Файл: Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем Часть 1 (2006).pdf

Термодинамика открытых систем

ния для линейных процессов, при котором α / β = X e / X i . Уве-

личение Xe в частной задаче β>0 приводит в (2.1) к возрастанию скорости изменения внутренней переменной Xi. Отметим при этом, что выбор потоков и сил произволен, но он должен быть совместим с условием положительности производства энтропии (1.14). Отметим, что такой подход не исключает другого случая, а именно β<0, когда увеличение внешней силы уменьшает скорость изменения Xi.

Представим уравнение (2.1) в виде

где ϕ − некоторая константа. Скорость изменения энтропии открытой системы при этом будет равна

G = dSdt = −Je X e + Ji X i + σ

Учтем в G(t) величину потерь σ, которая также является составной частью производства энтропии и зависит от степени сопряжения внешних и внутренних потоков, введением некоторого коэффициента χ≥1:

σ = ( χ −1)Ji X i ,

при χ=1 σ=0; χ=0 σ=−JiXi, тогда выражение для G будет более

Преимущество уравнения (2.2) перед уравнением (2.1) очевидно: динамика внутренней термодинамической силы, порождаемая внешним воздействием, определяется градиентом скорости изменения энтропии с точностью до постоянных ϕ, χ. Учитывая уравнения Онзагера (1.10) несложно показать, что

G = -Lee X e2 − Lei X e X i + χ( Lie X e X i + Lii X i2 ) ,

∂∂G =( −Lei + χLie )X e + 2χLii X i .

X i

Равенства

41

Термодинамика открытых систем

α = 2χLii > 0 , β = −( χLie − Lei ) >0

являются условиями совместности уравнений (2.1) и (2.2). Отсюда следует справедливость уравнения (2.2) для линейных неравновесных процессов. Физический смысл параметра χ будет ус-

тановлен ниже.

Динамика нелинейных систем. Следуя идее Дьярмати

[16] и ее практической реализации, приводимой в [11], представим коэффициент Онзагера для нелинейных процессов в виде полинома:

Lii ( X i ) = k1 − k2 X i + k3 X i2 ;

здесь k1 = L0ii − коэффициент Онзагера для линейных процес-

сов. Таким образом, уравнение (2.2) принимает форму нелинейного однородного ДУ

здесь внешняя переменная Xe задана как параметр − этим самым предполагается более медленный характер ее изменения, чем внутренней переменной Xi. Параметрами уравнения являются

также все величины kϑ , где ϑ=1,2,3. Для упрощения записи для последующих выкладок введем некоторые переобозначения:

Термодинамика открытых систем

изменения энтропии системы. Согласно (2.6) градиент скорости изменения энтропии по внутренней термодинамической силе определяет с точностью до знака скорость изменения этой силы. Отметим, что за счет перехода к новой переменной η и новым управляющим параметрам a* и b* в правой части канонического (2.5) исчезает квадратичный член. Именно такие уравнения в канонической форме изучаются в теории катастроф и нелинейной динамике [17, 18]. Потенциальная функция G* может принимать отрицательные значения, что соответствует процессам самоорганизации, или положительные значения. В первом случае энтропия системы уменьшается, во втором – увеличивается.

Приведение уравнения (2.4) к каноническому виду.

Умножим левую и правую части уравнения (1.25) на (2χ k3 xc3 )−1. Введем следующие приведенные (относительные) величины:

здесь масштабные величины с нижним индексом “c” относятся к некоторой особой (критической) точке системы, для времени также введен масштаб времени t0. Уравнение (1.23) может быть представлено в виде:

Отметим, что кубическое уравнение ax*3+bx*2+cx*+d=0 приводится к уравнению η3+a*η+b*=0 при выполнении следующего условия:

Это преобразование дополним понятием критической (трижды вырожденной) точки, в которой a*=b*=η=0, x*= x*0 = H* =1 .

43

Термодинамика открытых систем

Несложно доказать, что уравнение (2.4) переходит в уравнение (2.5), в котором новая переменная η и управляющие параметры равны

η= x* − x*0 , a* = −3( x*02 −1), b* = −H * + 3x*0 − 2x*03 .

Переменная η, характеризующая отклонение изучаемой характеристики от среднего значения, является параметром порядка. Основная идея нелинейной динамики состоит в том, что многие сложные системы могут быть просто описаны с помощью небольшого числа переменных – параметров порядка [37].Психологи утверждают, что человек может активно взаимодействовать не более чем с 7-9 людьми, контролировать не более 5-7 параметров при управлении системами. Это говорит о числе параметров порядка. Далее мы увидим, что число реальных параметров для открытых термодинамических систем может быть больше, чем в выше записанной модели.

2.2. Элементы теории катастроф. Катастрофа сборки в описании неравновесных нелинейных процессов в открытых системах

Элементарная теория катастроф [3, 17] в качестве одного из приближений, при которых она получена, содержит k управляющих параметров катастрофы с ростком Fk+2, независимых от времени t. В данной работе рассматриваются динамические особенности элементарных катастроф, связанные со хаотической динамикой переменных, которые возникают в описании нелинейных задач с последействием, когда условие независимости от времени на силовую характеристику, задаваемую в правой части динамического уравнения, снято. Катастрофа сборки описывается дифференциальным уравнением [17]:

dx = − ∂F( x,a,b ) , dt ∂x

где

F( x,a,b ) = 14 x4 + 12 ax2 + bx ,

44

Термодинамика открытых систем

или уравнением (2.6).

Лист состояний и лист управляющих параметров катастрофы сборки. Графическое изображение катастрофы.

Рисунок 2.1 дает наглядное изображение катастрофы сборки, которая состоит из двух листов: листа состояний и листа управляющих параметров. Лист состояний описывается кубическим

уравнением x3 + ax +b = 0 , т.е. соответствует равновесным решениям, число которых в области действительных чисел будет определяться управляющими параметрами a, b.

Как определяется устойчивость состояний? Локаль-

ная или глобальная устойчивость текущего состояния системы определяется видом потенциальной функции F. На рис.2.2а,б представлены частные случаи исследования устойчивости текущих состояний. Для локально устойчивых состояний второй минимум выражен слабо. Это соответствует метастабильному состоянию.

Вырожденные точки. Для катастрофы сборки вводятся следующие особые (в математическом отношении) точки.

ки расположенные по линиям LC, BC (решения, соответствующие двум экстремумам потенциальной функции становятся равными).

(решения, соответствующие трем экстремумам потенциальной функции становятся равными и равны 0).

Сепаратриса. Решение двух совместных алгебраических уравнений

x3 + ax + b = 0 ,

45

Термодинамика открытых систем Последнее означает, что при описании фазовых переходов в рам-

стремится к бесконечности при x0→0 (a→0) и обеспечивает согласно теории неравновесных фазовых переходов [18] существование макроскопических состояний, отвечающих неполному равновесию описываемой системы при заданных неравновесных значениях x.

Рис. 2.2. а) Вид потенциальной функции на линии равновесия NC; 1− при a>0 (выше критической точки система всегда устойчива, но у нее не может быть развития ); 2, 3 – ниже критической точки (двухфазное состояние с одинаковой устойчивостью обеих фаз); б)вид потенциальной функции на сепаратрисе; 2- глобальная устойчивость второй фазы; 1 – глобальная устойчивость первой фазы.

Фазовые переходы. Каждая точка равновесия А или B характеризуется своей структурой. Переход из состояния A в состояние B (или наоборот) является фазовым переходом первого рода. При фазовых переходах I рода x меняется скачком и

47

Термодинамика открытых систем

имеет место гистерезис.

Переход через точку С по линии равновесия является аналогом фазового перехода второго рода. При фазовых переходах II рода x меняется непрерывным образом и гистерезис отсутствует.

Влияние внешнего поля. Для бифуркационного уравнения, описывающего катастрофу сборки управляющий параметр в правой части уравнения есть b=−fe+fi, где fe − “силовая” стационарная характеристика внешнего поля, fi − “силовая” характеристика стационарного внутреннего самосогласованного поля.

Восприимчивость. Восприимчивость χ(x,a) для равно-

весного состояния системы, описываемого уравнением x3 +ax +b=0, или

характеризует изменение параметра порядка при изменении внешнего поля fe:

Деформация потенциальной функции. Под деформа-

цией потенциальной функции будем понимать последовательные изменения вида потенциальной функции: переход от кривой 1 к кривой 2 (рис.2.2б) и наоборот. Эта деформация осуществляется за счет включения внешнего поля, т.е. за счет изменения управляющего параметра b при a<0.

Флуктуации. При наличии флуктуаций нелинейная система описывается вероятностной функцией распределения g, которая связана с потенциальной функцией системы F посредством уравнения Фоккера-Планка [17]

∂∂tg = (g F )+ 2 (Dg).

Правая часть уравнения состоит из двух членов – “дрейфа” и “диффузии”. Дрейф (g F ) заставляет функцию распределения двигаться по направлению к ближайшему локальному минимуму потенциальной функции. Роль диффузии 2 (Dg) двояка: она

описывает (1) размах функции распределения, которая концен48