Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 759

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

11.4. теыеойс

349

ТБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ (11.24) ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ЛПТТЕМСГЙПООПК ЖХОЛГЙЙ РМПФОПУФЙ Й РЕТЕРЙЫЕН ЕЗП Œ ВБЪЙУЕ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК УЙУФЕНЩ. рПŒФПТСС ŒЩЮЙУМЕОЙС, РПДПВОЩЕ РТПДЕМБООЩН Œ ЪБДБЮЕ 37, ЪБРЙЫЕН ЖХТШЕ-ПВТБЪ KR(!; q) Œ УМЕДХАЭЕН ŒЙДЕ:

KR(!; q) =

if

 

!| + E|i

E|f + i|0

(w(Ef ) − w(Ei)) eiqr d3r :

(11.94)

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

i j(r) f

f j(0) i

 

 

тБУУНПФТЙН НОЙНХА ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ (11.94):

Im KR(!; q) = ı i|j(r)|f f |j(0)|i (w(Ei)−w(Ef )) ‹(Ef −Ei −!)eiqr d3r : (11.95)

if

ъБНЕФЙН, ЮФП w(Ei) − w(Ef ) = w(Ei) 1 − e−˛(Ef −Ei) = w(Ei)(1 − e−˛! ТЕЪХМШФБФЩ (11.93) Й (11.95), РПМХЮБЕН

d

= a2p Im KR(!; q)

= a2p

S(!; q)

;

 

4

1 −

 

−

˛!

4

−

 

−

˛!

 

do d!

ıp

 

e

 

 

2ıp

1

e

 

 

 

). óÒÁŒÎÉŒÁÑ

(11.96)

ЮФП Й ДПЛБЪЩŒБЕФ УППФОПЫЕОЙЕ (11.28).

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 72. œЩŒЕДЕН УППФОПЫЕОЙЕ (11.28) НЕЦДХ УЕЮЕОЙЕН ТБУУЕСОЙС ОЕКФТПОБ Й ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ KR(!; q), ОЕ ЙУРПМШЪХС ЪПМПФПЗП РТБŒЙМБ. йЪМПЦЕООЩК ОЙЦЕ ŒЩŒПД ПРЙТБЕФУС ОБ РПМХЮЕООЩК Œ ЪБДБЮЕ 40 ПВЭЙК ТЕЪХМШФБФ (7.38), УŒСЪЩŒБАЭЙК НБГХВБТПŒУЛЙЕ Й ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ.

йДЕС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФПВЩ ТБУУНПФТЕФШ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ОЕКФТПОБ, ТБУУЕЙŒБАЭЕЗПУС ОБ ЖМХЛФХБГЙСИ РМПФОПУФЙ УТЕДЩ. œЕТПСФОПУФШ ТБУУЕСОЙС Œ ЕДЙОЙГХ ŒТЕНЕОЙ НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОБ ЙЪ УППФŒЕФУФŒХАЭЕК УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ РП ЖПТНХМЕ 21fi = − Im ˚("; p). рПУЛПМШЛХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОЕКФТПОБ У БФПНБНЙ УЙУФЕНЩ НПЦОП ПРЙУБФШ У РПНПЭША РУЕŒДПРПФЕОГЙБМБ (11.26), ОБН ВХДЕФ ДПУФБФПЮОП ТБУУНПФТЕФШ ЙЪПВТБЦЕООХА ОБ ТЙУ. 11.10 ДЙБЗТБННХ ДМС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ОЙЪЫЕЗП РПТСДЛБ:

òÉÓ. 11.10

оБ ЬФПК ДЙБЗТБННЕ РТСНБС МЙОЙС ПВПЪОБЮБЕФ ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ОЕКФТПОБ

Gn("; p) =

1

;

(11.97)

" − p2=2mn + —n + i0 sign "

350

змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

Б ŒПМОЙУФБС | РТПРБЗБФПТ ЖМХЛФХБГЙК РМПФОПУФЙ K(x; x ). œЕМЙЮЙОБ —n ЕУФШ ИЙНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ОЕКФТПОПŒ, ЛПФПТЩК УМЕДХЕФ ХУФТЕНЙФШ Л −∞, РПУЛПМШЛХ Œ УЙУФЕНЕ ПФУХФУФŒХАФ ТБŒОПŒЕУОЩЕ ОЕКФТПОЩ. тБУУНБФТЙŒБС УТЕДХ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ, ХДПВОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛПК. рТЙ ЬФПН УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ОЕКФТПОБ ТБŒОБ

˚(i"m; p) =

2—

T

!n

Gn(i"m − i!n; p ) K(i!n; p − p)

(2ıp)3 :

(11.98)

 

ıa

2

 

d3

 

 

 

 

 

 

 

 

бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ (11.98) НПЦЕФ ВЩФШ ŒЩРПМОЕОП НЕФПДПН, ТБУУНПФТЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ 40 В).

юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УППФŒЕФУФŒЙЕ У ЙУРПМШЪПŒБООЩНЙ Œ ЪБДБЮЕ 40 В) ŒЕМЙЮЙОБНЙ, ЪБНЕФЙН, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС РМПФОПУФЙ K(i!n; q) РП УŒПЙН БОБМЙФЙЮЕУЛЙН УŒПКУФŒБН БОБМПЗЙЮОБ ЖПОПООПНХ РТПРБЗБФПТХ, Б ЖХОЛГЙС зТЙОБ ОЕКФТПОБ | ЬМЕЛФТПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. œЩТБЦЕОЙЕ (11.98) ЙНЕЕФ ФПФ ЦЕ ŒЙД, ЮФП ЬМЕЛФТПОЖПОПООБС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ (7.37). рПЬФПНХ Œ ТЕЪХМШФБФЕ БОБМЙФЙ-

ЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС РПМХЮБЕФУС УМЕДХАЭЕЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

2

 

 

"

−

"

−

! + i0

 

p )

×

 

 

 

 

 

 

 

2ıa

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

˚("; p) =

 

 

 

:::

 

n

 

 

 

 

 

K

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

!

 

d p d!d"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× th 2T

+ cth

2T

ı(2ı)4

:

(11.99)

нОЙНБС ЮБУФШ (11.99) ЕУФШ ПВТБФОПЕ ŒТЕНС ТБУУЕСОЙС,

1

= Im ˚("; p), РПЬФПНХ

 

= 2ı —

 

 

 

(2ı)4

th

2T

 

2T

 

 

 

 

2fi

 

 

 

 

 

 

fi

2

+ cth

Im KR(!; p − p )‹ (" − ! − " ) ;

(11.100)

1

2ıa

 

 

d3p d!

 

"

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ " = p 2=2mn −—n | ЬОЕТЗЙС ТБУУЕСООПЗП ОЕКФТПОБ. лБЛ ХЦЕ ВЩМП ПФНЕЮЕОП, РЕТЕИПД Л РТЕДЕМХ ПДОПЗП ОЕКФТПОБ УППФŒЕФУФŒХЕФ ВПМШЫЙН ПФТЙГБФЕМШОЩН —n. œ РТЕДЕМЕ |—n| T ЗЙРЕТВПМЙЮЕУЛЙК ФБОЗЕОУ th " =2T Œ (11.100) НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ЕДЙОЙГЕК, РПУМЕ ЮЕЗП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ УЛПВЛБИ Œ (11.100) ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОЩН 2=(1 −e−˛! ). рПУМЕДОЙН ОЕПВИПДЙНЩН ЫБЗПН СŒМСЕФУС ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП |p |, ХУФТБОСАЭЕЕ ПУФБŒЫХАУС ‹-ЖХОЛГЙА. рПМХЮБЕН

 

 

 

 

fi

ı—2

 

n|

 

|

1 − e−!=T

 

 

 

 

 

 

 

1 =

a2

 

m

p

 

Im KR(!; p − p ) d!do ;

 

(11.101)

2

|

p

|

ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ

ЪБЛПОБ УПИТБОЕОЙС ЬОЕТЗЙЙ РТЙ ТБУУЕСОЙЙ,

p 2

=2m

n

ÇÄÅ

 

 

=

p =2mn − !.

уЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС УŒСЪБОП У ŒТЕНЕОЕН ТБУУЕСОЙС РП ЖПТНХМЕ fi −1 = v, ÇÄÅ v = p=mn | УЛПТПУФШ ОЕКФТПОБ (НЩ УЮЙФБЕН ОПТНЙТПŒПЮОЩК ПВ ЕН ТБŒОЩН ЕДЙОЙГЕ). рПМХЮБЕН

=

a2m2

 

p Im

K

R(!; p

−

p )

(11.102)

n

p

 

d! do :

 

ı—2

1

− e−!=T

 

 

11.4. теыеойс

 

 

351

рТЕДУФБŒЙŒ РПМОПЕ УЕЮЕОЙЕ Œ ŒЙДЕ

 

 

 

=

d2

d! do

(11.103)

d!do

Й УТБŒОЙŒБС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ У (11.102), РТЙИПДЙН Л (11.96).

тЕЫЕОЙЕ 73 Б. œЩЮЙУМЙН УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ S(!; q) ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. тБУУНПФТЙН ДМС ЬФПЗП НБГХВБТПŒУЛЙК ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ

 

1

˛

 

 

 

KM (i!n; q) =

Tfi j(r; fi ) j(0; 0) ei!nfi −iqr d3r dfi :

(11.104)

2

 

 

−˛

 

 

 

уРБТЙŒБС {ПРЕТБФПТЩ, РПМХЮБЕН, ЮФП ОЕРТЙŒПДЙНБС ЮБУФШ УТЕДОЕЗП (11.104) ДБЕФУС

ПВЩЮОПК РЕФМЕŒПК ДЙБЗТБННПК Й ТБŒОБ

 

KM (i!n; q) = T "m

G (i"m; p − q=2) G (i"m + i!n; p + q=2) (2ı)3 :

(11.105)

 

2d3p

 

 

 

(РТЙŒПДЙНБС ЮБУФШ (11.104) ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ fi Й РПФПНХ ОЕ ДБЕФ ŒЛМБДБ Œ УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ РТЙ ОЕОХМЕŒПК ЮБУФПФЕ). уХННЙТХС РП "m У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ (7.85), РПМХЮБЕН

KM

(i!

n

; q) =

 

nF (‰p−q=2) − nF (‰p+q=2) 2d3p

:

(11.106)

 

 

i!n − ‰p−q=2 + ‰p+q=2 (2ı)3

 

 

бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ДПУФЙЗБЕФУС ЪБНЕОПК i!n ОБ ! + i0. œЩЮЙУМСС НОЙНХА ЮБУФШ Й УŒСЪЩŒБС ЕЕ УП УФТХЛФХТОЩН ЖБЛФПТПН УПЗМБУОП S(!; q) = 2 Im KR (!; q), РПМХЮБЕН ПВЭХА ЖПТНХМХ

S(!; q) = 2ı nF (‰p−q=2) − nF (‰p+q=2) ‹ ! + ‰p−q=2

− ‰p+q=2

(2ı)3 : (11.107)

 

 

2d3p

хРТПУФЙН ЙОФЕЗТБМ РП d3p Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (11.107). рХУФШ ПУШ z ОБРТБŒМЕОБ ŒДПМШ ŒЕЛФПТБ q. œŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙЕ x = cos „, ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ p Й q. фПЗДБ ЙОФЕЗТБМ (11.107) РЕТЕРЙЫЕФУС Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

S(!; q) = 2ı

 

(nF (‰−) − nF (‰+)) ‹ ! − m

 

2

(2ı)3

;

(11.108)

 

∞ 1

 

 

 

 

 

 

pqx

 

ıp2 dp dx

 

ÇÄÅ

0 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 − p02

 

q2

pqx

 

 

 

 

 

 

 

‰

±

=

+

:

 

 

 

(11.109)

 

 

 

 

2m

 

8m ±

2m

 

 

 

 

 

йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП x УŒПДЙФУС Л ЪБНЕОЕ x ОБ x0 = m!=pq. рТЙ ЬФПН УМЕДХЕФ ХЮЕУФШ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ ТБŒЕО ОХМА РТЙ |x0| > 1. фБЛЙН ПВТБЪПН, УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ ЕУФШ

 

m

∞

(nF (‰−) − nF (‰+)) pdp :

 

S(!; q) =

ıq

 

(11.110)

m|!|=q

352

змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

дП УЙИ РПТ НЩ ОЕ ДЕМБМЙ ОЙЛБЛЙИ РТЕДРПМПЦЕОЙК П ŒЕМЙЮЙОЕ ФЕНРЕТБФХТЩ. иПФС ЙОФЕЗТБМ Œ (11.110) ŒЩЮЙУМСЕФУС ЬМЕНЕОФБТОП РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ, НЩ ОБКДЕН УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ S(!; q) ФПМШЛП Œ РТЕДЕМЕ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЩ. рТЙ T = 0 ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС РТЙОЙНБЕФ ЪОБЮЕОЙС 0 Й 1. рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (11.110) НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ

 

m

∞

„(p−2 − p2) − „(p+2

− p2) pdp ;

 

S(!; q) =

ıq

 

 

(11.111)

 

 

| |

=q

 

 

 

 

m !

 

ÇÄÅ

 

p±2

= p02 − q2=4 m!

 

 

 

 

 

(11.112)

| ЛПТОЙ ХТБŒОЕОЙК ‰± = 0. тБУУНПФТЙН ДМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ УМХЮБК ! > 0. фПЗДБ p− > p+. œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ФПЗП, ЛБЛ ОЙЦОЙК РТЕДЕМ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС m!=q УППФОПУЙФУС У p+ É p−, ŒПЪНПЦОЩ ТБЪОЩЕ УМХЮБЙ:

Á) œÏ-ÐÅÒŒÙÈ, ÐÒÉ m!=q > p− ЙОФЕЗТБМ (11.111) ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОЩН ОХМА. ьФП РТПЙУИПДЙФ РТЙ

(m!=q)2 > p0 + m! − q2=4 :

(11.113)

œЩДЕМСС РПМОЩК ЛŒБДТБФ, РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙЕ ЗТБОЙГЩ ПВМБУФЙ S(!; q) > 0:

|m!=q − q=2| = p0 :

(11.114)

ьФБ ЗТБОЙГБ УПУФПЙФ ЙЪ ДŒХИ ОЕУŒСЪОЩИ ЮБУФЕК:

 

!1;2(q) = ±p0q=m + q2=2m :

(11.115)

В) œП-ŒФПТЩИ, РТЙ m!=q < p+ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ Œ (11.111) РТПЙЪŒПДЙФУС ПФ p− ÄÏ

p+, ÞÔÏ ÄÁÅÔ

=

m!

 

m

 

S = 2ıq p+2 − p−2

ıq :

(11.116)

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УРТБŒЕДМЙŒП Œ ПВМБУФЙ

 

 

 

(m!=q)2 < p0 − m! − q2=4 ;

(11.117)

Ô. Å. ÐÒÉ

 

 

 

! < !3(q) = p0q=m + q2=2m :

(11.118)

Œ) оБЛПОЕГ, ЕУМЙ p+ < m!=q < p−, ФП ЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП dp УМЕДХЕФ ПФ p = m!=q ДП p = p−. œ ЬФПН УМХЮБЕ УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ ТБŒЕО

S(!; q) =

m

p−2 − (m!=q)2 :

(11.119)

2ıq

хДПВОП РЕТЕРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒЩДЕМЙŒ РПМОЩК ЛŒБДТБФ:

S(!; q) =

m

p02 − (m!=q − q=2)2 :

(11.120)

2ıq

Смотрите также файлы