358 |
змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб |
ДБЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒБООЩК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ |
|
|
! = !0(q)'1 + g2˝(|q|=2p0) |
(11.138) |
œЩТБЦЕОЙЕ (11.137) ЙНЕЕФ РТЙ |q| = 2p0 УМБВХА ПУПВЕООПУФШ, РТЙŒПДСЭХА Л МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ТБУИПДЙНПУФЙ РЕТЕОПТНЙТПŒБООПК УЛПТПУФЙ ЪŒХЛБ c~ = d!=dq. ьФБ ПУПВЕООПУФШ Й ЕУФШ ЛПОПŒУЛБС БОПНБМЙС.
œЛМБД ЖПОПОПŒ Œ УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ, УПЗМБУОП (11.132) Й (11.136), ЕУФШ
S(!; q) = 2 |
|
—c |
|
Im |
(! + i0)2 − !02(q)(1 + g2˝(! + i0; q)) : |
(11.139) |
|
|
2ıah—2 |
|
2 |
!02(q) |
|
|
|
|
|
|
оБ ТЙУ. 11.14 НЩ ЙЪПВТБЪЙМЙ УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ, РПМХЮБАЭЙКУС РТЙ ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ ŒЩТБЦЕОЙК (11.124) Й (11.125) ДМС ˝(!; q). ъОБЮЕОЙЕ ЛПОУФБОФЩ ЬМЕЛФТПО{ ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ВЩМП ŒЩВТБОП ТБŒОЩН g2 = 8=9.
òÉÓ. 11.14
рПМПЦЕОЙЕ РЙЛБ Œ РМПУЛПУФЙ (!; q) ДБЕФ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ !(q). рТЙ q 2p0 ЪБŒЙУЙНПУФШ !(q) РТЙВМЙЪЙФЕМШОП МЙОЕКОБС У ОБЛМПОПН d!=dq = c√1 − g2 , ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЕОПНЙТПŒЛЕ УЛПТПУФЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ | УН. ЪБДБЮХ 31 Б. рТЙ q > 2p0 РЕТЕОПТНЙТПŒЛБ УЛПТПУФЙ РПУФЕРЕООП ЙУЮЕЪБЕФ. оБ ТЙУ. 11.14 ИПТПЫП ŒЙДОП ФБЛЦЕ ТЕЪЛПЕ ŒПЪТБУФБОЙЕ ОБЛМПОБ d!=dq Œ ПЛТЕУФОПУФЙ q = 2p0, РПНЕЮЕООПК УФТЕМЛПК. пФНЕФЙН, ЮФП ЛПОЕЮОБС ЫЙТЙОБ РЙЛПŒ ОБ ТЙУ. 11.14 УŒСЪБОБ У ФЕН, ЮФП ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ЪБФХИБОЙА ЖПОПОПŒ Œ НЕФБММЕ (УН. ЪБДБЮХ 31 В).
çÌÁŒÁ 12.
вПЪПОЙЪБГЙС Й МБФФЙОЦЕТПŒУЛБС ЦЙДЛПУФШ
œЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙЕ ЖЕТНЙПОЩ ОБ РТСНПК РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК ПУПВХА ЙОФЕТЕУОХА УЙУФЕНХ. пЛБЪЩŒБЕФУС, ДБЦЕ УМБВПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РПМОПУФША НЕОСЕФ ИБТБЛФЕТ ПДОПНЕТОПК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ, РТЙŒПДЙФ Л РЕТЕУФТПКЛЕ УРЕЛФТБ ŒПЪВХЦДЕОЙК Й ДЕМБЕФ ФЕПТЙА ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ОЕРТЙНЕОЙНПК (УН. ЪБДБЮХ 82, Œ ЛПФПТПК ПФУХФУФŒЙЕ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ РТЙ D = 1 РТПЙММАУФТЙТПŒБОП У РПНПЭША ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК). пДОПНЕТОЩЕ ЖЕТНЙПОЩ НПЗХФ ВЩФШ ХУРЕЫОП ПРЙУБОЩ Œ ТБНЛБИ НПДЕМЙ фПНПОБЗЙ{
мБФФЙОЦЕТБ Й ЕЕ ПВПВЭЕОЙК, Й РП ЬФПК РТЙЮЙОЕ ЮБУФП ЙУРПМШЪХЕФУС ОБЪŒБОЙЕ МБФФЙОЦЕТПŒУЛБС ЦЙДЛПУФШ.
нЕФПД ВПЪПОЙЪБГЙЙ, У РПНПЭША ЛПФПТПЗП УФТПЙФУС ФЕПТЙС МБФФЙОЦЕТПŒУЛПК ЦЙДЛПУФЙ, СŒМСЕФУС УŒПЕПВТБЪОЩН ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛЙН БОБМПЗПН ЗЙДТПДЙОБНЙЛЙ. ьМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС УЙУФЕНЩ ŒŒПДСФУС У РПНПЭША ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФ ПРЕТБФПТПŒ РМПФОПУФЙ Й ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК НЕЦДХ ОЙНЙ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ РПДЮЙОСАФУС УФБФЙУФЙЛЕ вПЪЕ. йУИПДОЩЕ ЦЕ ЖЕТНЙПООЩЕ ПРЕТБФПТЩ Œ ФБЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЩТБЦБАФУС ЮЕТЕЪ ВПЪПООЩЕ ПРЕТБФПТЩ ŒЕУШНБ ОЕФТЙŒЙБМШОП. пРЕТБФПТОЩЕ УППФОПЫЕОЙС НЕЦДХ ЖЕТНЙПООЩНЙ Й ВПЪПООЩНЙ РПМСНЙ ОБРПНЙОБАФ УППФОПЫЕОЙС кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ ДМС ЖЕТНЙПООПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ, ТБУУНПФТЕООПЗП Œ ТБЪД. 1.4.
œППВЭЕ ЗПŒПТС, РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒПЪВХЦДЕОЙК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ У РПНПЭША ЬЛŒЙŒБМЕОФОЩИ ВПЪПОПŒ ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС РТПЙЪŒПМШОПК ТБЪНЕТОПУФЙ УЙУФЕНЩ. фБЛ, Œ ЗМ. 8 НЩ РТПДЕНПОУФТЙТПŒБМЙ, ЮФП ФЕПТЙА ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ НПЦОП ĂРТПЛŒБОФПŒБФШĄ, ЙУРПМШЪХС ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ (УН. ТБЪД. 8.3 Й ЪБДБЮЙ 44, 45, 49). пДОБЛП ФПМШЛП Œ ПДОПНЕТОПН УМХЮБЕ НЕФПД ВПЪПОЙЪБГЙЙ РТЙŒПДЙФ Л ТЕЪХМШФБФБН, ЛПФПТЩЕ ОЕŒПЪНПЦОП ЙМЙ ЦЕ ФТХДОП РПМХЮЙФШ ВПМЕЕ УФБОДБТФОЩНЙ НЕФПДБНЙ.
рПНЙНП ЪБДБЮЙ П ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОБИ ОБ РТСНПК, НЕФПД ВПЪПОЙЪБГЙЙ ОБИПДЙФ РТЙНЕОЕОЙЕ ФБЛЦЕ РТЙ ЙЪХЮЕОЙЙ ДЙОБНЙЛЙ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ Œ РТПЙЪŒПМШОПК ТБЪНЕТОПУФЙ. œ ЮБУФОПУФЙ, ЬФПФ НЕФПД ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ ХДПВОЩН РТЙ ПРЙУБОЙЙ ŒУФТСУЛЙ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ РПД ДЕКУФŒЙЕН ŒПЪНХЭЕОЙС, ЪБŒЙУСЭЕЗП ПФ ŒТЕНЕОЙ. рТЙНЕТБНЙ ФБЛПЗП ТПДБ СŒМСАФУС ĂЛБФБУФТПЖБ ПТФПЗПОБМШОПУФЙĄ
360 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш
Й ЪБДБЮБ П ЛТБЕ ТЕОФЗЕОПŒУЛПЗП УРЕЛФТБ РПЗМПЭЕОЙС Œ НЕФБММЕ (УН. ЪБДБЮЙ 78 Й 79).
12.1. зЙДТПДЙОБНЙЛБ ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ
зЙДТПДЙОБНЙЮЕУЛПЕ ПРЙУБОЙЕ РТЙНЕОЙНП, ЕУМЙ ИБТБЛФЕТОЩЕ РТПУФТБОУФŒЕООЩК Й ŒТЕНЕООПК НБУЫФБВЩ ŒЕМЙЛЙ РП УТБŒОЕОЙА У НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙНЙ ДМЙОБНЙ Й ŒТЕНЕОБНЙ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ХУМПŒЙС ДМС ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ЪБРЙУЩŒБАФУС Œ ŒЙДЕ: k p0,
! EF .
оЕЛПФПТЩЕ ЖБЛФЩ ЗЙДТПДЙОБНЙЛЙ ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ОБН ХЦЕ ЙЪŒЕУФОЩ ЙЪ ЪБДБЮЙ 24, Œ ЛПФПТПК НЩ ОБЫМЙ ЖМХЛФХБГЙЙ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ŒОХФТЙ ЖЙЛУЙТПŒБООПЗП ЙОФЕТŒБМБ ВПМШЫПК ДМЙОЩ L p−0 1,
NL2 = NL2 − NL 2 = |
1 |
|
ı2 ln p0L ; |
(12.1) |
Б ФБЛЦЕ ЙЪ ЪБДБЮЙ 25, Œ ЛПФПТПК ВЩМ ОБКДЕО ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ |
v2k2 |
k p0 ; ! EF ; |
|
Q(!; k) = !2 − v2k2 + i‹ sign ! ; |
(12.2) |
ЗДЕ | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ.
йОФЕТЕУОП УПРПУФБŒЙФШ ЬФЙ ТЕЪХМШФБФЩ УП УŒПКУФŒБНЙ ПДОПНЕТОПК ХРТХЗПК УТЕДЩ. зТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЖПОПОПŒ Œ ПДОПНЕТОПК НПДЕМЙ дЕВБС ЕУФШ D(x −x ; t −t ) =
УМХЮБЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ijc2 T @xu(x; t)@xu(x ; t ) , ЗДЕ u(x; t) | ПРЕТБФПТ УНЕЭЕОЙС УТЕДЩ 1. œ ПДОПНЕТОПН |
|
ПРЕТБФПТ u(x; t) ЙНЕЕФ ŒЙД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sign k |
ikx |
|
ic k |
t |
+ |
ikx+ic k |
t |
|
|
u(x; t) = √L |
k |
(2jc k )1=2 |
bk e |
− |
| | |
|
+ bk e− |
| | |
; |
(12.3) |
ЗДЕ L | ДМЙОБ УЙУФЕНЩ, Б bk É b+ | ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ ЖПОПОПŒ 2 |
(ÓÒ. Ó |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
ФТЕИНЕТОЩН ŒЩТБЦЕОЙЕН (6.1)). œ ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЙ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D(!; k) = !2 − c2k2 + i‹ sign ! : |
|
|
(12.4) |
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УПŒРБДБЕФ У ЛПТТЕМСФПТПН РМПФОПУФЙ (12.2), У ФПЮОПУФША ДП НОПЦЙФЕМС Й ЪБНЕОЩ v → c. нПЦОП УДЕМБФШ ЕЭЕ ПДОП ОБВМАДЕОЙЕ, УТБŒОЙŒ ЖМХЛФХБГЙЙ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ (12.1) Œ ЙОФЕТŒБМЕ ВПМШЫПК ДМЙОЩ У ЛПТТЕМСФПТПН УНЕЭЕОЙК (12.3). рПМШЪХСУШ ФЕПТЕНПК œЙЛБ, ХУТЕДОСЕН:
|
u(x; t)u(x ; t ) t =t |
= |
|
eik(x −x) |
|
|
1 |
|
L |
dk |
: |
|
1 |
|
|
2jc|k| |
= |
2ıjc ln |x − x | 2ı |
(12.5) |
пВЩЮОП ЗТЙОПŒУЛБС |
ЖХОЛГЙС ЖПОПОПŒ |
|
ŒŒПДЙФУС |
ОЕУЛПМШЛП ЙОБЮЕ, |
ЮЕТЕЪ |
ПРЕТБФПТЩ ’(x; t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u É ’ ПФМЙЮБАФУС НОПЦЙФЕМЕН: ’(r; t) = c√j |
u(r; t). |
(УН. [1], (7.9) { (7.16)). пДОБЛП Œ НПДЕМЙ дЕВБС |
|
2 |
рТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП |
|
::: |
= |
::: |
dk |
b |
|
|
+ |
ıL‹ k |
|
k |
|
L |
|
|
|
|
|
2ı |
k |
; b |
k ] = 2 |
− |
), ÇÄÅ |
| ТБЪНЕТ УЙУФЕНЩ. |
дБООЩЕ |
|
|
|
|
É [ |
|
|
|
( |
|
|
|
k
УПЗМБЫЕОЙС ЙУРПМШЪХАФУС ŒУАДХ Œ ЬФПК ЗМБŒЕ.
12.2. лпннхфбфптщ претбфптпœ рмпфопуфй |
|
361 |
пФУАДБ ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ, ЮФП |
|
|
|
|
|
|
|
|
(u(x; t) |
u(x ; t))2 |
|
= |
1 |
ln |
|x − x | |
; |
(12.6) |
|
− |
|
ıjc |
|
a |
|
|
ЗДЕ a | РЕТЙПД ТЕЫЕФЛЙ (УН. ФБЛЦЕ ЪБДБЮХ 54, ЗДЕ ЛПТТЕМСФПТ УНЕЭЕОЙК (12.5) ОБКДЕО РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ).
уПŒРБДЕОЙЕ ЛПТТЕМСФПТПŒ (12.6) Й (12.1) РПДУЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ДПМЦОП УХЭЕУФŒПŒБФШ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, РЕТЕŒПДСЭЕЕ ПДОХ ЪБДБЮХ Œ ДТХЗХА. уТБŒОЙŒБС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ РЕТЕД МПЗБТЙЖНБНЙ, ПРТЕДЕМСЕН РТБŒЙМП УППФŒЕФУФŒЙС:
@xu(x; t) |
(ı=jc)1=2 n(x; t) = (ı=jc)1=2 |
+(x; t) (x; t) : |
(12.7) |
|
|
|
|
оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЕУМЙ ВЩ ОБЫМПУШ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ПВЕУРЕЮЙŒБАЭЕЕ ФБЛХА УŒСЪШ, ФП РТЙ ЬФПН ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ (12.2) Œ ФПЮОПУФЙ РЕТЕЫЕМ ВЩ Œ ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ЖПОПОПŒ.
рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЖЕТНЙПООПК ЪБДБЮЙ Œ ЬЛŒЙŒБМЕОФОХА ЪБДБЮХ ДЙОБНЙЛЙ ПДОПНЕТОПК ХРТХЗПК УТЕДЩ ОБЪЩŒБЕФУС ВПЪПОЙЪБГЙЕК. пОП ЙНЕЕФ НОПЗП ПВЭЕЗП У РТЕПВТБЪП-
ŒБОЙЕН кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ, УŒСЪЩŒБАЭЙН УРЙОПŒЩЕ Й ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ Œ ПДОПНЕТОПК ГЕРПЮЛЕ (УН. ТБЪД. 1.4). рТЙЮЙОБ УИПДУФŒБ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ОБ ТБЪОЩИ ХЪМБИ ЛПННХФЙТХАФ, Б ЪОБЮЙФ | ХДПŒМЕФŒПТСАФ ФБЛЙН ЦЕ ВПЪПООЩН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН, ЛБЛ Й ПРЕТБФПТЩ ЖПОПОПŒ. ьФХ БОБМПЗЙА НПЦОП ТБЪŒЙФШ, РПУФТПЙŒ ЙЪ УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ, ŒЪСФЩИ ОБ ХЪМБИ, ПРЕТБФПТЩ УРЙОПŒЩИ ŒПМО Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ: Й ЖПОПОЩ, Й УРЙОПŒЩЕ ŒПМОЩ РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, РПДЮЙОСАЭЙЕУС ВПЪЕ-УФБФЙУФЙЛЕ. пДОБЛП, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ФПЮОПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ, РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ | РТЙВМЙЦЕООПЕ. фПЮОПУФШ ЕЗП ПЗТБОЙЮЕОБ РТЕДЕМПН ДМЙООЩИ ŒПМО. йОБЮЕ ЗПŒПТС, ПОП ЪБЛПООП ФПМШЛП ЕУМЙ ТЕЮШ ЙДЕФ ПВ ЬЖЖЕЛФБИ Œ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЕ, УŒСЪБООЩИ У ЬМЕЛФТПОБНЙ ЙМЙ ДЩТЛБНЙ ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ.
12.2. лПННХФБФПТЩ ПРЕТБФПТПŒ РМПФОПУФЙ
рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ ОЕФТХДОП РПУФТПЙФШ СŒОП. оБЮОЕН У ФПЗП 3, ЮФП ТБЪПВШЕН ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФХ ПРЕТБФПТБ РМПФОПУФЙ ВЕУУРЙОПŒЩИ ЖЕТНЙПОПŒ ОБ ДŒБ УМБЗБЕНЩИ:
ÇÄÅ |
|
j(k) = a+ |
ap+k=2 |
= j1(k) + j2(k) ; |
|
(12.8) |
|
|
|
p−k=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) = |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
ap+k=2 : |
(12.9) |
j1 |
a+ |
ap+k=2 ; j2(k) = |
a+ |
|
|
L |
p−k=2 |
|
|
|
L |
p−k=2 |
|
|
|
|
|
p>0 |
|
|
|
|
p<0 |
|
|
лБЛ ХЦЕ ВЩМП ПФНЕЮЕОП, ŒУЕЗДБ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС, ЮФП УХЭЕУФŒЕООЩНЙ ПЛБЦХФУС ФПМШЛП УПУФПСОЙС ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ, РПЬФПНХ k НБМП, Б p ВМЙЪЛП МЙВП Л p0, ÌÉÂÏ
3нЩ УМЕДХЕН ТБВПФЕ: S. Tomonaga, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), v. 5, p. 544 (1950)