Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

3

ЗДЕ R | ЛППТДЙОБФБ ОЕКФТПОБ . нПЦОП РПЛБЪБФШ (УН. ЪБДБЮХ 72), ЮФП УЕЮЕОЙЕ ОЕХРТХЗПЗП ТБУУЕСОЙС ОЕКФТПОПŒ У РЕТЕДБЮЕК УТЕДЕ ЬОЕТЗЙЙ ! Й ЙНРХМШУБ q ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ НОЙНХА ЮБУФШ ЛПТТЕМСФПТБ РМПФОПУФЙ (11.25) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

ОБЪЩŒБЕФУС УФТХЛФХТОЩН ЖБЛФПТПН ОЕХРТХЗПЗП ТБУУЕСОЙС.

оБЙВПМШЫЙК ЙОФЕТЕУ ПВЩЮОП РТЕДУФБŒМСАФ РПМАУЩ ДŒХИЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, РПУЛПМШЛХ ПОЙ ПРТЕДЕМСАФ УРЕЛФТ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК УЙУФЕНЩ ! = !0(q) − i‚(q). рТЙ НБМПК ŒЕМЙЮЙОЕ ЪБФХИБОЙС ‚(q) !0(q), РПМАУХ ДŒХИЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ УППФŒЕФУФŒХЕФ ХЪЛЙК РЙЛ Œ УФТХЛФХТОПН ЖБЛФПТЕ S(!; q) РТЙ ! ≈ !0(q), ЙНЕАЭЙК ЫЙТЙОХ РПТСДЛБ ‚(q). фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМПЦЕОЙС РЙЛПŒ Œ S(!; q) ĂРТПТЙУПŒЩŒБАФĄ ŒЕФŒЙ УРЕЛФТБ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК ЦЙДЛПУФЙ. йММАУФТЙТХАЭЙЕ ЬФП ПВУФПСФЕМШУФŒП РТЙНЕТЩ ВХДХФ ТБУУНПФТЕОЩ Œ ЪБДБЮБИ 73 В) Й 74.

оЕХРТХЗПЕ ТБУУЕСОЙЕ СŒМСЕФУС РТБЛФЙЮЕУЛЙ ЕДЙОУФŒЕООЩН НЕФПДПН, ДБАЭЙН ЙОЖПТНБГЙА П ЛПММЕЛФЙŒОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙСИ У ŒПМОПŒЩНЙ ŒЕЛФПТБНЙ q РПТСДЛБ ПВТБФОПЗП ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ. оБРТЙНЕТ, ЗЙРПФЕЪБ П УХЭЕУФŒПŒБОЙЙ ТПФПОПŒ Œ УŒЕТИФЕЛХЮЕН ЗЕМЙЙ ВЩМБ РТПŒЕТЕОБ ЙНЕООП У РПНПЭША ЙЪНЕТЕОЙК УФТХЛФХТОПЗП ЖБЛФПТБ. рТЙ ЬФПН УРЕЛФТ ŒПЪВХЦДЕОЙК РТЙ ДПУФБФПЮОП НБМЩИ ! Й q ПВЩЮОП НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ Й ДТХЗЙНЙ НЕФПДБНЙ, ЙЪХЮБС НБЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ ЙМЙ ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ.

тБУУНПФТЙН РТЙНЕТ ТЕБМШОЩИ ДБООЩИ РП ОЕХРТХЗПНХ ТБУУЕСОЙА ОЕКФТПОПŒ. оБ ТЙУ. 11.4 РПЛБЪБОЩ МЙОЙЙ ХТПŒОС УФТХЛФХТОПЗП ЖБЛФПТБ ЦЙДЛПЗП 3He. йОФЕТЕУОП УТБŒОЙФШ ЬФЙ ДБООЩЕ УП УФТХЛФХТОЩН ЖБЛФПТПН ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ (УН. ЪБДБЮХ 73) У ЙНРХМШУПН жЕТНЙ p0 = 0; 786 × 10−8ÓÍ−1, ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ РМПФОПУФЙ 3He РТЙ P = 1 БФН, Й НБУУПК ТБŒОПК БФ«ПНОПК НБУУЕ 3He. мЙОЙЙ ХТПŒОС УФТХЛФХТОПЗП ЖБЛФПТБ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ РПЛБЪБОЩ ОБ ТЙУ. 11.5. дМС ХДПВУФŒБ УТБŒОЕОЙС НЩ РЕТЕОЕУМЙ ОБ ТЙУ. 11.4 ЗТБОЙГХ ПВМБУФЙ S(!; q) > 0, ĂЛŒБЪЙЮБcФЙЮОЩК ЗТЕВЕОШĄ ! = vF k − k2=2m, Б ФБЛЦЕ РБТБВПМХ ! = k2=2m | МЙОЙА НБЛУЙНХНПŒ S(!; q) РТЙ ЖЙЛУЙТПŒБООПН |q|.

3нЩ ТБУУНБФТЙŒБЕН УТЕДХ, ОБ ЛПФПТПК РТПЙУИПДЙФ ТБУУЕСОЙЕ, Œ ЗЕКЪЕОВЕТЗПŒУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, Б ОЕКФТПО | Œ ЫТЕДЙОЗЕТПŒУЛПН. фБЛПЕ УНЕЫБООПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ХДПВОП ФЕН, ЮФП Œ ОЕН ОЕКФТПО ТБУУЕЙŒБЕФУС ОБ ЪБŒЙУСЭЕН ПФ ŒТЕНЕОЙ РПФЕОГЙБМЕ, УПЪДБŒБЕНПН ЖМХЛФХБГЙСНЙ РМПФОПУФЙ УЙУФЕНЩ.

œЙДОП, ЮФП ЛБЮЕУФŒЕООП ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС Œ 3He ФБЛЙЕ ЦЕ, ЛБЛ Œ ЖЕТНЙЗБЪЕ: ЗТБОЙГБ ПВМБУФЙ S(!; q) > 0 ŒЩЗМСДЙФ РПИПЦЕ Й ЙНЕЕФ РТБŒЙМШОЩК НБУЫФБВ. пДОБЛП ГЕОФТБМШОЩК НБЛУЙНХН МЕЦЙФ ОБ ВПМШЫПН ТБУУФПСОЙЙ ПФ РБТБВПМЩ ! = k2=2m. рТЙЮЙОБ ЬФПЗП ТБУИПЦДЕОЙС УПУФПЙФ Œ ПФМЙЮЙЙ ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ Œ ЦЙДЛПН 3He ПФ НБУУЩ БФПНБ Œ РХУФПФЕ: m ≈ 3m (ЬФП ЪОБЮЕОЙЕ РПМХЮЕОП ЙЪ ДБООЩИ РП ФЕРМПЕНЛПУФЙ РТЙ T EF , Ф. Е. ЙЪ ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛЙИ ЙЪНЕТЕОЙК). еУМЙ ХЮЕУФШ ФТЕИЛТБФОПЕ ТБЪМЙЮЙЕ НБУУ, ФП РПМПЦЕОЙЕ ГЕОФТБМШОПЗП НБЛУЙНХНБ ПЛБЪЩŒБЕФУС РТЙНЕТОП ОБ НЕУФЕ. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС ВЩМП ВЩ ОЕРТБŒЙМШОП РТПУФП ЪБНЕОЙФШ m ОБ m Œ ЖПТНХМЕ ДМС S(!; q) ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, РПУЛПМШЛХ РТЙ ЬФПН ŒЕТИОСС ЗТБОЙГБ ПВМБУФЙ S(!; q) > 0, ДБАЭБСУС ŒЩТБЦЕОЙЕН ! = k2=2m + kp0=m, ПЛБЪБМБУШ ВЩ ЪОБЮЙФЕМШОП ОЙЦЕ, ЮЕН ОБ ТЙУ. 11.4.

фБЛЙН ПВТБЪПН, Œ ПЛТЕУФОПУФЙ ŒЕТИОЕК ЗТБОЙГЩ УРЕЛФТБ ЙНЕЕФ УНЩУМ РПМШЪПŒБФШУС НБУУПК БФПНБ Œ РХУФПФЕ, Б ŒВМЙЪЙ НБЛУЙНХНБ | ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУПК. рТЙЮЙОБ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ОБ ЛПТПФЛЙИ ŒТЕНЕОБИ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙИ ВПМШЫЙН ЬОЕТЗЙСН, ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ БФПНБНЙ ЦЙДЛПУФЙ ОЕ ХУРЕŒБЕФ РТПСŒЙФШУС, Й ПОЙ ЬЖЖЕЛФЙŒОП ŒЕДХФ УЕВС ЛБЛ УŒПВПДОЩЕ.

пВТБФЙН ФБЛЦЕ ŒОЙНБОЙЕ ОБ НБЛУЙНХН УФТХЛФХТОПЗП ЖБЛФПТБ 3He ÐÒÉ q ≈ 1:75 A−1, ! ≈ 0:5 meV, ПФУХФУФŒХАЭЙК Œ УФТХЛФХТОПН ЖБЛФПТЕ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙЗБЪБ. ьФПФ НБЛУЙНХН ЕУФШ УМЕДУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. вПМЕЕ УЙМШОПЕ ЮЕН Œ ЙДЕБМШОПН ЗБЪЕ ТБУУЕСОЙЕ РТЙ q РПТСДЛБ ПВТБФОПЗП ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ БФПНБНЙ 3He НПЦОП ПВ - СУОЙФШ УХЭЕУФŒПŒБОЙЕН Œ ЦЙДЛПУФЙ ВМЙЦОЕЗП РПТСДЛБ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЗП ŒУМЕДУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС БФПНПŒ Й РТЙŒПДСЭЕЗП Л ЛТЙУФБММЙЪБГЙЙ РТЙ ДПУФБФПЮОП ŒЩУПЛПН

ДБŒМЕОЙЙ ЙМЙ ОЙЪЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ.

мЙФЕТБФХТБ: фХООЕМЙТПŒБОЙЕ ЙЪ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ Œ ОПТНБМШОЩК НЕФБММ ТБУУНБФТЙŒБЕФУС Œ [3], § 10.8, Б ЬЖЖЕЛФ дЦПЪЕЖУПОБ | Œ [3], § 10.12. пВУХЦДЕОЙЕ УФТХЛФХТОПЗП

ЖБЛФПТБ ДМС ОЕХРТХЗПЗП ТБУУЕСОЙС НПЦОП ОБКФЙ Œ [1], § 17 É Œ [6], § 86, 87, 91.

11.3. ъБДБЮЙ 68 { 74

ъБДБЮБ 68. Б) œЩŒЕДЙФЕ ЖПТНХМХ (11.14) ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ, ЙУРПМШЪХС НБГХВБТПŒУЛХА ФЕИОЙЛХ. дМС ЬФПЗП ТБУУНПФТЙФЕ ПФЛМЙЛ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ (11.13) ОБ РПМЕ, РТПРПТГЙПОБМШОПЕ ФХООЕМШОПНХ ПРЕТБФПТХ X , | УН. (11.12). йУРПМШЪХС БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РЕТЕКДЙФЕ ПФ НОЙНЩИ ЮБУФПФ Л ŒЕЭЕУФŒЕООЩН Й ФЕН УБНЩН УŒСЦЙФЕ ЖХОЛГЙА ПФЛМЙЛБ У ŒЕМЙЮЙОБНЙ Œ ТЕБМШОПН ŒТЕНЕОЙ.

В) тБУУНПФТЙФЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙЕ НЕЦДХ ДŒХНС ЙДЕБМШОЩНЙ ЖЕТНЙ-ЗБЪБНЙ У РПУФПСООПК РМПФОПУФША УПУФПСОЙК. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ eV EF ŒПМШФ-БНРЕТОБС ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБ МЙОЕКОБ, Ф. Е. ŒЩРПМОСЕФУС ЪБЛПО пНБ V = RI , РТЙЮЕН УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛПОФБЛФБ R ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ФЕНРЕТБФХТЩ Й ПРТЕДЕМСЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН

ÇÄÅ a É b | РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК ВЕТЕЗПŒ ЛПОФБЛФБ.

Œ) рХУФШ Œ ПДОПН ЙЪ ЖЕТНЙ-ЗБЪПŒ ЙНЕЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ, ФБЛ

ЗДЕ " | ЬОЕТЗЙС ЮБУФЙГЩ, Б ‰ = vF (p − p0), РТЙЮЕН ‰; " EF . оБКДЙФЕ ФХООЕМШОПЕ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ.

дМС ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ЕУФШ ЖХОЛГЙС ", Á ÏÔ ‰ ОЕ ЪБŒЙУЙФ (УН. ЗМ. 6). рПЬФПНХ Œ ЬФПН УМХЮБЕ a = 0. дМС ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ЪБŒЙУЙФ ЛБЛ ПФ ‰, ÔÁË É ÏÔ ", Й РПЬФПНХ a = 0 É b = 0.

ъБДБЮБ 69. (фХООЕМШОЩК ФПЛ Œ NS ЛПОФБЛФЕ.) тБУУНПФТЙН ФХООЕМШОЩК ЛПОФБЛФ НЕЦДХ ОПТНБМШОЩН НЕФБММПН Й УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПН, Л ЛПФПТПНХ РТЙМПЦЕОП ОБРТСЦЕОЙЕ V . œЩТБЪЙФЕ ФХООЕМШОЩК ФПЛ РТЙ T < Tc ЮЕТЕЪ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛПОФБЛФБ R Œ ОПТНБМШОПН УПУФПСОЙЙ, Ф. Е. РТЙ T > Tc. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЕ ЪБŒЙУЙНПУФШ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ ПФ V ЙНЕЕФ РПТПЗ:

ЗДЕ ´ | УŒЕТИРТПŒПДСЭБС ЭЕМШ РТЙ T = 0. оБКДЙФЕ ЪБŒЙУЙНПУФШ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ

ПФ ФЕНРЕТБФХТЩ РТЙ 0 < T < Tc?

ъБДБЮБ 70. (ьЖЖЕЛФ дЦПЪЕЖУПОБ.) фХООЕМШОЩК ФПЛ ЮЕТЕЪ ЛПОФБЛФ, УŒСЪЩŒБАЭЙК ДŒБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ, ПВМБДБЕФ ŒЕУШНБ ЙОФЕТЕУОЩНЙ УŒПКУФŒБНЙ. œ ЬФПН УМХЮБЕ РПНЙНП ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ŒЛМБДБ Œ ФПЛ, ТБУУНПФТЕООПЗП Œ ЪБДБЮБИ 68 Й 69, РПСŒМСЕФУС ДПРПМОЙФЕМШОЩК ŒЛМБД, УŒСЪБООЩК У ФХООЕМЙТПŒБОЙЕН ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ. жПТНБМШОП ЬФПФ ŒЛМБД НПЦОП ПРЙУБФШ, ЪБНЕОЙŒ ОПТНБМШОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ ДЙБЗТБННЕ ОБ

ТЙУ. 11.3 ОБ БОПНБМШОЩЕ | УН. ТЙУ. 11.6. фБЛЙН ПВТБЪПН, ФХООЕМШОЩК ЬЛУРЕТЙНЕОФ РПЪŒПМСЕФ ĂЙЪНЕТЙФШĄ БОПНБМШОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ.

Fa+

Fb

òÉÓ. 11.6

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ТБŒОПŒЕУЙЙ, РТЙ V = 0, ДŒХИЮБУФЙЮОЩК ФПЛ ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС Й ТБŒЕО

ÇÄÅ ’a(b) | ЪОБЮЕОЙС ЖБЪЩ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ ´a(b) = |´a(b)|ei’a(b) ОБ ТБЪОЩИ ВЕТЕЗБИ ЛПОФБЛФБ. фХООЕМШОЩК ЛПОФБЛФ НЕЦДХ ДŒХНС УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ-

НЙ, Œ ЛПФПТПН ЙНЕЕФ НЕУФП ЬЖЖЕЛФ дЦПЪЕЖУПОБ (11.33), ОБЪЩŒБЕФУС УППФŒЕФУФŒЕООП

ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛЙН ЛПОФБЛФПН.

тБУУНПФТЙФЕ УМХЮБК, ЛПЗДБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЙ РП ПВЕ УФПТПОЩ ЛПОФБЛФБ ПДЙОБЛПŒЩЕ, Ф. Е. ´a(b) = ´ei’a(b) . рПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ ДМС НБЛУЙНБМШОПЗП ФПЛБ Œ ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛПН ЛПОФБЛФЕ:

ЗДЕ R | УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛПОФБЛФБ РТЙ T > Tc. уŒСЪШ НЕЦДХ НБЛУЙНБМШОЩН ДЦПЪЕЖ-

УПОПŒУЛЙН ФПЛПН I0 Й УПРТПФЙŒМЕОЙЕН ЛПОФБЛФБ Œ ОПТНБМШОПН УПУФПСОЙЙ ОБЪЩŒБЕФУС

УППФОПЫЕОЙЕН бНВЕЗБПЛБТБ{вБТБФПŒБ.

ъБДБЮБ 71. (рМПФОПУФШ УПУФПСОЙК Œ ЗТСЪОПН НЕФБММЕ 4.) œ ОЕХРПТСДПЮЕООПН НЕФБММЕ ФХООЕМШОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК (") ЙНЕЕФ ПУПВЕООПУФШ ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ. уЙОЗХМСТОПУФШ (") РТЙ " → EF УŒЙДЕФЕМШУФŒХЕФ П ФПН, ЮФП ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОПЕ УПУФПСОЙЕ Œ НЕФБММЕ Œ РТЙУХФУФŒЙЕ ТБУУЕСОЙС ОБ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ ŒЕУШНБ УЙМШОП НПДЙЖЙГЙТХЕФУС. юФПВЩ ОБКФЙ РПРТБŒЛХ Л ФХООЕМШОПК РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК, ŒПЪОЙЛБАЭХА ЙЪ-ЪБ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, РТПДЕМБКФЕ УМЕДХАЭЕЕ.

Б) œЩЮЙУМЙФЕ ŒЕТЫЙОХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОБ У ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РПМЕН У ХЮЕФПН ВЕУРПТСДЛБ, ЙУРПМШЪХС НБГХВБТПŒУЛХА ФЕИОЙЛХ; РТПУХННЙТХКФЕ ДМС ЬФПЗП ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 11.7.

òÉÓ. 11.7

4УН. ТБВПФЩ: в. м. бМШФЫХМЕТ, б. з. бТПОПŒ, цьфж, Ф. 77, У. 2028 (1979); B. L. Altshuler, A. G. Aronov, P. A. Lee, Phys. Rev. Lett., v. 44, p. 1288 (1980).