Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Совершенно так же, как мы вывели формулу (22.2.24) для функции аномалии, мы можем показать, что теперь

ница в знаках в выражениях (22.2.24) и (22.2.45) возникает из-за того, что в (22.2.45) опущены по сравнению с (22.2.24) два множителя i: один — из формулы (22.2.23), так как

trD {g 5 [g i , g j ][g k , g l ] = 16eEijkl ,

а другой — от замены d4k íà (d4k)E â (22.2.20).)

Пусть дана любая собственная функция jκ(x) операторов iD/ и t с собственным значением lκ ¹ 0, тогда существует другая нормированная собственная функция jκ–(x) с собственными значениями

lκ– = –lκ è tκ, равная jκ–(x) = g5jκ(x). (Напомним, что в обозначе- ниях, используемых по всей книге, g5 — эрмитова матрица, g5 =

–ig1g2g3g0 = g1g2g3g4.) Поскольку jκ(x) è jκ–(x) — собственные векто-

ры эрмитового оператора с разными собственными значениями, они ортогональны, так что z d4xdj†κ (x)g 5jκ (x)i = 0. Поэтому остается только сумма по собственным функциям с lκ = 0. Эти собственные

функии в общем случае не объединены в пары; так как g5 антикоммутирует с iD/ , они могут быть выбраны как одновременно ортонормированные собственные функции ju, jv оператора iD/ с собственным значением нуль и оператора g5 с собственными значениями

+1 и –1, соответственно.

Используя то, что f(0) = 1, выражение (22.2.44) принимает вид

Далее, поскольку ju è jv нормированы как в выражении (22.2.42),

интеграл от (22.2.47) дает

498 Глава 22. Аномалии

где суммы по u и v пробегают по левым и правым нулевым модам оператора iD/ , соответственно. В частности, в случае, когда t —

единичная матрица, можно с помощью выражения (22.2.45) выразить это как связь между функционалом калибровочного поля и числом нулевых мод оператора Дирака с определенными спиральностями:

где здесь n± — число нулевых мод D/ , имеющих собственные значе- ния γ5 = ±1. Это — знаменитая теорема об индексе Атьи–Зингера 6à.

Среди прочего, она показывает, что в результате вариаций калибровочного поля интеграл в левой части выражения (22.2.49) может изменяться не плавно, а лишь на целые значения, и поэтому может зависеть только от топологии калибровочного поля. Эту зависимость мы опишем в разделе 23.5.

22.3.Прямое вычисление аномалий. Общий случай

Âразделе 22.2 мы видели, как можно использовать элегантный подход Фуджикавы для вычисления аномалий киральных симметрий в калибровочных теориях типа квантовой хромодинамики, где калибровочные взаимодействия не киральны, и фермионное число сохраняется. Этот же метод можно использовать и для более общих задач, хотя при этом он становится менее наглядным 7.

Âэтом разделе мы найдем аномалию с помощью прямых вычислений, как это и было впервые сделано. Мы получим при этом полезные новые представления об аномалиях, что в конечном итоге позволит с минимальными дополнительными хлопотами обсудить аномалии в произвольных теориях.

Чтобы рассмотреть общий случай, объединим все левые фер-

мионные поля (включая антифермионы в случаях, когда такое различие имеет смысл) в один столбец χ. Например, если ψ — столбец,

Рис. 22.1. Две треугольные диаграммы для аномалии в токе @. Сплошные линии — фермионы, волнистые линии изображают фиктивные калибровочные поля, связанные с токами

а S(x) — пропагатор безмассового фермионного поля:

(Дальнейшие комментарии по поводу такого использования фейнмановских правил см. в конце данного раздела.) Собирая все множители в выражении (22.3.7), получаем

где здесь «tr» означает след либо по дираковским, либо по групповым индексам в зависимости от того выражения, которое стоит под знаком следа. В это выражение введены произвольные постоянные 4-векторы a и b, поскольку, несмотря на то, что выражение (22.3.10) сходится и поэтому не зависит от того, как обозначе- ны импульсы внутренних линий, вычисление ∂mΓabgμνρ включает

манипуляции с расходящимися интегралами, которые зависят от этих обозначений. Мы увидим, что произвол в выборе aμ è bμ

соответствует свободе перекидывания аномалии в этих интегралах от одного тока к другому, но не позволяет устранить все аномалии.

Беря дивергенцию выражения (22.3.10), мы используем тождества

k/1 + k/ 2 = (p/ + k/ 2 + a/ ) − (p/ − k/1 + a/ ) = (p/ + k/ 2 + b/) − (p/ − k/ 2 + b/)

и находим