Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1479

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
[dψ] [dψ]

488

Глава 22. Аномалии

где t — опять обычная эрмитова матрица, а α(x) — снова произ-

вольная действительная функция x. В этом случае матрица U псевдоэрмитова:

U = U (22.2.7)

.

Мера неинвариантна относительно кирального преобразования; имеем

[dψ] [dψ] → (DetU )−2 [dψ] [dψ] .

(22.2.8)

Ограничимся случаем бесконечно малого локального кирального преобразования. Выбирая α(x) в выражении (22.2.6) бесконечно

малым, имеем теперь

[U − 1]

nx,my

= iα(x)[γ

5

t]

nm

δ4

(x − y) .

(22.2.9)

 

 

 

 

 

 

Используя тождество Det M = exp (Tr ln M) и предельную формулу ln(1 + x) → x ïðè x → 0, видим, что теперь мера преобразуется

êàê

[dψ][dψ] → expniz d4x α(x)A (x)s [dψ][dψ],

(22.2.10)

где A — аномалия

 

 

 

 

A (x) = −2Tr{γ

5

t}δ4

(x − x)

(22.2.11)

 

 

 

 

и «Tr» означает здесь след как по дираковским индексам, так и по индексам сортов. Мера входит в функциональный интеграл с весом exp{i z d4xL(x)}, так что множитель exp{i z d4xα(x)A (x)} â

законе преобразования (22.2.10) для меры приводит к тому же эффекту, как если бы плотность лагранжиана была не инвариантной по отношению к таким преобразованиям, а преобразовывалась как L(x) → L(x) + α(x)A(x). Отсюда, когда мы используем эффективный

лагранжиан, в котором проведено интегрирование по фермионам, то для того, чтобы учесть аномалии, мы должны включить неинвариантное слагаемое, так что

Leff (x) → Leff (x) + α(x)A (x) .

(22.2.12)

Остается только вычислить аномалию A(x).

22.2. Преобразование меры. Абелева аномалия

489

На первый взгляд кажется маловероятным, что мы можем получить для аномалии какой-то определенный результат. Дельтафункция бесконечна, однако след равен нулю. Чтобы исправить ситуацию, мы должны ввести регулятор, чтобы придать смысл δ4(x – x). Это можно сделать калибровочно-инвариантным спосо-

бом, включив действующий на дельта-функцию дифференциальный оператор f(−D/ x2 / M2 ) перед тем, как устремлять аргумент дель-

та-функции к нулю:

A (x) = −2

Trnγ 5tf(−D/ x2 / M2 )sδ4 (x − y)

.

 

 

y→x

 

 

Здесь Dx — дираковский дифференциальный оператор ствии калибровочного поля Aαμ (x):

∂

(Dx )μ ≡ ∂xμ − itα Aαμ (x) .

(22.2.13)

âприсут-

(22.2.14)

Кроме того, M — некая большая масса, которая в конце концов устремляется к бесконечности, а f(s) — гладкая функция, подчи- ненная единственному условию *, что при изменении s от 0 до ∞ f(s) должна плавно падать от 1 до 0:

f(0) = 1,

f(∞) = 0,

(22.2.15)

sf′(s) = 0 ïðè s = 0 è s = ∞ .

(22.2.16)

Заметим, что мы не выбираем регуляризующую функцию зависящей от ∂/ , поскольку хотим сохранить калибровочную инвариантность, а также не считаем ее функцией DμDμ, так как хотим с ее

помощью регуляризовать не только детерминант, но и фермионный пропагатор D/ −1.

Чтобы вычислить аномалию (2.2.13), используем фурье-пред- ставление дельта-функции и запишем аномалию в виде

* Например, можно выбрать f(s) = exp(–s2), как это сделал в первой работе Фуджикава, или f(s) = 1/(1+s).

490 Глава 22. Аномалии

X d4k

 

Trng 5tf(-D/ x2 / M2 )s eik×(x-y)

 

 

 

 

 

A(x) = -2Y

 

 

 

 

 

 

4

Z

(2p)

 

 

 

 

 

 

 

y=x

 

 

 

 

 

 

X d4k

Trog 5tfd-[ik/

2

2

it .

= -2Y

 

 

+ D/ x ] / M

 

(2p)

4

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

(Производная по x равна нулю, когда она действует, находясь в крайнем правом положении во втором выражении, но не равна нулю при действии на Aαμ(x).) Обезразмеривая импульс kμ множи-

телем М, получаем:

 

4 X d4k

Trog 5tfd-[ik/

2

it . (22.2.17)

A (x) = -2M

Y

 

 

+ D/ x / M]

(2p)

4

 

Z

 

 

 

 

Аргумент обрезающей функции можно записать как

L

 

D/ x O2

 

2

 

ik × Dx

F

D/ x I

2

 

-Mik/

+

 

P

= k

 

-

 

- G

 

J

.

(22.2.18)

 

 

 

 

N

 

M Q

 

 

 

M

H

M K

 

 

В пределе М ® ¥ в выражение (22.2.17) дают вклад только члены в разложении fd-[ik/ + D/ x / M]2 i , имеющие не более четырех мно-

жителей 1/М, а также члены, содержащие не менее четырех дираковских гамма-матриц, поскольку в противном случае след по дираковским индексам равен нулю. В результате остаются только слагаемыме второго порядка по D/ x2 :

X d4k

 

 

A (x) = -Y

 

 

f¢¢(k2 )Trng

5tD/ x4 s,

(22.2.19)

(2p)

4

Z

 

 

 

 

которые теперь уже не зависят от регуляризующей массы М. Чтобы вычислить интеграл по k, совершим поворот контура

интегрирования по k0 того же типа, что и при вычислении фейнмановских диаграмм, так что k0 заменится на ik4, ãäå k4 изменяется от –¥ äî +¥. (Этот шаг можно обосновать, только если с самого

начала работать с евклидовыми функциональными интегралами.) Тогда интеграл сводится к

z d4k f¢¢(k2 ) = iz∞

2p2k3dk f¢¢(k2 ) .

(22.2.20)

0

 

 

22.2. Преобразование меры. Абелева аномалия

491

После повторного интегрированием по частям с использованием выражений (22.2.16) и затем (22.2.15) получаем:

z d4k f′′(k2 )

= iπ2 z∞ ds sf′′(s) = −iπ2 z∞ ds f′(s) = iπ2

. (22.2.21)

 

 

 

 

 

0

0

 

Чтобы вычислить след, запишем

 

 

D/ x2 =

1

{(Dx )μ , (Dx )ν } {γ μ , γ

ν } + {(Dx )μ , (Dx )ν } [γ μ , γ

ν ]

 

4

 

 

 

 

 

 

= Dx2 −

1

 

itαFαμν [γ μ , γ ν ] .

(22.2.22)

 

 

4

 

 

 

 

Единственное слагаемое с D/ x4 , которое дает вклад в след по дира-

ковским индексам, содержит произведение четырех матриц Дирака, поэтому

trD {γ 5 [γ μ , γ ν ] [γ ρ , γ σ ] } = 16i εμνρσ .

(22.2.23)

ãäå «trD» обозначает след только по дираковским индексам, и, как обычно, εμνρσ — полностью антисимметричный тензор с ε0123 = +1.

После подстановки выражений (22.2.21)–(22.2.23) в формулу (22.2.19) получаем аномалию в виде

A (x) = −

1

ε

 

Fμν

(x) Fρσ

(x)tr{t t t} ,

(22.2.24)

 

μνρσ

 

16π2

 

α

β

α β

 

 

 

 

 

 

 

где «tr» здесь означает след только индексам, отмечающим различные сорта фермионов. В частном случае, когда t — единичная матрица, величина (22.2.24) известна как плотность Черна–Понт- рягина.

Этот результат можно записать через ток, связанный с аномальной симметрией. Для простоты предположим, что само действие инвариантно относительно преобразования симметрии ψ(x) → ψ(x) +iψγ5αψ(x) с постоянным бесконечно малым параметром α.

Тогда, как обсуждалось в разделе 7.3, если проделать такое преобразование с зависящим от пространственно-временной точки параметром α(x), изменение действия можно записать как δI = z d4xJ5μ (x)∂μα(x) , ãäå J5μ (x) — ток, который становится сохра-

492

Глава 22. Аномалии

няющимся, когда операторы поля удовлетворяют динамическим уравнениям, вытекающим из условия стационарности действия относительно произвольных вариаций полей. Если совершить изменение переменных dy(x) = itg5a(x)y(x), то изменение интеграла по

фермионным полям равно

δz [dψ] [dψ]eiI = iz d4xz [dψ] [dψ] [A (x)α(x) + J5μ (x)∂μα(x)] eiI . (22.2.25)

Но это всего лишь изменение переменных, так что для произвольных a(x) оно не может повлиять на функциональный интеграл.

Поэтому для произвольных калибровочных полей

μ J5μ

= A = -

1

eμνρσFαμνFβρσtr{tαtβt},

(22.2.26)

16p2

A

 

 

 

где для любого оператора O величина áOñÀ есть квантовое среднее O в фиксированном фоновом поле Aμ(x):

áO ñA º

z [dy] [dy]eiIO

 

 

 

.

(22.2.27)

z [dy] [dy]e

iI

 

 

 

 

Кстати говоря, можно переписать выражение (22.2.26) как условие сохранения. Рассмотрим частный случай, когда след tr{tαtβt} пропорционален dαβ:

tr{tα tβt} = Nδαβ .

Определим ток, известный как класс Черна–Саймонса:

 

L

1

O

G

μ º 2eμνλρ MAγνλ Aγρ +

 

Cαβγ AανAβλ Aγρ P

3

 

N

Q

L

1

O

 

= eμνλρ MAγνFγλρ -

 

Cαβγ AανAβλ Aγρ P

,

3

N

Q

 

который удовлетворяет тождеству

∂μGμ = 1 εμνλρFγμνFγλρ .

2

(22.2.28)

(22.2.29)

(22.2.30)

Смотрите также файлы