Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Г л а в а I

СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ (КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА)

§ 1. Пространство, время и системы отсчета

Механика — наука о движении материальных объектов в пространстве и времени. Это определение лишено содержания до тех пор, пока не установлено, что означают термины «материальный объект», «пространство», «время» и «движение». Разъяснению того, какой смысл вкладывает в эти термины классическая механика, посвящены первые параграфы этой и следующей глав.

Классическая механика исходит из предположения, что свойства пространства и времени не зависят от того, какие материальные объекты участвуют в движении и каким образом они движутся. В связи с этим возникает возможность предварительно выделить и изучить некоторые общие свойства движений. При таком изучении рассматриваются лишь общие геометрические характеристики движения, которые в равной мере относятся к движению любых объектов — молекулы или Солнца, изображения на экране телевизора или тени самолета на Земле. Если бы предметом нашего исследования были лишь свойства пространства, то мы не вышли бы за пределы геометрии. С другой стороны, если бы мы интересовались лишь течением времени, то возникающие при этом простые задачи относились бы к иной науке, которую можно было бы назвать «хронометрией». Согласно данному выше определению механики, нас интересуют изменения положения некоторых объектов в пространстве и времени. До тех пор, пока мы не рассматриваем инерционных свойств движущихся объектов, нас интересует по существу лишь объединение геометрии и хронометрии. Такое объединение геометрии и хронометрии называется кинематикой. Кинематика не является собственно частью механики (поскольку при ее построении никоим образом не учитываются инерционные свойства материи) и могла бы излагаться в курсах геометрии. Однако по традиции в обычные курсы геометрии кинематика не включается, и необходимые сведения из кинематики приводятся в курсах механики. Связано это главным образом с тем, что хронометрия сравнительно бедна идеями и фактами, и поэтому, если отвлечься от потребностей механики, добавление хронометрии к обычным геометрическим построениям мало интересно с математической точки зрения,

§ 1. ПРОСТРАНСТВО. ВРЕМЯ И СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И

Эта глава посвящена некоторым вопросам кинематики, которые освещаются здесь лишь в объеме, необходимом для понимания дальнейшего изложения.

При построении любой системы геометрии в основу кладется абстрактное представление о «месте», которое приводит к понятию геометрическаятонка. Непрерывная последовательность сменяющих друг друга явлений порождает не поддающиеся точным определениям представления о «мгновении» и о «текущем времени». Абстрактное представление о «мгновении» связывается с понятием момента времени. Поскольку кинематика представляет собой объединение в единую систему геометрии и хронометрии, в основе ее построения лежит абстрактное понятие, объединяющее представление о месте и о мгновении. Соответствующая абстракция называется движущейся геометрической точкой, т. е. точкой, которая характеризуется как своим положением («местом»), так и мгновением («моментом времени»). В геометрии пространство понимается как совокупность (множество) геометрических точек; в хронометрии время понимается как множество моментов времени. Все дальнейшее построение кинематики полностью определяется тем, какие предположения делаются о взаимосвязи пространства и времени.

Сама возможность независимого построения геометрии и хронометрии при классическом миропонимании возникла именно потому, что такое миропонимание исходит из предположения о независимости течения времени от свойств пространства. Разумеется, это очень сильное и, вообще говоря, не обязательное предположение; например, релятивистская кинематика специальной теории относительности основана на утверждении о взаимосвязи времени и пространства, а при этом раздельное построение геометрии и хронометрии оказывается невозможным.

При классическом миропонимании предполагается, что пространство однородно и изотропно,а время однородно и однонаправленно. Однородность (изотропность) пространства означает отсутствие в пространстве чем-либо примечательных геометрических точек (направлений), которые могут быть выделены среди всех точек (направлений). Однородность времени означает, что при течении времени нет чем-либо примечательных, специально выделенных моментов и безразлично, от какого момента ведется отсчет.

Смысл понятия движения — основного понятия механики — становится ясным лишь после того, как в рассмотрение вводится «система отсчета», которую мы интуитивно связываем с каким-либо выбором системы координат в пространстве и способа отсчета времени. Но систему координат нельзя выделить и описать в пустом однородном и изотропном пространстве, так как для того, чтобы сделать это, надо указать, где расположено начало координат и как направлены ее оси, тем самым выделив в пространстве неко-

12 ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

горую точку и некоторые направления. В связи с этим возникает вопрос о том, каким образом можно ввести системы отсчета в однородном и изотропном пространстве при однородном времени. Решение этого вопроса непосредственно связано с введением еще одной абстракции — «геометрическая твердая среда, снабженная часами».

Классическое миропонимание исходит из предположения о том, что как пространство, так и время «метризуемы», т. е. что можно определить и измерить расстояния между геометрическими точками в пространстве и интервалы между отдельными моментами времени. Более того, предполагается, что существуют приборы для таких измерений — твердые масштабы и часы.

В классической механике свойства пространства и времени конкретизируются следующим образом: пространство предполагается евклидовым, а время представляется евклидовой прямой.

Условимся называть континуальное множество геометрических точек, расстояния между которыми фиксированы, геометрической твердой средой. Если геометрическая твердая среда задана, то положение произвольной (не связанной с этой средой) геометрической точки будет характеризоваться той точкой среды, с которой рассматриваемая точка совпадает. В этом смысле геометрическую твердую среду можно принять за геометрическую систему отсчета.

Бессмысленно было бы пытаться задать положение геометрической твердой среды в пустом однородном и изотропном пространстве. В то же время геометрическую твердую среду можно связать с ка- ким-либо реальным объектом, находящимся в таком пространстве, например с каким-либо материальным телом. Но объектов такого рода много, так что геометрическая твердая среда не единственна и можно ввести множество таких сред, каждая из которых будет «абсолютно проницаемой» для точек другой среды. Тогда можно определить положение какой-либо геометрической твердой среды относительно любой другой геометрической твердой среды, определив положение каждой точки первой среды относительно второй. В отличие от пустого однородного и изотропного пространства, в каждой геометрической твердой среде может быть различным образом задана система координат как совокупность чисел, которые определяют положение каждой точки этой среды по отношению к некоторым специально выделенным «базовым», или «основным», точкам. В классической кинематике рассматриваются трехмерные твердые геометрические среды, т. е. среды, в которых для определения положения точки достаточно указать для нее три таких числа; Е некоторых случаях вводятся в рассмотрение «вырожденные» среды — двумерные и одномерные.

Системой отсчета (без добавления слова геометрическая) р механике называется геометрическая система отсчета, дополненная «чэсами», находящимися в каждой точке рассматриваемой геометрической твердой среды. Как уже говорилось выше, пред-

полагается, что время течет независимо от положения часов. Иначе говоря, предполагается, что часы могут быть синхронизированы раз и навсегда и что, следовательно, в разных точках одной и той же геометрической твердой среды и даже, более того, в разных геометрических твердых средах показания всех часов совершенно одинаковы. Теперь, когда геометрическая твердая среда снабжена часами, мы можем дать следующее разъяснение: говоря ранее

отом, что расстояния между точками среды фиксированы, мы имели

ввиду, что они не изменяются во времени. Так как по предположению время течет одинаково во всех системах отсчета, положение любой геометрической точки может быть задано ее координатами, меняющимися во времени, т. е. время можно рассматривать как параметр, от которого зависят координаты точки. Теперь понятно, что изучение движений может быть сведено к изучению геометрических свойств некоторых кривых, заданных в параметрической форме (время играет роль параметра) по отношению к какой-либо геометрической твердой среде. Именно это мы имели выше в виду, говоря, что кинематика, собственно, является разделом геометрии

и лишь по традиции включается в курсы механики.

В силу однородности и изотропности пространства и однородности времени все системы отсчета равноправны, среди них нельзя выделить какую-либо примечательную систему отсчета, имеющую преимущества по сравнению с другими. Поэтому можно говорить лишь о движении одной системы отсчета по отношению к другой, но нельзя говорить об «абсолютном» движении систем отсчета; можно говорить о движении геометрической точки относительно некоторой фиксированной системы отсчета, но нельзя говорить об ее «абсолютном» движении. В связи с этим возможны следующие четыре ситуации.

1° Избрана некоторая система отсчета. Наблюдатель, связанный с этой системой, т. е. неподвижный относительно нее, видит движущуюся точку (рис. 1.1, а).

В этой простейшей ситуации задача состоит в изучении различных способов описания наблюдаемого движения точки.

2° Заданы две системы отсчета (рис. 1.1, б). Наблюдатель, связанный с первой из них, видит движение второй.

В этой ситуации возникает вопрос о том, каким образом описать движение одной системы отсчета относительно другой.

3° Заданы две системы отсчета, и с каждой из них связан свой наблюдатель. Оба наблюдателя видят одну и ту же движущуюся точку (рис. 1.1, в). Наблюдаемые ими движения точки, вообще говоря, различны (так, например, первый наблюдатель может видеть неподвижную точку, в то время как второй наблюдатель видит движущуюся).

В этой ситуации возникает следующая задача: известно, как движется точка относительно первого наблюдателя (ситуация 1°);

известно, как движется система отсчет, с которой связан первый наблюдатель, относительно второй (ситуация 2°); требуется описать движение точки, которое видит второй наблюдатель.

4° Задано п + 1 систем отсчета (п — произвольное конечное число). Системы отсчета перенумерованы (0, 1, ..., /г), с каждой

а)

б)

\

в)

Рис. 1.1.

из них связан свой наблюдатель, и известно, как движется k-я система отсчета (k = 1, 2, ..., п) относительно (k — 1)-й (рис. 1.1, г).

В этой ситуации возникает следующая задача: описать движение п-й системы отсчета относительно нулевой.

Основное содержание кинематики состоит в анализе четырех описанных выше ситуаций и связанных с ними задач. Они поочередно рассматриваются в следующих параграфах этой главы.

§ 2. Движение геометрической точки

Рассмотрим движение геометрической точки относительно ка- кой-либо системы отсчета (рис. 1.1, а). Предположим, что в соответствующей геометрической твердой среде каким-либо образом выбраны четыре несовпадающие точки такие, что любые три из них не лежат на одной прямой, причем одна из них принята за «начало координат», а три прямые, соединяющие начало координат с остальными тремя точками, задают три направления. Тогда радиусвектор г, проведенный из начала координат к любой точке среды,

v(t) = dr(t)/dt

называется скоростью точки, а вторая производная

w (/) = dv (t)/dt = d2r (t)/dt2

— ее ускорением.

Для того чтобы задать вектор-функцию r(t), достаточно задать три скалярные функции x(t), y(t), г (t) —координаты точки. Если /, /, ft —орты осей х, у, г и, следовательно, постоянные векторы, то

Скорость в этом случае выражается так:

где vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt — проекции вектор-функции v (t) на оси х, у и г. Очевидно, что