Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 829

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

356 ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

шенно конкретной простейшей системе1). Такого соответствия нет для систем из второго подкласса —каждой из них эквивалентно бесчисленное множество простейших систем —эквивалентных между собой пар.

Главный момент любой

системы из второго подкласса

(в том

числе

и главный

момент

пары)

не зависит от выбора полюса,

так как у таких

систем

по определению /?= 0. Легко

видеть,

 

 

 

что главный момент пары направлен

 

 

 

перпендикулярно плоскости, в кото-

 

 

 

рой лежат

векторы

пары, и равен

 

 

 

произведению

величины

одного из

 

 

 

них

на р— расстояние между век-

 

 

 

торами пары. Это расстояние назы-

 

 

 

вают

плечом пары

(рис. П.20), а

 

 

 

главный момент пары называют прос-

 

 

 

то моментом пары. Момент пары не

 

 

 

меняется, если

либо

переносить па-

 

 

 

ру, не меняя ее, в плоскости ее

 

Рис. П.20.

 

действия,

либо

при таком переносе

 

 

 

изменять

векторы

пары

и

плечо

так,

чтобы их произведение не менялось,

либо, наконец, если

таким

же образом

переносить пару в параллельную

плоскость.

Этими тремя преобразованиями можно построить бесчисленное количество пар, эквивалентных заданной паре. Значит, и каждой системе из второго подкласса эквивалентна любая из бесчисленного числа различных пар, эквивалентных между собой.

Обратимся к системам из первого подкласса. Изприведенных выше рассуждений следует, что у винта можно заменить входящую в его состав пару любой эквивалентной ей, сохраняя при этом эквивалентность полученного винта исходному винту. В этом смысле каждая система из первого подкласса эквивалентна бесчисленному количеству винтов, эквивалентных между собой иотличающихся только парами.

Исследуем, наконец, системы изчетвертого подкласса. Системы из этого подкласса, эквивалентные векторному нулю, называются уравновешенными. Условия того, чтосистема скользящих векторов принадлежит четвертому подклассу

Д = 0, Мо= 0

(8)

(точка О произвольна), называются условиямиравновесия системы скользящих векторов.

х) Обратное утверждение неверно. Различные системы из третьего подкласса, имеющие одинаковый главный вектор, эквивалентны одной и той же простейшей системе; разумеется, такие системы эквивалентны одна другой.

i 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

357

Рассматривая эти два условия в проекциях на оси координат, получаем следующие необходимые и достаточные условия равновесия системы скользящих векторов:

 

1=1

< = 1

1=1

 

 

 

m« (/*•,)-<>,

где Мд, JMJ, И Mt

(соответственно mxt

mg, m,) —главные моменты

системы

(соответственно моменты отдельных ее векторов) относи-

тельно осей х, у и г. Таким образом, в общем случае независимо

от числа

векторов,

входящих в систему, существует шесть ска-

лярных равенств — условий равновесия. Для систем скользящих векторов какого-либо специального вида может оказаться, что условий равновесия меньше шести, так как при надлежащем выборе системы координат у таких систем некоторые из условий (8') обращаются в тождества1).

Рассмотрим теперь подробнее некоторые частные виды систем скользящих векторов, которые часто встречаются в задачах меха-

ники.

 

 

 

 

 

 

1. П у ч о к

с к о л ь з я щ и х в е к т о р о в .

Выберем

полюс О

в точке

пересечения

линий действия векторов пучка. Ясно, что

Мо — 0,

и поэтому

пучок может являться лишь системой из

третьего

(если

ИфО) или четвертого

(если

/? = 0)

подкласса

(см..табл. IV). Поэтому пучок либо сводится к равнодействую-

щему вектору,

либо уравновешен.

 

 

 

Если

ИфО,

то

равнодействующий

вектор Ф существует; он

совпадает с вектором /?, если линия действия R проведена через О.

Условия

равновесия сводятся к равенству /? = 0 или—в скаляр-

ной форме —к трем

равенствам

 

 

 

 

23^ = 0,

£л„ =0,

if,,

=0.

(9)

 

i-\

 

1=1

(=1

 

 

Условия УИо = 0 в

(8), а значит, и соответствующие три условия

в (8') сводятся

в

этом случае к тождествам вида 0 = 0.

 

2. П л о с к а я

система

с к о л ь з я щ и х

в е к т о р о в . В этом

случае вектор

Мо перпендикулярен плоскости, в которой

лежат

*) А при ином выборе системы координат у таких систем условия (8) не будут независимыми.

158

 

ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВСКТОРОВ

 

 

векторы, a R лежит

в ней (рис. П.21). Следовательно,

R, если

он отличен от нуля, перпендикулярен Мо, т. е. ^

= 0.

 

 

Поэтому

плоская

система

скользящих

векторов

заведомо не

может

принадлежать

первому

подклассу. Если у такой системы

ЯФО,

то она принадлежит

третьему

подклассу,

т. е. сводится

к равнодействующему

вектору. Он лежит в этой же плоскости,

 

 

 

 

 

по величине и направлению совпа-

 

 

 

 

 

дает

с

R, а для

определения

его

 

 

 

 

 

линии

действия

достаточно

опреде-

 

 

 

 

 

лить какую-либо точку О плоскости,

 

 

 

 

 

для

которой

 

 

Мо = 0,

и

провести

 

 

 

 

 

через нее прямую, параллельную на-

 

 

 

 

 

правлению R. Такая прямая заведо-

 

 

 

 

 

мо является

 

центральной осью, ибо

 

 

 

 

 

в ее точках

М

о = 0;

во всех иных

 

 

 

 

 

точках

МофО (в силу теоремы 1).

 

 

 

 

 

 

Если у плоской системы векто-

 

 

 

 

 

ров

# = 0, но относительно произ-

 

 

Рис.П.21.

 

вольно

выбранной

точки

МофО,

 

 

 

 

 

то система эта принадлежит вто-

рому

 

подклассу

и

эквивалентна

любой

паре

с

моментом

МоНаконец, плоская система

уравновешена, если

R = 0 и

Мо = 0, т. е. выполнены условия

(8). Равенства

(8') в этом слу-

чае

не независимы.

Действительно,

расположим

оси

х

и у

в плоскости

векторов

(рис. П.21). Тогда

при любом

расположе-

нии

векторов

условия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

и

J ]mu

(F,)=0

 

 

 

 

i = 1

 

i = 1

 

 

 

i

= 1

 

 

 

 

 

выполняются тождественно, и вместо шести

равенств (8') в каче-

стве

условия

равновесия получаем три равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

i-=\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Система

п а р а л л е л ь н ы х

с к о л ь з я щ и х

векто -

ров. Рассмотрим систему скользящих векторов, у которых линии действия параллельны. В такой системе R также параллелен ее векторам, а вектор М перпсчщикулярен им. Значит, и в этом случае Мг = 0, и подобная система также не может принадлежать первому подклассу.

Если у системы параллельных векторов /?=^0, то онасводится к равнодействующему вектору. В этом случае для нахождения его линии действия надо лишь найти точку О, относи-

 

 

1 1IPI О1.Р\Ю!!ШПЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

359

тельно

которой

Л1о = 0,

и провести через эту

точку

прямую,

параллельную векторам системы.

 

 

Если /? = 0,

но МФО,

то система эквивалентна паре с момен-

том М. Наконец, в случае R — 0, М = 0 система

уравновешена.

Если ось z направить параллель-

 

 

но векторам (рис. П.22), то условия

 

 

I

1

 

 

 

 

 

 

V n,t(Ft) =

(И)

 

 

обращаются втождества вида 0 = 0,

 

 

а условия

равновесия системы оп-

 

 

ределяют

три равенства

 

 

 

 

 

 

"<)= 0 ,

 

 

 

 

 

 

Рис.

П.22.

 

 

 

 

 

(12)

 

 

В частном случае плоской системы параллельных векторов остаются лишь два условия равновесия:

2 ^

=0 и J] mi,(/?*)=0,

(13)

I = 1

i = 1

 

а все остальные условия выполняются тождественно; надо лишь ось х расположить в плоскости действия векторов (рис. П.23).

Рис. П.23.

Рис П24.

4. П р о и з в о л ь н а я

с и с т е м а

п а р . В -*юмслучае(рис.П.24)

заведомо R = 0. Если

М=^0,

то

система

эквивалентна

одной

произвольно выбранной

паре с

моментом

М. Операцию

замены

360 ПРПЛОЖПНПГ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

системы пар одной парой иногда называют сложением пар. Если М = 0, то система уравновешена. Условия равновесия таковы:

 

=•), = 0, 2 > , ( F ; ) = 0,

%ni:(F,) = 0;

(14)

i = 1

j = 1

г = 1

 

остальные три условия равновесия (8') удовлетворяются тождественно.

§5. Применение теории систем скользящих векторов в механике

1.Система сил, приложенных к твердому телу. В качестве первого примера рассмотрим множество векторов, изображающих систему сил, приложенных к твердому телу.

Из физических соображений ясно, что в этом случае добавление и отбрасывание векторного нуля правомерно. В самом деле, две силы, приложенные к твердому телу и образующие векторный нуль, лишь растягивают либо сжимают тело. Они могли бы вызвать деформацию тела (если бы не предполагалось, что оно абсолютно твердо), но заведомо не влияют на его движение. Действительно, с одной стороны, движение центра инерции тела зависит лишь от главного вектора внешних сил, а с другой стороны, в уравнения Эйлера, описывающие движение тела относительно центра инерции, входят главные моменты всех внешних сил. Добавление или отбрасывание двух сил, образующих векторный нуль, не меняет ни главного вектора, ни главного момента системы сил и, следовательно, не отражается на движении тела. Поэтому множество векторов, изображающих любую совокупность сил, приложенных к твердому телу, является системой скользящих векторов, и теоремы, установленные в предыдущем параграфе, могут быть применены к системе сил, приложенных к твердому телу.

Отсюда сразу следует, что любая система сил, действующих на тело, может быть либо уравновешена, либо заменена одной силой — равнодействующей, или парой сил, или, наконец, тремя силами, образующими винт. В этом случае винт называется динамой. Условия, при которых имеет место каждый из этих четырех случаев, указаны в приведенной выше табл. IV.

Анализ условий равновесия (8') при возможных частных расположениях сил (см. конец § 4) составляет предмет геометрической (или элементарной) статики. Эти условия позволяют выяснить, находится ли тело в равновесии под действием заданной совокупности сил, либо, наоборот, предполагая равновесие, найти несколько неизвестных скалярных величин (например, проекций сил, координат точек их приложения и т. д.), если число таких неизвестных величин не превышает числа независимых равенств

Смотрите также файлы