБ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЮБУФЙГЩ Œ РПМЕ ПФФБМ-
G z;
ЛЙŒБАЭЕЗП ГЕОФТБ (УН. ЪБДБЮЙ 11, 12 Й 13). œ ЮБУФОПУФЙ, ДМС ОЕЕ НПЦОП ОБРЙУБФШ ФБЛПЕ ЦЕ ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ (ОБРПНЙОБАЭЕЕ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ). œЩТБЪЙФЕ
~( q) ЮЕТЕЪ ( q). оБКДЙФЕ ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ОЙЛПЗДБ ОЕ ŒПЪŒТБ-
G z; G z; P
ЭБЕФУС Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП
P −1 = |
G(1; q) |
dnq |
: |
(2.17) |
(2ı)n |
ъДЕУШ ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ЪПОЕ вТЙММАЬОБ, Ф. Е. РП РЕТЙПДХ ПВТБФОПК ТЕЫЕФЛЙ. œЕТПСФОПУФШ ŒПЪŒТБФБ (2.17) ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ
ТЕЫЕФЛЙ n. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Б) P = 0 РТЙ n 2;
Â) 0 < P < 1 ÐÒÉ n > 2; Œ) P → 1 ÐÒÉ n 2.
рПУЛПМШЛХ РЕТЕЮЙУМЕООЩЕ УŒПКУФŒБ ЮХŒУФŒЙФЕМШОЩ ФПМШЛП Л РПŒЕДЕОЙА G(1; q) РТЙ НБМЩИ q, Ф. Е. ОБ ВПМШЫЙИ НБУЫФБВБИ, ПОЙ ЙНЕАФ НЕУФП ДМС РТПЙЪŒПМШОПЗП ДЙЖЖХЪЙПООПЗП ДŒЙЦЕОЙС, Б ОЕ ФПМШЛП ДМС ВМХЦДБОЙС РП ТЕЫЕФЛЕ. фЙРЙЮОБС ДЙЖЖХЪЙПООБС ФТБЕЛФПТЙС ЙНЕЕФ ВЕУЛПОЕЮОП НОПЗП ŒПЪŒТБФПŒ РТЙ n 2, Й ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП РТЙ n > 2.
ъБДБЮБ 10. œФПТПК РТЙНЕТ ЙУРПМШЪПŒБОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ | ЙЪ ЬМЕЛФТПДЙОБНЙЛЙ. тБУУНПФТЙН НПДЕМШ РТПŒПДСЭЕК УТЕДЩ, РТЕДУФБŒМСАЭХА УПВПК n-НЕТОХА УЕФЛХ ЙЪ ПДЙОБЛПŒЩИ УПРТПФЙŒМЕОЙК. уЕФЛБ ПВТБЪХЕФ n-НЕТОХА ЛХВЙЮЕУЛХА ТЕЫЕФЛХ, УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛБЦДПЗП ТЕВТБ ЛПФПТПК ТБŒОП R. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ Rx РПМОПЕ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ТЕЫЕФЛЙ НЕЦДХ ХЪМБНЙ 0 Й x. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП
Rx = n |
(1 − eiqx) G(1; q) (2ı)n ; |
R |
dnq |
ЗДЕ G(z; q) | ЖХОЛГЙС зТЙОБ, ŒŒЕДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 9. йУУМЕДХКФЕ |x| 1 Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ n.
(2.18)
РПŒЕДЕОЙЕ Rx ÐÒÉ
32 |
змбœб 2. жхолгйс зтйоб |
2.3. тЕЫЕОЙС
тЕЫЕОЙЕ 5. рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ = + , ЗДЕ
H H0 Hint
|
|
|
|
H0 = —B0 |
z |
= |
0 0 |
—B0 |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—B |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Hint |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
œ |
|
|
|
|
|
|
—B1e−i!t—B1ei!t |
|
|
||||||||
|
|
Hint = |
—B1( xcos !t + y sin !t) = ( 0 |
0 ) |
|
||||||||||||
|
РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС i _ |
|
|
(t) , ÇÄÅ |
|
|
|
|
ei—B0t = |
||||||||
|
Hint(t) = eiH0tHinte−iH0t = |
|
|
0 |
e−i—B0t Hint |
|
− |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ei—B0t |
0 |
|
|
e |
i—B0t |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
e−2i˙t |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= —B1 e2i˙t |
0 |
|
|||||
ÇÄÅ ˙ = !=2 − —B0. пФУАДБ РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i _↑ = —B1e−2i˙t |
↓; i _↓ = —B1e2i˙t |
↑ |
|
|
|
||||||||
œŒЕДЕН ОПŒЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
’↑ = ei˙t ↑ ; ’↓ = e−i˙t |
↓ : |
|
|
|
|
|
|
хТБŒОЕОЙС ДМС ’¸(t) ОЕ УПДЕТЦБФ СŒОПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ŒТЕНЕОЙ:
i’↑ + ˙’↑ = —B1’↓; i’↓ − ˙’↓ = —B1’↑;
ÉÌÉ |
|
—B1 |
˙ |
|
|
i’ = |
−˙ |
—B1 |
’: |
пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ЬФЙИ ХТБŒОЕОЙК ЙНЕЕФ ŒЙД
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
|
−(1 − –)1=2 |
|
− |
(1 + –)1=2 |
|
|
’(t) = c+ |
(1 + –)1=2 |
ei!t~ + c |
|
(1 − –)1=2 |
e−i!t~ ; |
(2.26) |
ÇÄÅ !~ = ˙2 + (—B1)2, – = ˙=!~, Б ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ c± ЪБŒЙУСФ ПФ ОБЮБМШОЩИ ХУМПŒЙК.
|
|
|
|
|
НБФТЙГБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ |
|
(t) = S(t) |
(0). уТБŒОЙŒБС У (2.26), РПМХЮБЕН |
|||||||||
рПМОБС S- |
|
i˙t |
ei˙t |
|
|
|
1=2 i!t~ |
i |
1=2 |
i i!t~ |
× |
|
|
||||
S(t) = |
|
|
0 |
−(1−–)1=2ei!t~ |
|
(1+–)1=2e−i!t~ |
(2.27) |
||||||||||
|
e− |
|
0 |
(1+–) |
e |
|
(1−–) |
e− |
|
||||||||
|
1 |
(1+ |
–)1=2 |
−(1−–)1=2 |
|
= |
|
W (t)e−i˙t |
|
−i(1−–2)1=2e−i˙t sin !t~ |
; |
||||||
× |
2 |
(1−–)1=2 |
(1+–)1=2 |
|
−i(1−–2)1=2ei˙t sin !t~ |
W (t)ei˙t |
|
||||||||||
ÇÄÅ W (t) = cos !t~ |
+ i– sin !t~ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ. еЕ НПЦОП ОБКФЙ У РПНПЭША S-НБФТЙГЩ, Б НПЦОП Й РТСНП ЙЪ (2.26). œПУРПМШЪХЕНУС ŒФПТЩН УРПУПВПН. рПУЛПМШЛХ
2.3. теыеойс |
33 |
1 |
, ФП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ c± Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (2.26) ЕУФШ c+ = (1 + –)1=2=2, |
ÐÒÉ t = 0 ’ = 0 |
|
c− = (1 − –)1=2=2. |
пФУАДБ |
1 √ |
2 |
(e− |
i!t~ |
− e |
i!t~ |
|
—B1 |
sin !t~ |
: |
|
’↓(t) = 2 |
1 − – |
|
|
) = |
i!~ |
(2.28) |
||||
œЕТПСФОПУФШ ПВОБТХЦЕОЙС УПУФПСОЙС | ↓ ÐÒÉ t > 0 ÒÁŒÎÁ |
|
|
||||||||
p↓(t) = |’↓(t)|2 = |
|
(—B1)2 |
|
|
|
|
||||
˙2 + (—B1)2 sin2 !t~ : |
|
(2.29) |
еУМЙ ŒЩРПМОЕОП ХУМПŒЙЕ ТЕЪПОБОУБ ! = 2—B0, ÔÏ ˙ = 0, !~ = —B1 Й ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС
S-НБФТЙГЩ ХРТПЭБЕФУС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cos —B1t |
|
i sin —B1t |
: |
|
|
|
|
||||||
|
|
− |
i sin —B1t |
−cos —B1t |
|
|
|
(2.30) |
||||||||
|
|
S(t) = |
|
|
|
|
||||||||||
уППФŒЕФУФŒЕООП, Œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ ЕУФШ p |
(t) = sin2 |
—B t. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
1 |
|
|
|
m Hint(t)|n = −eEe |
− |
|
|
|
|
|
|
(2.31) |
||||||
|
|
|
m|x|n : |
|
|
|||||||||||
тЕЫЕОЙЕ 6 a. œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС |
|
|
= |
|
eEeiH0txe−iH0t, ПФЛХДБ |
|||||||||||
|
|
| |
|
|
|
|
i(m n)!t |
Hint |
|
− |
|
|
|
|
||
œПУРПМШЪХЕНУС |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕТБФПТБ ЛППТДЙОБФЩ: |
|
||||||
|
ЙЪŒЕУФОЩНЙ НБФТЙЮОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
m|x|n = l0 m|a + a+|n = l0 |
‹m;n+1 |
√m + ‹m+1;n √n ; |
|
(2.32) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ l0 = h=— 2m! | ТБЪНЕТ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ПУГЙММСФПТБ. рПМХЮБЕН |
|
|||||||||||||||
m|Hint(t)|n = −eEl0 |
‹m;n+1 |
√m ei!t + ‹m+1;n |
√n e−i!t : |
(2.33) |
||||||||||||
фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН |
ЪБŒЙУЙНПУФШ ŒЕЛФПТБ УПУФПСОЙС ПФ ŒТЕНЕОЙ. йЪ ХТБŒОЕОЙС ыТЕ- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
i |
t |
|
|
|
, РПМХЮБЕН |
|
|
|
||||
ДЙОЗЕТБ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ih— _ = Hint |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(t) = |
(0) − h— |
|
Hint(t ) (t )dt : |
|
|
|
|
(2.34) |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йЪ ФБЛПК ЪБРЙУЙ ŒЙДОП, ЮФП РТПЕЛГЙС n| (t) ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС ФПМШЛП ОБЮЙОБС У n-ЗП
РПТСДЛБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. рПЬФПНХ |
|
0 √n |
|
n − 1| |
(n−1)(t ) dt ; |
||
n| (n)(t) = −i |
n|Hint(t )| (n−1) |
(t ) dt = |
h— |
ei!t |
|||
|
t |
|
ieEl |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
(2.35) |
ЗДЕ ЙОДЕЛУ (n) УПУФПСОЙС (n)(t) ПЪОБЮБЕФ РПТСДПЛ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. œŒПДС ЖХОЛГЙЙ un(t) = n| (n)(t) , РПМХЮБЕН ТЕЛХТТЕОФОЩЕ ХТБŒОЕОЙС:
|
ieEl |
0 √n |
t |
|
|
un(t) = |
ei!t un−1(t )dt ; |
(2.36) |
|||
h— |
0
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
змбœб 2. жхолгйс зтйоб |
||
РТЙЮЕН u0(t) = 1. тЕЫЙŒ ЙИ, ОБИПДЙН |
0 |
√1 |
ei!t − 1 : |
|
(2.37) |
||||||||
|
|
|
|
un(t) = h!— |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
eEl |
|
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
йУЛПНБС ŒЕТПСФОПУФШ W0→n Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ТБŒОБ |
|
||||||||||||
| |
n |
| |
|
2m!3h— |
n! |
|
2 |
|
n! |
m!3h— |
|
|
|
|
u |
(fi ) |
2 = |
e2E2 |
n 1 |
2 sin !fi |
|
2n = |
1 |
e2E2(1 − cos !fi ) |
n : |
(2.38) |
фЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК ТБВПФБЕФ, ЕУМЙ ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ЛŒБДТБФОЩИ УЛПВЛБИ НОПЗП НЕОШЫЕ ЕДЙОЙГЩ.
рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 6 В. ъБРЙЫЕН ЗБНЙМШФПОЙБО |
H = |
H0 |
+ Hint |
ЮЕТЕЪ ВПЪЕ- |
|||
ПРЕТБФПТЩ: |
a+a + 1=2 ; |
|
|
|
|
|
|
H0 = h!— |
Hint = −eEx = −eEl0(a + a+) ; |
(2.39) |
|||||
|
+ |
|
|
a+ |
= i!a+ : |
(2.40) |
|
a = (i=h—)[H0; a] = i![a+a; a] = −i!a ; |
|||||||
(l0 = h=— 2m!). оБКДЕН a(t) Й a (t) Œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ Hint = 0: |
|
|
|||||
пФУАДБ ЙНЕЕН |
|
|
|
|
|
|
|
|
a(t) = ae−i!t ; |
|
a+(t) = a+ei!t : |
|
|
(2.41) |
фЕРЕТШ РХУФШ Hint = 0. ъБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙС ДŒЙЦЕОЙС ДМС a Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНП- |
||||||||
ДЕКУФŒЙС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (i=h—)[Hint; a] = ieEl0e−i!t |
: |
(2.42) |
|||||
оБИПДЙН ТЕЫЕОЙЕ: |
|
|
|
fi e−i!tdt = a(0) + — ; |
|
|||
|
a(fi ) = a(0) − iEl0 |
(2.43) |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ЗДЕ a(0) | ЛБОПОЙЮЕУЛЙК ВПЪЕŒУЛЙК ПРЕТБФПТ ХОЙЮФПЦЕОЙС, Б |
|
|||||||
|
|
|
|
eEl0 |
−i!fi |
− 1) : |
|
|
|
|
— = |
h!— |
(e |
|
(2.44) |
||
пФУАДБ РПМХЮБЕН ЪБŒЙУЙНПУФШ n-ЗП УПУФПСОЙС ПФ ŒТЕНЕОЙ: |
|
|||||||
|
(a+(fi ))n |
|
|
(a+(0) + — )n |
|
|||
|
|n; t = fi = |
√n! |
|0; t = fi = |
√n! |
|0; t = fi : |
(2.45) |
||
фЕРЕТШ ТБЪМБЗБЕН УПУФПСОЙЕ |0; t = 0 РП УПУФПСОЙСН |n; t = fi : |
|
|||||||
|
n; t = fi |0; t = 0 |
= 0; t = fi | |
(a(0) + —)n |
|
||||
|
√n! |
|0; t = 0 = |
|
|||||
|
|
(—)n |
|
|
|
|
|
|
|
= √n! 0; t = fi |0; t = 0 : |
|
(2.46) |