Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

инвариантность следует распространить на неабелевы калибровоч- ные преобразования.

В первой работе Янга и Миллса 1954 года 1 в качестве неабелевой калибровочной группы была выбрана группа SU(2) изотопи- ческих вращений, а векторные поля, аналогичные полю фотонов, интерпретировались как поля сильновзаимодействующих векторных мезонов с изотопическим спином единица. Это предположение немедленно столкнулось с той трудностью, что масса этих векторных мезонов должна была, как у фотонов, равняться нулю, но тогда, казалось бы, любые такие частицы должны были бы быть уже известны экспериментально. Никакие подобные частицы в то время не наблюдались. Другая проблема заключалась в том, что было непонятно, как эту теорию использовать: в ней, как и во всех известных в то время теориях сильных взаимодействий, любое применение теории возмущений казалось невозможным из-за большого значения константы связи.

Вскоре калибровочные теории были обобщены на случай произвольных неабелевых калибровочных групп 2. Продолжалось математическое исследование проблем квантования этих теорий, особенно в работах Фейнмана 3, Фаддеева и Попова 4 и де Витта 5, отчасти в качестве разминки перед попыткой решения более сложной проблемы квантования общей теории относительности. Было показано, что наивные фейнмановские правила, получающиеся простым рассматриванием лагранжиана, должны быть дополнены петлями «гостов». Однако до конца 60-х годов оставалось непонятным физическое значение таких теорий. В конце концов оказалось, что все наблюдаемые взаимодействия элементарных частиц порождаются векторными полями, связанными с локальными калибровоч- ными симметриями. Соответствующие частицы спина 1 либо очень тяжелые, что является следствием спонтанного нарушения калибровочной симметрии, либо находятся «в плену» в результате роста константы связи на больших расстояниях. Все эти вопросы будут обсуждаться в главах 21 и 18, соответственно. В этой главе мы зай-

Aμ(x) è gμν(x) нединамическими с-числовыми функциями, которые просто ха-

рактеризуют выбор фазы или системы координат, соответственно. Такие симметрии становятся физически значимыми, когда Aμ(x) è gμν(x) рассматрива-

ются как динамические поля, по которым производится интегрирование при вычислении элементов S-матрицы.

мемся формулировкой неабелевых калибровочных теорий и выводом для них фейнмановских правил.

15.1. Калибровочная инвариантность

Предположим, что лагранжиан нашей теории инвариантен относительно совокупности бесконечно малых преобразований полей материи ψl(x) âèäà

с каким-то набором независимых постоянных матриц * tα и действительными инфинитезимальными параметрами εα(x), которые (как и

в случае электродинамики) могут зависеть от положения в про- странстве-времени. Предполагается, что эти преобразования симметрии являются инфинитезимальными преобразованиями некоторой группы Ли. Как показано в разделе 2.2, отсюда следует, что tα

должны подчиняться коммутационным соотношениям

ãäå Ñγαβ — совокупность действительных констант, называемых

структурными константами группы. Из антисимметрии коммутатора немедленно вытекает, что и структурные константы антисимметричны:

Кроме того, из тождества Якоби

* В этом томе книги мы в общем случае будем помечать генераторы симметрии буквами α, β, и т. д. из начала греческого алфавита, с тем, чтобы отличать эти метки от индексов μ, ν, и т. д., используемых для

обозначения пространственно-временных координат. Позднее, рассматривая нарушенные симметрии, мы часто будем помечать буквами a, b, и т. д. из начала латинского алфавита генераторы спонтанно нарушенных симметрий, и буквами i, j, и т. д. из середины этого алфавита — генераторы ненарушенных симмметрий.