Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

До сих пор мы рассматривали только формулировку класси- ческой теории поля, основанной на открытой или замкнутой калибровочной алгебре. Теперь следует понять, каким образом в таких теориях проводятся квантово-механические вычисления. Физические матричные элементы можно вычислить с помощью функциональных интегралов с весом exp(iI[χ]), где, как объяснялось выше, IΨ[χ] получается из S[χ,χ‡], если положить χ‡n = δΨ[χ]δχn , или иными словами χ‡n′ = 0. Мы хотим вычислить влияние изменения Ψ[χ] íà

эти матричные элементы. Во-первых, рассмотрим амплитуду ваку- ум-вакуум:

В результате сдвига δΨ[χ] â Ψ[χ] эта амплитуда изменяется на ве-

личину

Мы видим, что условие независимости амплитуды вакуум-вакуум от Ψ в общем случае не совпадает с мастер-уравнением (15.9.2), а

является так называемым квантовым мастер-уравнением

В системе единиц СГС множитель 1/$ сопровождает каждый множитель S[χ, χ‡], так что второе слагаемое в (15.9.35) содержит на

самом деле коэффициент –2i$ вместо –2i. Таким образом, всякий

раз, когда удовлетворяется квантовое мастер-уравнение (15.9.35), слагаемое в S нулевого порядка по $ удовлетворяет исходному ма- стер-уравнению (15.9.2). Обычно нетрудно построить действие, удовлетворяющее классическому мастер-уравнению, так что первое слагаемое в (15.9.35) обращается в нуль, и вопрос заключается в том, обращается ли в нуль второе слагаемое. Случай, когда квантовое мастер-уравнение (15.9.35) не удовлетворяется локальным действием, рассмотрен в гл. 22 в связи с аномалиями.

Предполагая, что квантовое мастер-уравнение (15.9.35) удовлетворяется, можно записать изменение, происходящее в среднем по вакууму от оператора O [χ] за счет изменения δΨ â Ψ, â âèäå

Коэффициент при экспоненте под интегралом в (15.9.36) равен sO [χ].

Мы видим, что средние значения операторов, инвариантных * относительно обобщенных БРСТ преобразований (15.9.16)–(15.9.17), не изменяются при изменении фиксирующего калибровку фермиона Ψ. Аналогичные результаты верны и для средних по вакууму от

двух или более операторов.

Приложение А. Теорема об алгебрах Ли

В этом приложении мы рассмотрим произвольную алгебру Ли G с генераторами tα и структурными константами Cαβγ и докажем экви-

валентность трех утверждений.

* Для открытых калибровочных теорий в общем случае не существует операторов, отличных от констант, которые инвариантны относительно преобразований (15.9.16)–(15.9.17). Вместо этого следует рассматривать операторы O (χ,χ‡), инвариантные относительно нильпотентного «квантового БРСТ оператора» σ, определенного равенством σO =(O,S) – i O. Если O зависит только от χ, это условие сводится к (15.9.36). Если σO = 0, тогда среднее от O (Ψ, δΨ/δχ) не изменяется в результате малого изменения фиксирующего калибровку фермиона Ψ.24

72 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

где S — действительная несингулярная матрица), в котором структурные константы C~αβγ антисимметричны не только по паре нижних индексов β è γ, но и по всем трем индексам α, β è γ.

с: Алгебра Ли G есть прямая сумма коммутирующих компактных простых и U(1) подалгебр Hm.

Мы докажем эквивалентность утверждений a, b и c, показав, что а подразумевает b, b подразумевает с и с подразумевает а. Попутно мы покажем также, что если эти условия выполнены, то можно выбрать генераторы алгебры G в виде tma, где m нумерует простую или U(1) подалгебру Hm, к которой принадлежит tma, а индекс а нумерует отдельные генераторы в этой подалгебре, при- чем матрица gma,nb, удовлетворяющая условию (15.А.1), принимает вид

ãäå gm–2 — произвольная действительная положительная константа. Во-первых, предположим выполнение а, т. е. существование действительной симметричной положительно определенной матрицы gαβ, удовлетворяющей условию инвариантности (15.А.1). Тогда можно

определить новые генераторы

причем существование действительной обратной матрицы квадратного корня g–1/2 гарантируется положительной определенностью gαβ.

Коммутаторы новых генераторов имеют вид

(В таком базисе удобно не проводить различия между верхними и

также по γ è δ, а следовательно, полностью антисимметрична, что

доказывает b.

Далее, предположим, что выполнено b, т. е. существует базис алгебры Ли, в котором структурные константы полностью анти-

ного представления являются мнимыми и антисимметричными, а следовательно, эрмитовыми. Тогда согласно общей теореме об эрмитовых матрицах *, генераторы ~t Aα либо неприводимы, либо пол-

ностью приводимы.

Под неприводимым множеством N × N матриц ~t Aα подразу-

мевается множество, для которого не существует подпространства размерности меньшей, чем N, остающегося инвариантным под дей-

ствием всех ~t Aα . Иными словами, не существует множества менее чем N ненулевых векторов (ur)β, для которых при каждом α è r (~t Aα )βγ (ur )γ является линейной комбинацией векторов (us)β. Так как матрицы (~t Aα )βγ в этом базисе пропорциональны структурным

* Если множество матриц Hα не является неприводимым, то, по опреде-

лению, должно существовать множество векторов un, на которые натянуто подпространство (отличное от всего пространства), остающееся инвариантным под действием Hα. Это означает, что для всех α и n выполнено Hα un = åm(Cα )mn um . В этом случае мы можем выбрать базис, состоящий

из векторов un и векторов vk, на которые натянуто пространство, ортогональное всем un. Åñëè Hα эрмитовы, тогда (un , Hα vk ) = åm (Cα )*mn (um , vk ) = 0 ,

так что пространство, натянутое на vk, также инвариантно под действием Hα: Hαvk = ål (Dα )lk vl . В таком базисе матрицы Hα одновременно приводят-

ся к блочно-диагональной форме:

Продолжая тем же способом, можно полностью привести Hα к блочно-

диагональной форме с неприводимыми матрицами в блоках.