Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 751

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

362 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

Ë −p0. фБЛПЗП ТПДБ УППВТБЦЕОЙС Й УМХЦБФ ПУОПŒПК ДМС ŒЩВПТБ РТЕДУФБŒМЕОЙС (12.8) ПРЕТБФПТБ j(k) Œ ŒЙДЕ УХННЩ ĂРТБŒПЗПĄ Й ĂМЕŒПЗПĄ ПРЕТБФПТПŒ РМПФОПУФЙ (12.9), Б ФБЛЦЕ ŒУЕИ ОЙЦЕУМЕДХАЭЙИ НБОЙРХМСГЙК У j1;2(k).

тБУУНПФТЙН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ДМС ŒŒЕДЕООЩИ ПРЕТБФПТПŒ. жХТШЕ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛПНРПОЕОФЩ РПМОПК РМПФОПУФЙ j k) РТПУФП ЛПННХФЙТХАФ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( [j(k); j(k )] = 0 :

 

 

(12.10)

б ŒПФ ЛПННХФБФПТЩ j

 

k

) É

 

j

k

ОЕФТЙŒЙБМШОЩ. дМС РТЙНЕТБ ОБКДЕН

 

 

1(

 

 

2(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+

 

 

p

k

k

+

 

[j1(k); j1(k )] =

L p>0 ap−k=2ap+k +k=2„

+ 2 +

2

− ap−k −k=2ap+k=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

 

1

p

ap+−q ap+q

„

k

 

k

 

 

ׄ p −

2

− 2

= L

p + 2

− „ p − 2 ; (12.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ q = 1

(k+k ). ъБНЕФЙН, ЮФП ТБЪОПУФШ „ ЖХОЛГЙК ПЗТБОЙЮЙŒБЕФ ПВМБУФШ ЙЪНЕОЕОЙС

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

p УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: |p| < k=2. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС, РТЙ ЙОФЕТЕУХАЭЙИ ОБУ НБМЩИ |k| p0 РТБЛФЙЮЕУЛЙ ŒУЕ УПУФПСОЙС, ДБАЭЙЕ ŒЛМБД Œ УХННХ (12.11), ОБИПДСФУС ЗМХВПЛП РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. рПЬФПНХ ЕУФЕУФŒЕООЩК ЫБЗ | ЪБНЕОЙФШ Œ (12.11) РТПЙЪŒЕДЕОЙС ПРЕТБФПТПŒ a+p1 ap2 ОБ ЙИ УТЕДОЙЕ ЪОБЮЕОЙС a+p1 ap2 = 2ıLn(p1)‹(p1 − p2), ÇÄÅ n(p1) | ЖЕТНЙЕŒУЛПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ. уДЕМБŒ ФБЛХА ЪБНЕОХ, РПМХЮБЕН

[j1

(k); j1(−k )] = ‹kk

 

2p0 sign k;

|k|

> 2p0

.

(12.12)

 

 

 

k;

k

< 2p0

,

 

 

 

| |

 

 

 

бОБМПЗЙЮОП ŒЩЮЙУМСЕН ПУФБМШОЩЕ ЛПННХФБФПТЩ. лБЛ ХЦЕ ПФНЕЮБМПУШ, ОБУ ЙОФЕТЕ-

УХАФ НБМЩЕ k; k p0. рТЙ ЬФПН ХУМПŒЙЙ ОБИПДЙН

 

 

 

[j1

(k); j1

(

−

k )] = k ‹kk ;

[j2

(k); j2

( k )] =

k ‹kk ;

(12.13)

j

 

k

; j

 

k

 

:

 

 

−

−

 

(

(−

)] = 0

 

 

(12.14)

[ 1

)

2

 

 

 

 

éÚ ŒÙŒÏÄÁ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ

ŒЩТБЦЕОЙС ЕУФШ ТЕЪХМШФБФ РТЙВМЙЦЕОЙС, РТЕОЕВТЕЗБАЭЕЗП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЙЪНЕОЕОЙЕН УПУФПСОЙК ЮБУФЙГ ЗМХВПЛП РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ.

пФНЕФЙН, ЮФП Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС

(12.13), (12.14) РТЙОЙНБАФ ŒЙД

 

 

 

[jj (x); jl(x )] = ±

1

‹jl‹ (x − x ) ; (‹ (x) ≡ @x ‹(x)) ;

(12.15)

2ıi

ЗДЕ РПМПЦЙФЕМШОЩК ЪОБЛ УППФŒЕФУФŒХЕФ РТБŒЩН ЮБУФЙГБН, Б ПФТЙГБФЕМШОЩК | МЕŒЩН. уППФОПЫЕОЙЕ ФБЛПЗП ŒЙДБ ОБЪЩŒБАФ БОПНБМШОЩН ЛПННХФБФПТПН ыŒЙОЗЕТБ.

ъБНЕОБ ПРЕТБФПТПŒ Œ РТБŒПК ЮБУФЙ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ОБ УЛБМСТЩ, РПЪŒПМСАЭБС РЕТЕКФЙ ПФ (12.11) Л (12.13), (12.14), СŒМСЕФУС ГЕОФТБМШОЩН РХОЛФПН ФЕПТЙЙ фПНПОБЗЙ. иПФС ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД ФБЛПЗП ТПДБ РТЙВМЙЦЕОЙЕ НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС НБМППВПУОПŒБООЩН, ФЕН ОЕ НЕОЕЕ ВЩМП ŒЩСУОЕОП, ЮФП РТЙВМЙЦЕОЙЕ фПНПОБЗЙ

12.3. нпдемш фпнпобзй

363

Œ ФПЮОПУФЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЕИПДХ ПФ НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПЗП ПРЙУБОЙС Л ЗЙДТПДЙОБНЙЮЕУЛПНХ, Й РПЬФПНХ ОБ НБУЫФБВБИ, НОПЗП ВПМШЫЙИ УТЕДОЕЗП ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ, ПОП ŒУЕЗДБ СŒМСЕФУС ФПЮОЩН 4.

пЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН ŒЩТБЪЙФШ ПРЕТБФПТЩ РМПФОПУФЙ РТБŒЩИ Й МЕŒЩИ ЮБУФЙГ j1;2(k) ЮЕТЕЪ ВПЪЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ. оБЙВПМЕЕ ЕУФЕУФŒЕООП ŒЩВТБФШ bk É b+k У k > 0 ДМС РТБŒЩИ ЮБУФЙГ, Й У k < 0 ДМС МЕŒЩИ ЮБУФЙГ:

j1

(x) = k>0 –k L bk eikx + bk+e−ikx

;

j2

(x) = k<0 –k L bk eikx + bk+e−ikx

; (12.16)

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ –k = (2ı=|k|L)1=2. пРТЕДЕМЕОЙЕ (12.16) УПЗМБУПŒБОП У ЛПННХФБГЙПООЩНЙ УППФОПЫЕОЙСНЙ (12.13), (12.14). йУРПМШЪХС (12.13) Й (12.14) ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙСН НЕЦДХ ПРЕТБФПТБНЙ bk É b+k , РТЙЮЕН ОПТНЙТПŒЛБ Œ (12.16) ФБЛПŒБ, ЮФП [bk ; b+k ] = 2ıL‹kk .

12.3. нПДЕМШ фПНПОБЗЙ

нЩ ŒŒЕДЕН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ ОБ РТЙНЕТЕ ЪБДБЮЙ, ДМС ТЕЫЕОЙС ЛПФПТПК, УПВУФŒЕООП ЗПŒПТС, ЬФП РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ Й ВЩМП ŒРЕТŒЩЕ РТЕДМПЦЕОП. тБУУНПФТЙН ПДОПНЕТОХА УЙУФЕНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ВЕУУРЙОПŒЩИ ЖЕТНЙПОПŒ:

 

1

 

 

1 3 2+

4

 

 

 

H =

L

‰(p)ap+ap +

2L2

Vp1−p2 ap+1 ap2 ap+3 ap4 ;

(12.17)

 

 

p

 

p +p =p p

 

 

 

 

ÇÄÅ ‰(p) = (p2 − p02)=2m. ъДЕУШ Vk =

V (r)e−ikr dr | ЖПТНЖБЛФПТ РПФЕОГЙБМБ ŒЪБЙ-

НПДЕКУФŒЙС. тБУУНПФТЙН УМХЮБК,

ЛПЗДБ ТБДЙХУ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС r

 

НОПЗП ВПМШЫЕ p−1.

 

 

 

0

 

0

рТЙ ЬФПН ЖПТНЖБЛФПТ Vk ЛБЛ ЖХОЛГЙС k ВЩУФТП УРБДБЕФ РТЙ k ≈ r0−1 p0. лБЛ ŒУЕЗДБ, ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ФПМШЛП УПУФПСОЙС ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ, Ф. Е. РТЙ pi ≈ ±p0.

мЕЗЛП ŒЙДЕФШ, ЮФП РТЙ ЬФЙИ ХУМПŒЙСИ ŒУЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УŒПДСФУС Л ДŒХН УХЭЕУФŒЕООП ТБЪМЙЮОЩН РТПГЕУУБН ТБУУЕСОЙС, РТЙ ЛПФПТЩИ ДŒЕ ЮБУФЙГЩ, ТБУУЕЙŒБАЭЙЕУС ДТХЗ ОБ ДТХЗЕ, ДŒЙЦХФУС Œ ПДОХ УФПТПОХ ЙМЙ ОБŒУФТЕЮХ ДТХЗ ДТХЗХ. рПЬФПНХ ДПУФБФПЮОП ТБУУНПФТЕФШ ФБЛЙЕ ЛПНВЙОБГЙЙ ЙНРХМШУПŒ:

(1)p1 ≈ p0, p2 ≈ p0, p3 ≈ p0, p4 ≈ p0;

(2)p1 ≈ p0, p2 ≈ p0, p3 ≈ −p0, p4 ≈ −p0

(Й, ЛПОЕЮОП, ПФМЙЮБАЭЙЕУС ЪОБЛПН ŒУЕИ ЙНРХМШУПŒ Й/ЙМЙ РЕТЕУФБОПŒЛПК ЮБУФЙГ). œŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙС:

g1(k) ≡ Vk ; g2(k) ≡ V2p0+k ;

(12.18)

РТЙЮЕН ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП k p0. бНРМЙФХДБ g1(k) ПРЙУЩŒБЕФ РТПГЕУУ ТБУУЕСОЙС ЮБУФЙГ, ОБИПДСЭЙИУС У ПДОПК Й ФПК ЦЕ УФПТПОЩ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ (ТБУУЕСОЙЕ ŒРЕТЕД), Б g2(k) | РЕТЕВТПУ ДŒХИ ЮБУФЙГ У ПДОПК УФПТПОЩ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ ОБ ДТХЗХА ОБŒУФТЕЮХ ДТХЗ ДТХЗХ (ТБУУЕСОЙЕ ОБЪБД).

4рПДТПВОПЕ ПВУХЦДЕОЙЕ ЬФЙИ ŒПРТПУПŒ НПЦОП ОБКФЙ Œ ТБВПФЕ: F. D. M. Haldane, J. Phys. C, v. 14, p. 2585 (1981)

364 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

ъБРЙЫЕН ЗБНЙМШФПОЙБО, СŒОП ŒЩДЕМСС НБМЩЕ ЙНРХМШУЩ k1; k2; q:

ÇÄÅ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

= H0

+ H1

+ H2 ;

H0 = L k p0 ‰(p0 + k) ap+0+k ap0+k + a−+p0−k a−p0−k ;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1 =

2L2 k1; k2; q g1(q) ap+0+k1+q=2 ap0+k1−q=2 ap+0+k2−q=2 ap0+k2+q=2 +

 

=

1

k1; 2

 

 

+ (p0 → −p0) ;

L2

 

 

 

H2

 

k

g2(q) ap+0+k1+q=2 ap0+k1−q=2 a−+p0+k2−q=2 a−p0+k2+q=2 :

 

 

 

 

; q

 

 

 

(12.19)

(12.20)

(12.21)

(12.22)

рПУФБТБЕНУС ФЕРЕТШ ŒЩТБЪЙФШ ЗБНЙМШФПОЙБО ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ j1;2(k). дМС ЬФПЗП

ЪБНЕФЙН, ЮФП УХННЙТПŒБОЙЕ РП k

1

É k

2

Œ

H1

É H2 УŒПДЙФУС Л

УХННЙТПŒБОЙА РП p Œ

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

É

 

НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ ФБЛ:

(12.9). у ХЮЕФПН ЬФПЗП ПВУФПСФЕМШУФŒБ H1 H2

 

(q) j2(−q)

;

 

 

 

H1 =

2 q

g1

(q)

j1(q) j1(−q) + j2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

(−q) :

 

 

 

(12.23)

 

 

 

H2

q

g2(q) j1

(q) j2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС H1 + H2, ЗБНЙМШФПОЙБО H0 ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБ-

УФЙГ ОЕ ХДБЕФУС УФПМШ ЦЕ

РТПУФП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ j

(k), РПУЛПМШЛХ Œ ОЕН РТЙУХФ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;2

 

 

 

УФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ

‰

(

p

0 +

k

 

 

 

 

НЕОЕЕ, ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЕУМЙ ЪБНЕОЙФШ ЛŒБДТБ-

 

 

 

). ôÅÍ ÎÅ

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

ФЙЮОЩК УРЕЛФТ ЖЕТНЙПОПŒ ‰(p) = (p

 

− p0)=2m ОБ МЙОЕКОЩК ‰(p) = v(|p| − p0), ÔÏ

Й ЗБНЙМШФПОЙБО H0 НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ ПРЕТБФПТБ ЛŒБДТБФЙЮОПЗП РП j1;2(k). нПДЕМШ ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, РПМХЮБАЭБСУС ФБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЪЩŒБЕФУС НПДЕМША фПНПОБЗЙ{мБФФЙОЦЕТБ.

юФПВЩ ХЗБДБФШ, ЛБЛ H0 ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ j1(k) É j2(k), РТЙНЕОЙН ОЕВПМШЫХА

 

ЮФП ПФŒЕФ ЪБРЙУЩŒБЕФУС Œ ŒЙДЕ

 

ИЙФТПУФШ. рТЕДРПМПЦЙН,

 

j1

 

 

 

 

H0

=

¸k

(k) j1

(−k) + j2

(k) j2(−k)

(12.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

k

ÉОБКДЕН ЛПННХФБФПТ j1(k); H0 . у ПДОПК УФПТПОЩ, УПЗМБУОП (12.13),

j1

(k); H0

 

=

k

¸k [j1

(k); j1

(k ) j1(−k ) ] =

ı

¸k j1(k) :

(12.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ОБКДЕН ЬФПФ ЦЕ ЛПННХФБФПТ РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН (ĂРП-

ЮЕУФОПНХĄ):

=

L2 p>0

 

v (p − p0) ap+−k=2 ap+k=2 ; ap+ ap =

j1

(k); H0

p

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

12.3. нпдемш фпнпобзй

365

= L2 p>0 p

v (p − p0) ap+−k=2 ap+k=2 ; ap+ ap + ap+−k=2 ; ap+ ap ap+k=2

 

1

 

 

 

 

 

=

2ı

 

v (p − p0) ap+−k=2 ap ‹p+k=2−p − ap+ ap+k=2 ‹p−k=2−p =

 

L p>0 p

 

 

 

= vk

 

a+

 

 

 

 

 

ap+k=2 = vkj1(k) :

 

 

 

L

p>0

p−k=2

 

 

 

 

 

 

 

уТБŒОЙŒБС (12.25) Й (12.26), ОБИПДЙН, ЮФП ¸k = ıv. фБЛЙН ПВТБЪПН РПМХЮБЕН

H0 = ıv [j1(k) j1(−k) + j2(k) j2(−k)] :

k

=

(12.26)

(12.27)

йФБЛ, ДМЙООПŒПМОПŒБС ДЙОБНЙЛБ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ДПРХУЛБЕФ ПРЙУБОЙЕ Œ ФЕТНЙОБИ ŒПМО РМПФОПУФЙ Œ ЗБЪЕ ЖЕТНЙПОПŒ. пФНЕФЙН, ЮФП ŒНЕУФП ŒЕМЙЮЙО j1(k) É j2(k) ЙОПЗДБ

 

 

 

 

(k) É j

 

(k)

 

ВЩŒБЕФ ХДПВОЕЕ РПМШЪПŒБФШУС ЙИ ЛПНВЙОБГЙСНЙ j(k) = j1

(k) + j2

(k) = j1

−

j2(k), ЛПФПТЩЕ ЕУФШ РТПУФП РМПФОПУФШ Й ФПЛ ЮБУФЙГ.

 

 

 

 

 

 

фЕРЕТШ НПЦОП ЪБОСФШУС ЪБДБЮЕК П УРЕЛФТЕ ŒПЪВХЦДЕОЙК ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ

У ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН. œУЕ ЮМЕОЩ Œ РТЕПВТБЪПŒБООПН ЗБНЙМШФПОЙБОЕ ПЛБЪЩŒБАФУС ЛŒБ-

ДТБФЙЮОЩНЙ РП j

 

k

 

j

 

k

j

 

k

 

 

 

b+

b

 

(12.16), ОБИПДЙН 1;2

(

 

). œЩТБЦБС

1

(

 

) É 2

(

 

) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ

k ,

k

РП ЖПТНХМБН

H =

2ıL k>0

2ıkv + kg1(k) bk+bk + b−+k b−k + kg2(k) bk+b−+k + bk b−k : (12.28)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рЕТЕИПДЙН Л ЛŒБЪЙЮБУФЙГБН, ŒЩРПМОСС РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ вПЗПМАВПŒБ,

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

+

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bk

= ch „k bk + sh „k b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~+

=

 

+

 

−k

 

 

 

(12.29)

 

 

 

 

 

 

b−k

ch „k b−k

+ sh „k bk ;

 

 

Й РПДВЙТБС РБТБНЕФТ РТЕПВТБЪПŒБОЙС „k ФБЛ, ЮФПВЩ ЗБНЙМШФПОЙБО УФБМ ДЙБЗПОБМШОЩН:

 

 

 

th 2„k = g2(k)=(g1(k) + 2ıv) :

 

(12.30)

рПМХЮБЕН ЗБНЙМШФПОЙБО Й УРЕЛФТ ŒПЪВХЦДЕОЙК ЛŒБЪЙЮБУФЙГ:

 

 

H =

L

k

!(k) ~bk+~bk ; !(k) = |2ı| (2ıv + g1(k))2 − g22(k)

:

(12.31)

 

1

 

k

1=2

 

 

 

 

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ РПЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ЛŒБЪЙЮБУФЙГБНЙ Œ НПДЕМЙ фПНПОБЗЙ{ мБФФЙОЦЕТБ СŒМСАФУС ОЕ ЖЕТНЙПОЩ, Б ВПЪПОЩ УП УРЕЛФТПН (12.31). рЕТЕУФТПКЛБ УРЕЛФТБ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК РТПЙУИПДЙФ ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ŒВМЙЪЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ УЙМШОПЕ, Й РПЬФПНХ ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЖЕТНЙПОПŒ ПЛБЪЩŒБЕФУС УМЙЫЛПН НБМЩН. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП Œ ПДОПН ЙЪНЕТЕОЙЙ ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ОЕРТЙНЕОЙНБ.

нПДЕМШ фПНПОБЗЙ{мБФФЙОЦЕТБ ОЕФТХДОП ПВПВЭЙФШ ОБ ЮБУФЙГЩ УП УРЙОПН, ЮФП РТЙŒПДЙФ Л ВПЪПОЙЪПŒБООПК ЪБДБЮЕ, Œ ЛПФПТПК ЙНЕАФУС ПРЕТБФПТЩ ЛБЛ РМПФОПУФЙ

j (x),

366 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

ЪБТСДБ, ФБЛ Й РМПФОПУФЙ УРЙОБ, РТЙЮЕН ЗБНЙМШФПОЙБО ПУФБЕФУС ЛŒБДТБФЙЮОЩН. л УПЦБМЕОЙА, ДЕФБМШОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ŒУЕИ УŒСЪБООЩИ У ЬФЙН ŒПРТПУПŒ ХŒЕМП ВЩ ОБУ УМЙЫЛПН ДБМЕЛП. рПЬФПНХ ПЗТБОЙЮЙНУС УУЩМЛПК ОБ ЛОЙЗХ [7], ЗМ. 4, Б ФБЛЦЕ ОБ ПТЙЗЙОБМШОЩЕ ТБВПФЩ 5.

12.4. пФ ВПЪПОПŒ Л ЖЕТНЙПОБН

œБЦОХА ТПМШ Œ ФЕПТЙЙ МБФФЙОЦЕТПŒУЛПК ЦЙДЛПУФЙ ЙЗТБЕФ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ, РПЪŒПМСАЭЕЕ ŒЩТБЪЙФШ ЖЕТНЙПООЩЕ ПРЕТБФПТЩ ЮЕТЕЪ ВПЪПООЩЕ (!) Й РПМХЮЙФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ.

рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙПООЩИ ПРЕТБФПТПŒ НПЦОП ОБКФЙ, ТБУУНБФТЙŒБС ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС. рПУЛПМШЛХ ЗБНЙМШФПОЙБО ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФПМШЛП ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ РМПФОПУФЙ (12.16), ДПУФБФПЮОП РПУФТПЙФШ ЙЪ ОЙИ ФБЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ j+(x), ЮФПВЩ ŒЩРПМОСМЙУШ УФБОДБТФОЩЕ УППФОПЫЕОЙС

[ j (x); l(x )]+ = [ j+(x); l+(x )]+ = 0 ;

 

[ j+(x); l(x )]+ = ‹jl ‹(x − x )

(12.32)

(j; l = 1; 2). пЛБЪЩŒБЕФУС, УППФОПЫЕОЙС (12.32) НПЦОП РПМХЮЙФШ, ŒЩВТБŒ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙПООЩИ ПРЕТБФПТПŒ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

j (x) = Aj e

x

 

;

j

(x) = Aj e−

;

(12.33)

i’j (x)

 

+

i’j (x)

 

 

’j (x) = 2ı

 

jj (x )dx ;

 

(12.34)

 

−∞

 

 

 

 

ЗДЕ ЛПОУФБОФЩ Aj , ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ХМШФТБЖЙПМЕФПŒПК ПВТЕЪЛЙ ЙОФЕЗТБМБ (12.34), ВХДХФ ПРТЕДЕМЕОЩ РПЪЦЕ. œЩТБЦЕОЙС (12.33) РП ЖПТНЕ ОБРПНЙОБАФ УФТХОХ, ŒПЪОЙЛБАЭХА Œ РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ (УН. ТБЪД. 1.4). иПФС ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД ŒЩТБЦЕОЙС (12.33), (12.34) ŒЩЗМСДСФ ОЕУЛПМШЛП ФБЙОУФŒЕООП, НПЦОП ХВЕДЙФШУС РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН, ЮФП ПОЙ РТЙŒПДСФ Л БОФЙЛПННХФЙТХАЭЙН ЖЕТНЙЕŒУЛЙН ПРЕТБФПТБН.

рТПŒЕТЙН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС (12.32) НЕЦДХ 1+;2(x) É 1;2(x ). œПУРПМШЪХЕНУС ДМС ЬФПЗП ЙЪŒЕУФОЩН ФПЦДЕУФŒПН вЕКЛЕТБ{иБХУДПТЖБ,

 

 

 

 

eU eV = eU +V +[U;V ]=2 ;

 

 

 

 

 

(12.35)

ŒЕТОЩН, ЕУМЙ [U; V ] ЛПННХФЙТХЕФ ЛБЛ У U , ФБЛ Й У V . рМБО ŒЩЮЙУМЕОЙС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

ФПН, ЮФПВЩ У РПНПЭША (12.35) РТЕПВТБЪПŒБФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙС

 

j+(x)

l (x ) É

j (x)

l+(x )

Л ФБЛПНХ ŒЙДХ, Œ ЛПФПТПН УЙОЗХМСТОПУФШ РТЙ x x ŒЩДЕМЕОБ СŒОЩН ПВТБЪПН.

 

ъБРЙЫЕН ПРЕТБФПТЩ ЖБЪЩ, УФПСЭЙЕ Œ РПЛБЪБФЕМЕ ЬЛУРПОЕОФ (12.33), ЮЕТЕЪ ВПЪПО-

ОЩЕ ПРЕТБФПТЩ:

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’1(x) = 2ı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

j1(x )dx = i k>0

–k [bk+e−ikx − bk eikx]e−a|k|=2 ;

(12.36)

 

 

 

’2(x) = 2ı

−∞

j2

(x )dx = −i k<0

–k [bk e−

 

− bk e ]e− | | ;

(12.37)

 

 

 

 

 

+

ikx

 

 

ikx

a k =2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

5

A. Luther and V. J. Emery,

Phys. Rev. Lett., v. 33, p. 589 (1974); A.

Luther and I. Peschel, Phys.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rev. B, v. 9, p. 2911 (1974).

Смотрите также файлы