Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

ãäå à1, ..., àn действительны. Отсюда очевидно, что ранг Сn равен n. Размерность Cn равна числу n2 независимых действительных параметров у эрмитовой матрицы А плюс число 2n(n+1)/2 независимых действительных параметров у комплексной симметричной матрицы В

d(Cn ) = n2 + 2 × n(n + 1) / 2 = n(2n + 1) .

Все алгебры Cn просты.

Dn. Это алгебра унитарной ортогональной группы O(2n), состоящей из всех унитарных ортогональных 2n-мерных матриц. Обсуждение Bn можно перенести на Dn, с той разницей, что здесь любой набор коммутирующих генераторов можно привести к виду

так что ранг остается равным n. Кроме того, размерность здесь определяется формулой

d(Dn ) = (2n)(2n − 1) = n(2n − 1) . 2

Все алгебры Dn просты, за исключением D1, которая является абелевой алгеброй с единственным генератором, и D2, которая равна прямой сумме В1 + Â1.

Исключительные алгебры Ли. В дополнение к перечисленным выше классическим алгебрам Ли существует всего лишь пять исключи- тельных алгебр. Это алгебры исключительных групп G2 (d = 14), F4 (d = 52), E6 (d = 78), E7 (d = 133), E8 (d = 248).

Не все классические алгебры Ли действительно различны. Имеется ровно четыре изоморфизма:

À1 = Â1 = Ñ1, Ñ2 = Â2, À3 = D3.

Это соответствует изоморфизмам среди соответствующих данным алгебрам групп Ли. Однако, изоморфизмы типа В1 = À1, Â2 = Ñ2 è D3 = A3 не означают, что SO(3) изоморфна SU(2), SO(5) изоморфна USp(4) или SO(6) изоморфна SU(4). На самом деле SU(2), USp(4) и SU(4) являются односвязными накрывающими группами для SO(3), SO(5) и SO(6). (Накрывающие группы обсуждались в гл. 2.) Тем не менее изоморфизмы алгебр Ли позволяют особенно просто построить двузначные фундаментальные спинорные представления SO(3), SO(5) и SO(6), которые являются определяющими * представлениями SU(2), USp(4) и SU(4), соответственно. Кроме того, SO(4) изоморфна SO(3) ´ SO(3), так что ее двузначное спинорное представление есть в точности определяющее представление группы SU(2) ´ SU(2). Äëÿ d ³ 7 двузначные спинорные представления SO(d) долж-

ны строиться другими методами. Простейшая техника использует алгебры Клиффорда, обсуждавшиеся в разделе 5.4.

Задачи

1.Выведите тождества Бьянки DμFανλ + DνFαλμ + Dλ Fαμν = 0 .

2.Пусть в неабелевой калибровочной теории мы используем обоб-

щенную кулоновскую калибровку, выбирая фиксирующую ка-

либровку функцию в виде fα = Ñ×Aα. Выведите выражение для

лагранжиана гостов. Какой вид имеет пропагатор гостов? (Вы-

берите B[f] = exp(-i z d4xfα fα / 2x) .)

3.Пусть в электродинамике мы используем фиксирующую калибровку функцию f = ¶μ Aμ + cAμ Aμ , где с – произвольная по-

стоянная. Выведите выражение для лагранжиана гостов. (Выбе-

ðèòå B[f] = exp(-i z d4xfα fα / 2x) .) Какой вид имеет пропагатор

гостов?

* Автор использует здесь термин «defining representation», буквально — «определяющее представление». По-видимому, имеется в виду, что в терминах инвариантных квадратичных форм именно на этих представлениях определяются сами группы. — Прим. ред.

4.Покажите, что не существует простой алгебры Ли, у которой ровно четыре генератора.

5.Покажите, что если поле ψl(x), принадлежащее представле-

нию калибровочной группы с матрицами генераторов tα, изменяется вдоль пути xμ = xμ(τ), согласно дифференциальному

классические с-числовые поля), то изменение ψ вдоль любого малого замкнутого пути Р вокруг точки Xμ пропорционально

P

ональности. Используя этот результат, покажите, что если Fαμν(x) везде обращается в нуль, то с помощью калибровочного преобразования возможно обратить в нуль Aαμ(x) по крайней

мере в любой конечной области. (Указание. Следуйте рассуждениям, аналогичным используемым в электродинамике или общей теории относительности и приведенным в 6.)

6.Применяя метод функциональных интегралов к произвольной неабелевой калибровочной теории, вычислите пропагатор ка-

либровочного поля Aαμ(x), если фиксирующая калибровку функция выбрана в виде fα = nμAμα, ãäå nμ – произвольные постоянные. (Выберите B[f] = exp(−i z d4xfα fα / 2ξ) ) Какой вид имеет

лагранжиан гостов? Какой вид имеет пропагатор гостов? Чему равна вершина взаимодействия гостов?

7.Пусть мы выбрали в качестве основополагающего физического принципа не калибровочную, а БРСТ инвариантность. Выведите самое общее выражение для лагранжиана, построенного из сумм произведений полей и их производных размерностью

(масса)d ñ d ≤ 4, в который входят поля Aαμ, ωα, ω*α, hα è èõ

производные, и который инвариантен (с точностью до полных производных) относительно преобразований Лоренца, фазовых преобразований, связанных с гостовским числом (ωα → eiθωα, ω*α → e–iθω*α), глобальных калибровочных преобразований (ε

постоянна) и преобразований БРСТ.

8.Покажите, что антискобка удовлетворяет условию симметрии (15.9.15) и тождеству Якоби (15.9.21).

9.Покажите, что если функционал О удовлетворяет условию (O,S) = iDS, а действие S удовлетворяет квантовому мастеруравнению, то квантовое среднее áÎñ не зависит от фиксирующего калибровку функционала Y.

Список литературы

1.Yang, C.N. and Mills, R.J., Phys. Rev., 96, 191 (1954). О. Клейн близко подошел к формулировке SU(2) теории Янга–Миллса

âдокладе на конференции 1938 г. в Варшаве, опубликованном в сб.: New Theories in Physics (International Institute of Intellectual cooperation, Paris, 1939). Критическое обсуждение теории Клейна см. в докладе: Gross, D.J., «Oscar Klein and Gauge Theory», 1994 Oscar Klein symposium at Stockholm, Princeton preprint PUPT-1508.

2.Utiyama, R., Phys. Rev., 101, 1597 (1956).

3.Feynman, R.P., Acta Physica Polonica, 24, 697 (1963).

4.Faddeev, L.D. and Popov, V.N., Phys. Lett., 25B, 29 (1967).

5.de Witt, B., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 (1967).

6.Доказательство легко получается адаптацией стандартного доказательства аналогичного результата в общей теории относительности: для существования координатного преобразования к плоской метрике в конечной односвязной области необходимо и достаточно обращения в нуль тензора кривизны Римана–Кри- стоффеля. См., например, монографию: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Sections 6.3 and 6.4 (есть русский перевод: Вейнберг С., Гравитация и космология. М., Мир, 1972; разделы 6.3 и 6.4).

7.Доказательство того, что из а (при gab = dab) следует b, а из b

следует с, дано в работе: Gell-Mann, M. and Glashow, S.L., Ann. Phys. (NY), 15, 437 (1961).

8.См., например: S. Weinberg, ibid., Section 7.3.

9.Gribov, V., Nucl. Phys., B139, 1 (1978). См. также: Jackiw, R., Muzinich, I., and Rebbi, C., Phys. Rev., D17, 1576 (1978); Jackiw, R., in: New Frontiers in High Energy Physics, eds. B. Kursunoglu, A. Perlmutter, and L. Scott (Plenum, New York, 1978); Christ, N. and Lee, T.D., Phys. Rev., D22, 939 (1980); Jackiw, R., in: Current Algebra and Anomalies (World Scientific, Singapore, 1985), footnote 50.

10.Becchi, C., Rouet, A., and Stora, R., Comm. Math. Phys., 42, 127 (1975); in: Renormalization Theory, eds. G. Velo and A.S. Wightman (Reidel, Dordrecht, 1976); Ann. Phys., 98, 287 (1976).

11.Tyutin, I.V., Lebedev Institute preprint ¹39 (1975).

11a. Nakanishi, N., Progr. Theor. Phys., 35, 1111 (1966); Lautrup, B.,

Mat. Fys. Medd. Kon. Dan. Vid.-Sel. Medd., 35, 29 (1967).

12.Автор этих рассуждений мне неизвестен. Я узнал их от Дж. Польчинского.

13.Gupta, S.N., Proc. Phys. Soc., 63, 681 (1950); 64, 850 (1951); Bleuler, K., Helv. Phys. Acta, 3, 567 (1950); Bleuler, K. and Heitler, W., Progr. Theor. Phys., 5, 600 (1950).

13a.Curci, G. and Ferrari, R., Nuovo Cimento, 35, 273 (1976); Kugo,

R.and Ojima, I., Progr. Theor. Phys., 60, 1869 (1978); Progr. Theor. Phys. Suppl., 63, 1 (1979). См. также 11à для случая электродинамики.

14.Thierry-Mieg, J., J. Math. Phys., 21, 2834 (1980); Stora, R., in: Progress in Gauge Theories. Proc. of Cargese Symp. 1983, eds. G. ’t Hooft, A. Jaffe et. al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Bonora,

L.and Cotta-Ramusino, P., Commun. Math. Phys., 87, 589 (1983); Manes, J., Stora, R., and Zumino, B., Commun. Math. Phys., 102, 157 (1985); Schwarz, A.S., Commun. Math. Phys., 155, 249