Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 909

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

!» I IIIMIWI I I I М И Г

ИМ Е Х А Н И К Е

3 6 1

в системе (8'). В таком случае

говорят, что задача

является

статически определимой.Если число неизвестных ьеличин превы-

шает

число независимых

равенств в системе (8'), то задача

стати-

чески неопределима. Решение

статически

неопределимых

задач

иногда

 

возможно,

если

отказаться от гипотезы

твердого

тела и

учесть его деформации, но тогда

уже нельзя отбрасывать вектор-

ные

нули, нельзя

считать

силы скользящими векторами, и вопрос

о том, можно

ли упростить систему сил и каким образом это

сделать,

должен

рассматриваться

особо.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Система

угловых

скоростей

при движении п систем отсчета.

Рассмотрим

п систем

отсчета,

движущихся

одна

относительно

другой

 

(см. § Г> гл. I). Перенумеруем

как-либо

эти системы

(считая

 

неподвижную систему

отсчета нулевой)

и временно огра-

ничимся

случаем,

 

когда

каждая

/-я из них в рассматриваемый

момент

 

совершает

 

относительно

предыдущей

(t — 1)-н системы

мгновенное

вращение с угловой скоростью о);. Множество векто-

ров <*>!,... , <Й„ составляет

систему скользящих

 

векторов. Чтобы

показать это, рассмотрим

мгновенное

вращение

двух

систем

отсчета

 

с угловыми

скоростями coj и <о2, предположив, что век-

торы ft>! и ш2 лежат на одной прямой и направлены в противо-

положные стороны, а их модули

равны, так что со.2

= — щ. Если

принять

движение

с

угловой

скоростью

щ за

переносное,

а с угловой

скоростью ю2 —за относительное, то скорость точки а

в абсолютном движении

(см. гл. I) будет равна

 

 

 

 

 

 

va

= (OiXra + <о2хга

=(о»!-!-о>2) х г а

= ((ох — Юх) хга

= 0.

Поэтому

отбрасывание от рассматриваемого

множества

векто-

ров Юц ... , <!)„двух таких векторов, образующих

векторный

нуль

(или добавление

двух таких векторов), неизменяет абсо-

лютной скорости

любой точки n-й системы относительно нулевой.

Эти

физические

соображения

показывают,

 

что в данном случае

имеет

место

соотношение

эквивалентности

при добавлении и

отбрасывании

векторных

 

нулей;

следовательно,

векторы

щ,...

... , <ап образуют

систему

скользящих

векторов, и к ним пол-

ностью

 

относится

все, что было

установлено

выше для такой

системы

векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент вектора Ft относительно полюса О по определению равен

 

 

mo(Fl)=roxFh

 

где г

0 —радиус-вектор,

проведенный из О к любой

точке на

линии

действия вектора Ft (рис. П.25, а); скорость

же vt при

мгновенном вращении

с угловой скоростью щ составляет (рис.

П.25, б)

 

 

Vi = (»i X Г,

362

 

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

где

г проводится

из любой

точки на линии действия вектора

к точке

О.

Если

и в

этом

случае отсчитывать радиус-вектор

от

точки

О

(рис.

П.25,

в),

то получаем

Таким образом, при мгновенном вращении линейная скорость точки представляет собой момент вектора угловой скорости отно-

сительно этой точки, Vi = mo(<ni). В связи с этим результирующая скорость точки О п-н системы относительно неподвижной,

является главным моментом системы векторов

щ,

, ю„ относи-

тельно этой

точки.

 

 

Главный

вектор системы

 

 

получается формальным переносом всех векторов иг

в одну и ту

же точку и их сложением.

 

 

Отсюда сразу следует, что скорости ©„,„ для

точек

п-й системы

распределены так, как распределены главные моменты системы

скользящих векторов,

что, зная

скорость

г»„,0

какой-либо

одной

точки, можно найти

скорость

любой другой

точки

по

теореме

о переносе полюса, что минимальную скорость

имеют

точки

цен-

тральной оси системы

векторов

а , , , , . , ш, и т ,

д.

 

 

 

Применяя теперь к системе скользящих векторов

(яи

...,

©„

теорему 8, сразу заключаем, что любая

совокупность вращений

может быть сведена к одному из четырех простейших случаев — векторному нулю, равнодействующему вектору, паре векторов и винту. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

§ ri. ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ

3G3

а) С в е д е н и е

к в е к т о р н о м у

н у л ю . В этом случае п вра-

щений в совокупности определяют

покой —«-я система

неподвижна

относительно неподвижной системы координат х, у, г. Этот

случай

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

имеет

место

при

условии,

что

главный

вектор

ft

= 2

ш,= 0

и хотя бы для одной точки

г»„|0 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) С в е д е н и е

к о д н о м у

в е к т о р у .

Если

й=/=0,

но про-

екция vn,n на ft в какой-либо произвольно выбранной точке

равна

нулю, то система

и>и... , ю„ заменяется одним

вектором

Q,

дей-

ствующим вдоль

центральной оси системы

(ov

... ,

(яп, т. е. дви-

жение

п-й системы

отсчета

относительно

неподвижной

х,

у, г

представляет

собой

мгновенное

вращение

с

угловой

скоро-

стью ft.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) С в е д е н и е

к

п а р е . Если ft = 0, но©„>0

= ©р=^=0 в какой-

либо точке Р, то система

векторов wl t ... , wn

эквивалентна

паре

угловых скоростей

(«паре

вращений»)

с моментом ©„,„, т. е. п-я

система отсчета движется относительно неподвижной

поступательно

СО СКОРОСТЬЮ

Vp.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) Сведение

к

винту. В

наиболее

общем

случае,

когда

главный вектор

системы ft Ф 0 и в какой-либо точке

Р скорость

в = г1

Р ^0 и

не перпендикулярна

вектору

Q, система

<0i

 

 

«„

сводится к винту. Это значит,

что она эквивалентна

вектору,

совпадающему

с

Q и лежащему

на

центральной

оси, и

паре,

находящейся в перпендикулярной ft плоскости и имеющей момент, равный проекции Vp на направление ft. В этом случае мгновенное движение п-й системы отсчета относительно неподвижной складывается из поступательного движения вдоль направления

центральной

оси (т. е. вдоль

направления,

параллельного

ft)

со скоростью, равной проекции vP

на ft, и из вращения

 

вокруг

центральной

оси с угловой скоростью ft.

 

 

 

 

 

 

Остановимся подробнее на случае в) сведения к

паре.

Непо-

средственно

видно, что верно и обратное

утверждение:

 

если

система совершает мгновенное поступательное

движение

со ско-

ростью v, то его всегда

можно заменить

сложным

движением —

парой вращений, если угловые скорости этих

вращений

выбрать

так, чтобы момент пары был равен v.

 

 

 

 

 

 

Теперь

мы можем

перейти

к

общему случаю произвольного

движения

п

систем

отсчета

одна

относительно другой. В связи

с тем, что

любое

движение

в

каждое

мгновение

может

быть

представлено как сумма поступательного движения и мгновенного вращения, а поступательное движение само может быть

представлено

парой

вращений, можно

ввести промежуточные

системы отсчета и заменить произвольное

мгновенное движение п

систем только

мгновенными вращениями

т. систем

одна относи-

тельно другой

(т^п).

Поэтому все, что говорилось

выше о ело-

364

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

жении мгновенных вращений, относится и к общему случаю, когда мгновенные движения систем отсчета друг относительно друга произвольны

Таким образом, при .гюбэм движении одних систем отсчета относительно других (при сложении любых движений) скорости результирующего движения в любое мгновение могут быть распределены по одному из перечисленных выше четырех простейших законов Это отнюдь не противоречит тому факту, что движения могут быть весьма сложными и разнообразными — разнообразие движений получается за счет разнообразного изменения распределения скоростей (в пределах перечисленных четырех простейших) при переходе от одного момента времени к другому.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксонд неподвижнмл

2ft

 

 

 

Движения вынужденные

243

 

 

—

подвижно!!

2Ь

 

 

 

301

 

_

кеплеровы

89

 

 

 

 

 

 

Ансамбль стати1тнч1чки(1

 

—

свободные

253

 

 

275

 

 

—

—, плотность

сю

.(01

 

 

Действие по Гамильтону

 

 

Вариньона теорема

150

 

 

 

—

—

Лагранжу

331

 

 

 

 

 

 

 

 

Динама

360

 

 

 

 

 

 

 

 

—

— обобщенная

.155

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектореглавный"(см

Глпппмп

вектор)

Естественный способ задания движения 16

—

характеристически»

г> 1

Р

-

(сопровождающий)

трехгранник

16

 

'Векторный

нуль

М(>

210, 211

 

Жуковского правило

205

 

 

 

 

Векторы

амплитудные

 

 

 

 

 

Вириал системы НО

I И)

 

 

Задача

статически

неопределимая

361

 

Виртуальная работа

 

 

 

Виртуальные перемещении 1г>0

 

—

—

определимая

361

 

 

 

 

—

скорости

150

 

 

 

 

144

 

Закон Ньютона второй 53, 55

 

 

Возможные

перемещении

 

—

—

первый 44

 

 

 

 

 

 

 

—

скорости

149

 

 

 

яидммодсПстпие 98

—

—

третий

55

 

 

 

 

 

 

 

Временное центральное

—

площадей

84

 

 

 

 

 

 

 

Выражение

союзное 2{>2

 

 

— сохранения импульса обобщенного 290 —

Галилеева система

отсчета

43

 

 

291

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— — кинетического момента 73, 292

 

Галилея

преобразовании

45

 

— — количества движения 70, 290

 

—

принцип относительности 44

— — энергии механической 76, 290

 

Гамильтона

вариационны»

принцип 279

—

—

— обобщенный

265

 

 

 

 

—

переменные

261

 

 

 

 

 

Импульс внешних

сил 78

 

 

 

—

уравнения

263

 

 

 

 

 

системы

54

—

функция 262

 

ур.мшенне

323

—

(количество

движения)

Гамильтона—Якоби

— — — точки 54

 

 

 

 

 

 

— — —, полны)! мн1с1|)иЛ его 323

— момента внешних сил 78

 

 

 

Гамильтониан

2Ь2

 

основная

204

—

силы

78

 

 

 

 

 

 

 

 

Гироскопии формула

Импульсы обобщенные 260

 

 

 

—

— приближенная

205

 

 

Инвариант интегральный

293

 

 

Главный

вектор

сил (>7

 

 

 

—

— относительный

305

 

296

 

 

— — системы вектором 3V)

 

—

—

Пуанкаре — Картана

 

 

—

момент количестп 1 дпижепия 72

—

— универсальный

305

 

 

 

 

— — сил относительно оси 68

— — — Пуанкаре 298

 

 

 

 

—

— —

— полюс 1 (|Я

 

 

 

— — «фазовый объем» 301

 

 

 

— — системы вск-iopoii относительно оси

—

системы вектороп

343

 

 

 

172

341—342

 

 

 

 

 

 

 

 

Инерции момент относительно оси 117,

— — — — — полюса 310

 

—

моменты главные

179

 

 

 

 

Гурвица

критерии

221—222

 

—

—

центробежные

176

 

 

 

 

Гурвицев

полином

220

 

 

 

—

оси

главные

179

 

 

 

 

 

Гюйгенса —Штсищра теорема 174 — 175

— — — центральные 179

 

 

 

Дальнодействие

-1'

 

 

 

 

 

—

сила

кориолисова

101

 

 

 

 

 

30,

104

 

— — —, работа ее 105

 

 

 

 

Движение абсолютное

 

—

—

переносная

104

 

 

 

 

 

—

инфинитное «7

 

104

 

 

—

тензор 177

 

 

 

 

 

 

 

—

относительное

30,

 

 

—

эллипсоид

178

 

 

 

 

 

 

—

переносное

J0,

104

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

плоское

JS

 

 

 

 

35

 

Кп-пистационарности гипотеза 119

 

 

—

плоскопараллельное

 

Кеплера

законы

90

171

 

 

 

 

—

поступательное

21

 

 

 

 

Кенига

теорема

170,

 

 

 

 

—

сложное

30

 

 

 

 

 

 

 

Кинетическая энергия системы 54

 

 

— среды с неподвижной точкой 23—10

—

— твердого тела с неподвижной точкой

— твердого тела с неподвижной точкой,

185—186

 

 

 

 

 

 

 

 

случай

Ковалевской 195

 

—

—

точки 54

 

 

 

 

 

 

 

— — — — — —, — Лагранж.1 1ЧГ>

Кинетический момент 72

 

 

 

 

— — — — — —, — Эйлера 135 —202

—

— твердою TWid с неподвижной точкой

—

— — — — —, — —

геометрическая

—

186 —187

1J3

 

 

 

 

 

 

—

интерпретация

Пуансо

198—199

потенщпл

 

 

 

 

 

 

финитное 80,

87

 

 

 

 

—

фокус 283

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы