Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

L ′ = − 1 θαβεμνρσFα μνFβρσ

A 2

с другой постоянной матрицей θαβ. Это слагаемое является на самом

деле полной производной и поэтому не влияет на уравнения поля или фейнмановские правила. Однако подобные слагаемые приводят к непертурбативным квантово-механическим эффектам, которые будут обсуждаться в разделе 23.6.

Прежде чем рассматривать свойства матрицы gab, полезно обратить внимание на то, что невозможно ввести кинематическое слагаемое для калибровочного поля Aαμ(x), не включив одновременно

взаимодействия этого поля, а именно, слагаемые в (15.2.3), возникающие из квадратичной по полям части напряженности поля Fαμν,

определенной формулой (15.1.13). В этом пункте неабелевы калибровочные теории вновь напоминают общую теорию относительности, где кинематическая часть лагранжиана гравитаöионного поля содержится в лагранжиане Эйнштейна–Гильберта −gR / 8πG, òàê-

же содержащего самодействие поля. Причины в обеих случаях схожи: гравитационное поле взаимодействует само с собой, поскольку оно взаимодействует со всем, что несет энергию и импульс, а калибровочное поле взаимодействует само с собой, так как оно взаимодействует со всем, что преобразуется по нетривиальному представлению (в данном случае, присоединенному) калибровочной группы. В этом состоит отличие от электродинамики, где фотон не несет электрического заряда, т. е. квантового числа, с которым он взаимодействует. Отсюда и возникает возможность ввести в электромагнетизме кинематическое слагаемое –FμνFμν/4, не привнося-

щее новых взаимодействий.

Числовая матрица gαβ может быть сделана симметричной и

должна быть действительной, чтобы получился действительный лагранжиан. Для того, чтобы рассматриваемое слагаемое удовлетворяло требованию калибровочной инвариантности (15.2.2), для всех δ

должно выполняться равенство

gαβFαμνCβγδFγμν = 0 .

Чтобы это соотношение выполнялось без наложения дополнительных функциональных соотношений между компонентами F, матрица gαβ должна удовлетворять условию

Существует еще одно важное условие на матрицу gαβ. Êàê è â

квантовой электродинамике, правила канонического квантования и свойства положительности квантово-механическкого скалярного произведения требуют, чтобы матрица gαβ в лагранжиане (15.2.3) была положительно определенной. (Это означает, что gαβuαuβ положитель-

но для всех действительных u и обращается в нуль, только если uα = 0 äëÿ âñåõ α.) Аналогом является требование, чтобы в кинема-

тической1 части1 лагранжиана действительного скалярного поля – Z∂μϕ∂μϕ – m2ϕ2 константа Z была бы положительной.

Приведенные требования на матрицу gαβ имеют далеко иду-

щие приложения. Оказывается, что следующие три утверждения эквивалентны.

а: Существует действительная симметричная положительно определенная матрица gαβ, удовлетворяющая условию инвариант-

ности (15.2.4).

которого структурные константы C~βγα антисимметричны не только по нижним индексам β è γ, но и по всем трем индексам α, β è γ. (Â

этом базисе удобно перестать различать верхние и нижние индексы

c: Алгебра Ли есть прямая сумма коммутирующих компактных простых и U(1) * подалгебр **.

* Автор использует для обозначения алгебры группы U(1) символ самой группы. Однако для обозначения алгебр Ли общепринятым является употребление малых букв типа u(1), su(2) и т. д. Большие же буквы используются для обозначения соответствующих групп Ли. Тем не менее, мы сохраняем здесь и далее авторские обозначения. — Прим. ред.

** Несколько определений. Подалгебра Н алгебры Ли G есть линейное пространство, натянутое на определенные действительные линейные комбинации ti = Giαtα генераторов tα алгебры G, такое, что Н само есть алгебра

Ли, в том смысле, что коммутаторы ti друг с другом имеют вид [ti, tj] = ickijtk. Подалгебра Н называется инвариантной, если коммутатор любого элемента полной алгебры G с любым элементом подалгебры Н принадлежит подалгебре Н. Простая алгебра Ли не содержит инвариантных подалгебр. U(1) подалгебра алгебры G имеет лишь один генератор, коммутирую-

В приложении А к этой главе дано доказательство эквивалентности утверждений a, b и с.7

Прежде чем переходить к обсуждению физических приложений этого результата, было бы полезно сказать чуть больше об условии компактности. Хотя нам это и не понадобится, укажем, что компактная алгебра Ли состоит из генераторов компактной группы Ли, т. е. группы, у которой инвариантный объем конечен. Например, группа вращений компактна, а группа Лоренца — нет. В ка- честве простого примера простой некомпактной алгебры Ли рассмотрим коммутационные соотношения

[t1, t2 ] = −it3 , [t2 , t3 ] = it1, [t3 , t1] = it2 .

В данном случае структурные константы действительны, но не полностью антисимметричны. Ненулевые компоненты структурных констант равны

C312 = –C321 = –1, C123 = –C132 = 1, C231 = –C213 = 1.

Метрика *, определяемая формулой (15.А.10), диагональна, причем g11 = g22 = –g33 = –2.

щий со всеми генераторами самой алгебры G. Полупростая алгебра Ли не содержит инвариантных абелевых подалгебр, т. е. инвариантных подалгебр, генераторы которых коммутируют друг с другом. Полупростые алгебры Ли есть прямые суммы простых (но не U(1)) алгебр Ли. Говорят, что простая или полупростая алгебра Ли компактна, если матрица Tr{tAαtAβ} = –CγαδCδβγ положительно определена. Смысл и важное значение свойств

простоты и компактности будут обсуждаться ниже. Когда говорят, что алгебра Ли G есть прямая сумма подалгебр Hn, имеют в виду, что можно найти базис для G с генераторами tna, в котором структурные константы принимают вид

Clcna mb = δlmδmnC( n)cab

ãäå C(n)kab – структурная константа подалгебры Hn.

* Термин «метрика» не случаен. С математической точки зрения, условие (15.2.4), являющееся условием калибровочной инвариантности лагранжиана (15.2.3), определяет метрику gab на алгебре Ли, инвариантную относительно присоединенного представления, — так называемую метрику Киллинга. — Прим. ред.

Эта матрица не является положительно определенной, поэтому алгебра Ли некомпактна. На самом деле, это алгебра Ли неком-пакт- ной группы O(2,1), т. е. группы Лоренца в двух пространственных и одном временном измерениях.

Два множества генераторов, отличающихся действительным неособенным линейным преобразованием, образуют базис одной и той же алгебры Ли и генерируют одну и ту же группу. Это неверно в случае комплексных линейных преобразований генераторов. В частности, любая простая алгебра Ли может быть приведена к компактной форме изменением фазы генераторов в подходящем базисе. Например, для алгебры Ли из рассмотренного примера всего лишь достаточно определить новые генераторы t′1 =it1, t′2 = it2, t′3 = t3, для которых коммутационные соотношения равны

Теперь структурные константы действительны и полностью анти-

симметричны: Cabc = εabc. В данном случае gab = 2δab, и алгебра ком-

пактна. Конечно, мы узнаем знакомую алгебру компактной группы трехмерных вращений О(3). Чтобы увидеть, что эта процедура всегда возможна для любой простой алгебры Ли, заметим, что матрица gab, определенная соотношением (15.А.10), действительна, симметрична и несингулярна, поэтому с помощью действительного ортогонального преобразования она может быть приведена к диагональной форме с ненулевыми элементами на главной диагонали. После этого достаточно умножить все генераторы, которые соответствуют в этом базисе отрицательным диагональным элементам

gab, на множители i.

Заметим без доказательства, что все конечномерные представления компактных групп Ли унитарны, а конечномерные представления компактных алгебр Ли, соответственно, эрмитовы. Кроме того, легко видеть, что только те алгебры Ли, которые могут иметь любое нетривиальное представление независимыми конечномерными эрмитовыми матрицами tα, являются прямыми сумма-

ми U(1) и компактных простых алгебр Ли. Чтобы показать это, определим

gαβ ≡ Trntαtβ s .