Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

340 змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

ПВ СУОСЕФУС БДЙБВБФЙЮОПУФША ЖПОПОПŒ. фХООЕМЙТПŒБОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ Œ НЕФБММ РТПЙУИПДЙФ НЗОПŒЕООП, РПЬФПНХ РТЙ ФХООЕМЙТПŒБОЙЙ ТЕЫЕФЛХ НПЦОП УЮЙФБФШ ОЕРПДŒЙЦОПК. фБЛЙН ПВТБЪПН, ŒЕТПСФОПУФШ ФХООЕМЙТПŒБОЙС ПРТЕДЕМСЕФУС УŒПКУФŒБНЙ УŒПВПДОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ. жПОПОЩ ЦЕ ЪБФЕН ЪБ ŒТЕНС РПТСДЛБ !D−1 РПДУФТБЙŒБАФУС РПД ЛПОЕЮОПЕ УПУФПСОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ РПУМЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙС, ЛБЛЙН ВЩ ПОП ОЙ ВЩМП.

ъБНЕФЙН, ЮФП ОБЫ ŒЩŒПД ПВ ПФУХФУФŒЙЙ ŒМЙСОЙС ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБ ФХООЕМШОЩК ФПЛ ЙНЕЕФ ŒЕУШНБ ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ФХООЕМШОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК (11.54) ОЕ НЕОСЕФУС, ЕУМЙ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ˚(") ЪБŒЙУЙФ ПФ ЬОЕТЗЙЙ " РТПЙЪŒПМШОЩН ПВТБЪПН. дМС РПМОПЗП УПЛТБЭЕОЙС ЬЖЖЕЛФПŒ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ФТЕВХЕФУС МЙЫШ ПФУХФУФŒЙЕ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ˚ ПФ p, ЛПФПТПЕ Œ УМХЮБЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ПВЕУРЕЮЙŒБЕФУС БДЙБВБФЙЮОПУФША ЖПОПОПŒ.

ФТЕВХЕФУС ЪБОПŒП РТПБОБМЙЪЙТПŒБФШ ŒЛМБД

тЕЫЕОЙЕ 69. дМС ОБИПЦДЕОЙС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ НЕЦДХ ОПНБМШОЩН НЕФБММПН Й УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПН НПЦОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ПВЭЙН УППФОПЫЕОЙЕН (11.42). рТЙ ЬФПН Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ БОПНБМШОЩЕ УТЕДОЙЕ ŒЙДБ a+p1 a+p2 ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС, Й РПЬФПНХ ДŒХИ ЮМЕОПŒ (11.42) Œ ФХООЕМШОЩК ФПЛ.

пДОБЛП ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РПУЛПМШЛХ Œ ОПНБМШОПН НЕФБММЕ УТЕДОЙЕ bp1 bp2 ТБŒОЩ ОХМА, РЕТŒЩК ЮМЕО Œ (11.42) РП-РТЕЦОЕНХ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ. рПЬФПНХ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 68, НПЦОП РЕТЕКФЙ ПФ (11.42) Л ŒЩТБЦЕОЙА (11.48), Œ ЛПФПТПЕ ŒИПДСФ ФХООЕМШОЩЕ РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК РТПВОЙЛБ Й ПВТБЪГБ.

фХООЕМШОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ДБЕФУС НОЙНПК ЮБУФША ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ (10.35) У РПМПЦЙФЕМШОЩИ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЮБУФПФ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ ДБЕФ

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЬФПФ ТЕЪХМШФБФ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБО Œ ŒЙДЕ ı 0@‰=@", Ф. Е. ЛБЛ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ЛŒБЪЙЮБУФЙГ У ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ "2 = ´2 + ‰2. иПФС ФБЛПК РПДИПД ЙЗОПТЙТХЕФ ТБЪМЙЮЙЕ НЕЦДХ ФХООЕМЙТХАЭЙНЙ ЬМЕЛФТПОБНЙ Й ЛŒБЪЙЮБУФЙГБНЙ, Œ ЛПФПТЩЕ ПОЙ РТЕŒТБЭБАФУС Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ, ТЕЪХМШФБФ Œ ДБООПН УМХЮБЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕТОЩН. рТЙЮЙОБ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ ФЕПТЙЙ влы УПУФПСФ ЙЪ ДŒХИ ЬМЕЛФТПОПŒ У ПДЙОБЛПŒПК ЬОЕТЗЙЕК. йИ ŒЛМБДЩ Œ ФХООЕМШОХА РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ТБŒОЩ |up|2 É |vp|2, ÇÄÅ up É vp | ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ РТЕПВТБЪПŒБОЙС вПЗПМАВПŒБ. оП РПУЛПМШЛХ u2p + vp2 = 1, УХННБТОЩК ŒЛМБД ДŒХИ ЛПНРПОЕОФ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ Œ ФХООЕМШОЩК ФПЛ ПРТЕДЕМСЕФУС ФПМШЛП УŒПКУФŒБНЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП УРЕЛФТБ. фБЛ РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП

ЬЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ФЕПТЙЙ влы ХЮЙФЩŒБАФУС ФПМШЛП Œ ТБНЛБИ ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС, Й РПЬФПНХ НОПЗПЮБУФЙЮОЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ ПЛБЪЩŒБАФУС ПФОПУЙФЕМШОП РТПУФЩНЙ.

рПДУФБŒМСС ФХООЕМШОХА РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК (11.60) Œ (11.48), ОБИПДЙН ФХООЕМШОЩК ФПЛ:

тБУУНПФТЙН УМХЮБК ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЩ. рХУФШ eV > 0. фПЗДБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ЬОЕТЗЙСН РТПЙЪŒПДЙФУС Œ ЙОФЕТŒБМЕ −eV < " < 0. рТЙ eV < ´ ЙОФЕЗТБМ (11.61) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ, РПУЛПМШЛХ Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ОЕ ŒЩРПМОЕОП ХУМПŒЙЕ |"| > ´. дМС eV > ´ ОБИПДЙН

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЪБŒЙУЙНПУФШ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ ПФ ОБРТСЦЕОЙС ЙНЕЕФ РПТПЗ, ТБŒОЩК ´=e. тБУУНБФТЙŒБС БОБМПЗЙЮОП УМХЮБК eV < 0, РПМХЮБЕН ЙУЛПНХА ЪБŒЙУЙНПУФШ (11.32), ПВМБДБАЭХА УŒПКУФŒПН БОФЙУЙННЕФТЙЙ: IN −S (−V ) = −IN −S (V ).

рПТПЗ РТЙ eV = ´ СŒМСЕФУС ТЕЪЛЙН ФПМШЛП РТЙ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЕ. рТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ Œ ОПТНБМШОПН НЕФБММЕ ŒУЕЗДБ ЙНЕАФУС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЬОЕТЗЙЕК " > ´, ЛПФПТЩЕ НПЗХФ ФХООЕМЙТПŒБФШ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛ. рПЬФПНХ ЕУФЕУФŒЕООП ПЦЙДБФШ, ЮФП РТЙ T > 0 ЛПТОЕŒБС ПУПВЕООПУФШ ТБЪНЩŒБЕФУС Й ФХООЕМШОЩК ФПЛ ПЛБЪЩŒБЕФУС ПФМЙЮОЩН ПФ ОХМС РТЙ ŒУЕИ ОБРТСЦЕОЙСИ.

юФПВЩ ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП ЬФП ДЕКУФŒЙФЕМШОП ФБЛ, ОБКДЕН ФХООЕМШОЩК ФПЛ РПД РПТПЗПН РТЙ НБМЩИ ФЕНРЕТБФХТБИ T ´. йОФЕЗТБМ Œ (11.61) РТЙ ФБЛЙИ T ПРТЕДЕМСЕФУС ПЛТЕУФОПУФСНЙ ФПЮЕЛ " = ±´. œŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙЕ " = ±(´ + x) Œ ЛБЦДПК ЙЪ ПВМБУФЕК. лБЛ ВХДЕФ СУОП ЙЪ ДБМШОЕКЫЙИ ŒЩЮЙУМЕОЙК, ИБТБЛФЕТОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ x ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ T , РПЬФПНХ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК РП x=´. œЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ УППФŒЕФУФŒЕООП РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

∞

IN −S (V; T ) = 4ıe a b|T0|2 [nF (´ + x) + nF (−´ − x)−

хРТПУФЙН РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ФПЦДЕУФŒПН nF (−") = 1−nF ("), ЛПФПТПНХ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. рПМХЮБЕН

(НЩ ŒЩТБЪЙМЙ ФХООЕМШОЩК НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ T0 ЮЕТЕЪ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛПОФБЛФБ Œ ОПТНБМШОПН УПУФПСОЙЙ).

рТЙ ВПМШЫЙИ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЪОБЮЕОЙСИ ЬОЕТЗЙЙ ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС РЕТЕИПДЙФ Œ ВПМШГНБОПŒУЛХА,

Й РПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП x У РПНПЭША ЙЪŒЕУФОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЗБННБ-ЖХОЛГЙЙ, ОБ-

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ОЕРТЙНЕОЙНП Œ ХЪЛПК ПЛТЕУФОПУФЙ РПТПЗБ РТЙ (eV − ´) T , РПУЛПМШЛХ РТЙ ФБЛЙИ ОБРТСЦЕОЙСИ РТЙВМЙЦЕОЙЕ (11.65) ОЕМШЪС РТЙНЕОСФШ Л РЕТŒПНХ ЮМЕОХ Œ (11.64).

йФБЛ, РТЙ 0 < T ´ ФПЛ (11.61) РТЙ eV < ´ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМ. рП НЕТЕ ТПУФБ ФЕНРЕТБФХТЩ ФПЛ РПД РПТПЗПН eV < ´ ŒПЪТБУФБЕФ, Й ЛПЗДБ ФЕНРЕТБФХТБ ДПУФЙЗБЕФ Tc, ŒПМШФ-БНРЕТОБС ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБ УФБОПŒЙФУС ПНЙЮЕУЛПК, ЛБЛ ДМС ЛПОФБЛФБ НЕЦДХ ДŒХНС ОПТНБМШОЩНЙ НЕФБММБНЙ.

рПНЙНП ФЕТНПБЛФЙŒБГЙПООПЗП ŒЛМБДБ Œ ФПЛ, ПРЙУЩŒБЕНПЗП ЖПТНХМПК (11.67), РПД РПТПЗПН eV = ´ УХЭЕУФŒХЕФ ЕЭЕ ПДЙО ŒЕУШНБ ЙОФЕТЕУОЩК ŒЛМБД, ОЕ ЙУЮЕЪБАЭЙК РТЙ T → 0. пО УŒСЪБО У ЛПЗЕТЕОФОЩН ФХООЕМЙТПŒБОЙЕН РБТЩ ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ Й УРЙОБНЙ. пЛБЪБŒЫЙУШ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ, ФБЛЙЕ ДŒБ ЬМЕЛФТПОБ НПЗХФ ПВТБЪПŒБФШ ЛХРЕТПŒУЛХА РБТХ. фХООЕМЙТПŒБОЙЕ РБТЩ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ФХООЕМЙТПŒБОЙС, ОЕ ФТЕВХЕФ ЪБФТБФЩ ЬОЕТЗЙЙ ´ ОБ ЛБЦДХА ЮБУФЙГХ, Й

РПЬФПНХ ФБЛПК ŒЛМБД ОЕ ĂŒЩНЕТЪБЕФĄ РТЙ ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ. лПЗЕТЕОФОПЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙЕ РБТ ЬМЕЛФТПОПŒ ЮБУФП ОБЪЩŒБАФ БОДТЕЕŒУЛЙН ПФТБЦЕОЙЕН, РПУЛПМШЛХ

ПРЙУБООЩК РТПГЕУУ РЕТЕИПДБ ДŒХИ ЬМЕЛФТПОПŒ ЙЪ ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛ НПЦОП ТБУУНБФТЙŒБФШ ЛБЛ РТЕŒТБЭЕОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ Œ ДЩТЛХ РТЙ ПФТБЦЕОЙЙ ПФ РПŒЕТИОПУФЙ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ. œЕТПСФОПУФШ ДŒХИЮБУФЙЮОПЗП ФХООЕМЙТПŒБОЙС РТПРПТГЙПОБМШОБ |T0|4, Á ÎÅ |T0|2, ЛБЛ ДМС ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ФХООЕМЙТПŒБОЙС. рПЬФПНХ РТЙ |T0| 1 Й ОЕ УМЙЫЛПН ОЙЪЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ РТПГЕУУЩ ПЮЕОШ ТЕДЛЙ РП УТБŒОЕОЙА У ПДОПЮБУФЙЮОЩНЙ. œУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП БОДТЕЕŒУЛПЕ ПФТБЦЕОЙЕ ŒОПУЙФ УХЭЕУФŒЕООЩК ŒЛМБД Œ ФХООЕМШОЩК ФПЛ МЙЫШ РТЙ ДПУФБФПЮОП ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ 5.

тЕЫЕОЙЕ 70. рПУЛПМШЛХ ФЕРЕТШ Х ОБУ У ПВЕЙИ УФПТПО ЛПОФБЛФБ ОБИПДСФУС УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЙ, РЕТŒЩК ЮМЕО Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (11.42) ПЛБЪЩŒБЕФУС ПФМЙЮОЩН ПФ ОХМС. рПЬФПНХ ХУТЕДОЕОЙЕ (11.42) ОЕПВИПДЙНП ŒЩРПМОЙФШ ЪБОПŒП. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ХУТЕДОЕОЙЕ РЕТŒПЗП ЮМЕОБ (11.42) ŒЩРПМОСЕФУС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ТБОШЫЕ, У ЕДЙОУФŒЕООПК ТБЪОЙГЕК, УПУФПСЭЕК Œ ЪБНЕОЕ ОПТНБМШОЩИ УТЕДОЙИ ОБ БОПНБМШОЩЕ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙК

5бОДТЕЕŒУЛПЕ ПФТБЦЕОЙЕ ВПМЕЕ РПДТПВОП ТБУУНПФТЕОП Œ МЙФЕТБФХТЕ, РТПГЙФЙТПŒБООПК ОБ У. 287.

ÇÄÅ Fa(i"n; p) É Fb(i"n; p) | БОПНБМШОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ВЕТЕЗПŒ ЛПОФБЛФБ, Б — Й | УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ. уХННЙТХС РП — Й У ХЮЕФПН УРЙОПŒПК УФТХЛФХТЩ БОПНБМШОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ РП ŒЙДХ УИПДОПЕ У (11.45) У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ ОПТНБМШОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ОБ БОПНБМШОЩЕ:

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЪОБЛЙ ŒЩТБЦЕОЙК (11.45) Й (11.69) УПŒРБДБАФ. ьФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ПВЭЕНХ ОБВМАДЕОЙА П УПŒРБДЕОЙЙ ЪОБЛПŒ ĂОПТНБМШОЩИĄ Й ĂБОПНБМШОЩИĄ РЕФЕМШ, УДЕМБООПНХ Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 63.

рПУЛПМШЛХ, ЛБЛ НЩ ХŒЙДЙН, ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛЙК ФПЛ ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС Œ ТБŒОПŒЕУЙЙ, Ф. Е. РТЙ V = 0, ОБН ВХДЕФ ДПУФБФПЮОП 6 ŒЩЮЙУМЙФШ M;S−S (i˙n) ÐÒÉ ˙n = 0. бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕОХЦОЩН, Й НПЦОП УТБЪХ ЪБРЙУБФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ:

рПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ПФМЙЮОП ПФ ОХМС ЛПЗДБ ЖБЪЩ РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ЛПОФБЛФБ ТБЪМЙЮОЩ. рХУФШ ´a;b = |´a;b| ei’a;b . œЩТБЦБС ФХООЕМШОЩК НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ T0 ЮЕТЕЪ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛПОФБЛФБ Œ ОПТНБМШОПН УПУФПСОЙЙ, РПМХЮБЕН УППФОПЫЕОЙЕ дЦПЪЕЖУПОБ:

| НБЛУЙНБМШОЩК ФПЛ ЮЕТЕЪ ЛПОФБЛФ. пФНЕФЙН ЕЭЕ ТБЪ, ЮФП, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ДТХЗЙИ ТБЪОПŒЙДОПУФЕК ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ, ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛЙК ФПЛ ОЕ УŒСЪБО У ТЕМБЛУБГЙЕК Л ТБŒОПŒЕУОПНХ УПУФПСОЙА. ьЖЖЕЛФ дЦПЪЕЖУПОБ (11.33) ЙНЕЕФ НЕУФП Œ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПН ТБŒОПŒЕУЙЙ, Й УППФŒЕФУФŒЕООП ФПЛ (11.71) НЕЦДХ ДŒХНС УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБНЙ У ТБЪМЙЮБАЭЙНЙУС ЖБЪБНЙ РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ НПЦЕФ ФЕЮШ ОЕПЗТБОЙЮЕООП ДПМЗП.

6рП ЬФПК ЦЕ РТЙЮЙОЕ НЩ ОЕ ТБУУНБФТЙŒБЕН ŒЛМБД Œ ФХООЕМШОЩК ФПЛ (11.42), УПДЕТЦБЭЙК ОПТНБМШОЩЕ УТЕДОЙЕ. лБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ Œ ЪБДБЮБИ 68 Й 69, ФБЛПК ŒЛМБД ПРЙУЩŒБЕФ ОЕЛПЗЕТЕОФОПЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙЕ ПФДЕМШОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ Й РТЙŒПДЙФ Л ФПЛХ, ЙУЮЕЪБАЭЕНХ РТЙ V = 0.