Файл: Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем Часть 1 (2006).pdf

Термодинамика открытых систем

следовательно, справедливо для любой ее части, какой бы малой она не была. Возникают, тем не менее, следующие вопросы. Как доказать справедливость уравнения теплопроводности в рамках термодинамики неравновесных процессов, и тем самым в рамках закона сохранения энергии (1.11)? Как ведут себя для процессов теплопроводности в условиях неравновесия термодинамические потенциалы, введенные в свое время Гиббсом? Как отойти от термодинамических неравенств к тождествам для конкретного процесса теплопроводности? Как связано поведение температуры в каждом конкретном случае теплопроводящей среды со вторым законом термодинамики? Может ли быть сформулирована теорема Пригожина для параболического уравнения теплопроводности? Можно ли найти аналог функции Релея для процесса теплопроводности и может ли быть сформулирован некоторый вариационный принцип, которому соответствует уравнение теплопроводности с источниками тепла?

Существование баланса “источников и стоков” различных координат позволяет приблизиться к решению проблемы термодинамических неравенств, обосновав сохранение термодинамического тождества при переходе к необратимым процессам, а вслед за тем - получить полезные термодинамические выражения для скоростей изменения свободной энергии, энтропии и их вторых производных.

3.1.Термодинамическое обоснование параболического уравнения теплопроводности

При выводе уравнения (3.1), точнее, его одномерного аналога, будем исходить из закона сохранения энергии для единицы объема для неравновесных систем с источником (1.11), которое представим при V=const в виде [23]:

59

Термодинамика открытых систем

В уравнении (3.2) T0σe − функция источников, [F]=Дж/м3,

[σe]=Вт/м3K. После дифференцирования по времени (3.2), получаем с учетом общепринятых обозначений теплового потока [18] в направлении оси x

дифференциальное уравнение сохранения энергии в случае фиксированных потоков

При записи (3.2) и (3.3) предполагалось, что температура T0 является средней температурой в определении градиента температуры; для нее и определен коэффициент теплопроводности

•

λ. После деления правой и левой частей (3.4) на S в предположении, что

•

( S/∆tS) <<1

получаем из (3.4) уравнение

в котором мы пренебреги членом со второй производной температуры по времени. Из него и следует уравнение теплопроводности (3.1) по координате x, если в этом уравнении источник тепла определить в явном виде:

или

60

Термодинамика открытых систем

W =T02 ∂∂σTe V .

В случае независимости источника от температуры из последнего выражения после интегрирования получаем равенство, связывающее введенное выше обозначение внешних потоков и источников тепла

σe = W .

T0

•

Для источников тепла составляющая W = δq/ T0 – положительна, для стоков отрицательна. Таким образом, в общем случае

источников и стоков имеем σe<>0 .

3.2. Термодинамика процессов переноса тепла

Знание пространственно распределенной температуры, которая находится из решения уравнения теплопроводности (3.1), позволяет вычислить скорость изменения энтропии, свободной энергии, производство энтропии, функцию Релея, которые также зависят от координат и времени. В некоторых задачах, особенно связанными с химическими превращениями, стоками и источниками тепла эти характеристики необходимо знать. Следует отметить, что дифференцированием по времени можно определить также требуемые характеристики вплоть до вторых производных.

1. Скорость изменения энтропии. Скорость изменения энтропии для параболического уравнения теплопроводности

(3.1) равна

•

[ S ]=Дж/м3Kc. При этом производство энтропии является знакоположительной функцией. Функция источников в такой задаче также знакоопределена – она знакоположительна. Здесь темпе-

61

Термодинамика открытых систем ратура и скорость изменения энтропии в трехмерной задаче яв-

следует из (3.5), растет. Если имеются не источники тепла, а стоки, то возможны случаи когда энтропия уменьшается в соответствии с уравнением:

Дифференцирование по времени уравнения (3.5) позволяет определить вторую производную энтропии по времени.

Второй закон термодинамики применительно к уравнению теплопроводности (3.1) выражается неравенством для производства энтропии

σi = J q X q = Tλ02 ( T )2 ≥ 0 .

Выражение (3.5) может быть представлено в виде

•

dS = δq + λ ( T )2 , dt T0 T02

отсюда и следует, что приращение энтропии при теплопроводности больше, чем при равновесном на величину производства энтропии σi ≥ 0 :

Это и позволяет подтвердить в данной конкретной задаче теплопереноса основное содержание классической термодинамики как

следствия теории при пренебрежимо малой диссипации σi →0 . Классическая термодинамика не в состоянии оценить погрешность последнего неравенства. Отсюда в классической термодинамике и возникает проблема термодинамических неравенств, которая как это видно, из данного примера, а в целом из таблицы 2, успешно может быть решена.

62

Термодинамика открытых систем

2. Скорость изменения свободной энергии. Скорость изменения свободной энергии для локального объема при существующем градиенте температуры для уравнения теплопроводности равна

здесь температура в трехмерной задаче является функцией времени и координат T =T( x, y,z,t ) , от координат также зависит

• •

скорость изменение свободной энергииF = F( x, y,z,t ) .

3.Теорема Пригожина. Производство энтропии

σi = Jq Xq = Tλ02 ( T )2

при постоянной мощности теплового источника (W = const ) стремится убывать

принимая минимальное положительное значение в стационарном состоянии в соответствии с уравнением

[σi]=Вт/м3K. В стационарном состоянии, например, при W=0 имеют место равенства

4. Функция Релея (мера рассеивания полной энергии).

При теплопроводности для уравнения (1.21)

63

Здесь Λe термодинамический потенциал внутренних источников

циал (свободная энергия) неравновесного состояния.

4. Вариационный принцип. Несложно показать, что уравнение (3.8), на котором по сути и основан вывод уравнения теплопроводности, тождественно некоторому термодинамическому вариационному принципу

δ Λ• + 2Φ Jq = 0 .

определите скорость изменения энтропии и производство энтропии, скорость изменения свободной энергии, функцию Релея. Найдите также вторые производные указанных термодинамических параметров, а также запишите вариационный принцип для этого уравнения.

64