Определяем среднее время ожидания в очереди автомобилем, не получившим отказ, час.:

Определяем среднее время пребывания автомобиля в системе, час.:

Основные числовые характеристики функционирования АТП при n = 2 определены. В дальнейшем для построения графика оптимизации нам потребуются суммарные значения затрат, руб.:

Порядок вычисления вероятностей состояний и основных характеристик СМО закрытых ремонтных предприятий с универсальными постами при n = 3, 4 и т. д. аналогичен представленному выше.

Задание

Автотранспортное предприятие имеет в своем составе N автомобилей. Среднесуточный пробег автомобилей составляет L километров. Периодичность проведения технического обслуживания № 1 составляет 3000 км, технического обслуживания № 2 – 9000 км. Посты для выполнения ТО – 1,2 являются универсальными. Автомобили работают 280 дней в году. Среднее время обслуживания автомобиля при ТО–1 составляет а при ТО–2

Определить оптимальное количество постов для проведения технического обслуживания и характеристики работы автотранспортного предприятия (с построением графика).

При расчете экономических характеристик СМО учесть, что стоимость простоя одного автомобиля в течение единицы времени составляет – С_{пр. а}, руб.; затраты, связанные с простоем одного канала в течение единицы времени – С_ПР, руб.; расход средств на выплату зарплаты рабочим постов за единицу времени – С_ЗП, руб.

Дополнительные исходные данные для расчета выбрать по табл. 3.2.

Таблица 3.2

Контрольные вопросы

1. Отличия закрытых систем массового обслуживания от открытых систем.

2. Параметры закрытых СМО: интенсивность потока заявок, интенсивность обслуживания, количество постов ожидания.

3. Вероятностные характеристики СМО: вероятность простоя СМО, вероятность, что будет занято k каналов обслуживания, вероятность отказа в обслуживании, вероятность обслуживания.

4. Абсолютные характеристики СМО: абсолютная пропускная способность, максимальная пропускная способность, средняя длина очереди, среднее число занятых каналов, среднее число свободных каналов, среднее время ожидания обслуживания, среднее время пребывания заявки в СМО.

5. Экономические характеристики СМО.

6. Оптимизация числа обслуживающих каналов.

Практическая работа № 4

ОПТИМИЗАЦИЯ НОМЕНКЛАТУРЫ ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ

Цели:

– изучение номенклатуры запасных частей, входящих в группы А, В, С;

– научиться определять единый стоимостной и относительный стоимостный показатели для каждой запасной части;

– научиться определять номенклатуру запасных частей, входящих в группы А, В, С аналитическим методом.

Теоретические сведения

Хранить все выпускаемые в качестве запасных частей детали у дилера, и тем более на АТП (СТО), нерационально. Это приведет к значительному увеличению запасов, росту складских площадей и, самое главное, к неэффективному использованию запасов – большая их часть останется лежать «мертвым грузом». С другой стороны, поскольку отказы деталей носят случайный характер, то теоретически в любой момент может понадобиться любая из запасных частей.

Под номенклатурой запасных частей понимается перечень наименований элементов автомобиля, составленных в определенной последовательности в соответствии с технической документацией предприятий-изготовителей.

Определение номенклатуры запасных частей и объемов хранения на складах разного уровня осуществляется различными методами. В основу наиболее распространенного положено деление всей номенклатуры запасных частей для каждой модели автомобиля по частоте спроса на группы А, В и С. Согласно данному методу вся номенклатура деталей конкретной модели автомобиля (с точки зрения спроса на них) делится на группы А, В, С: первая группа А – детали высокого спроса, В – среднего и С – детали редкого спроса.

Номенклатуру групп А, В, С можно определить с использованием графического и аналитического методов расчетов. Графический метод расчета прост в использовании, но имеет значительную погрешность.

При графическом способе (рис. 4.1) на оси ординат наносятся значения , на оси абсцисс – индексы 1, 2, ..., i, ..., N, соответствующие присвоенным номерам позиций номенклатуры запасных частей.

Точки с координатами на графике соединяются плавной кривой OO'D, которая в общем случае является выпуклой. Затем проводится касательная LМ к кумулятивной кривой OO'D, параллельно прямой OD.

Прямая OD соответствует равномерному распределению затрат по всей номенклатуре, т. е. характеризует долю «определенной» детали в общем показателе:

Абсцисса точки касания О', округленная до ближайшего целого значения, отделяет от всей номенклатуры деталей первую группу N_A (группа А), в которую входят детали с показателями

Соответственно ордината точки О' – – указывает долю группы деталей в общем показателе

Продолжим деление на группы оставшейся номенклатуры деталей, воспользовавшись вышеописанным приемом. Соединим точку О' с точкой D и проведем касательную к кривой О'O"D, параллельную прямой О'D.

Абсцисса точки касания О'' делит оставшуюся номенклатуру деталей также на две группы: группа В и группа С.

Доля оставшейся «осредненной» детали составит:

где N_A – число деталей (номенклатура) группы А.

Таким образом, в группу В попадают детали с показателем , подчиняющимся неравенству:

Следует указать, что если кривая OO'О"D не выпуклая, то невозможно выделить ни одну из групп деталей; если кривая O'O"D выпуклая, то невозможно выделить группы В и С.

Аналитический способ расчета позволяет определять номенклатуру групп с необходимой точностью и включает в себя несколько этапов.

На первом этапе расчетов вводится единый стоимостный показатель, отражающий все виды затрат, связанных с i-й запасной частью. Данный показатель рассчитывается для каждой детали с использованием формулы:

где М_i – количество i-х деталей, израсходованных за определенный интервал времени (или пробег автомобиля), шт; C_ЗЧi – стоимость i-й детали, руб.; C_ТЭi – стоимость трудозатрат на устранение отказа i-й детали, руб.; C_Пi – потери прибыли предприятия, связанные с простоем автомобиля в ремонте, в частности, из-за отсутствия i-й запасной части, руб.

Полученные значения C_i ранжируются, располагаясь в убывающей последовательности:

Затем производится присвоение новых индексов: а = 1, b = 2, ..., т = N, где N – общее количество наименований деталей (номенклатура):

Для удобства расчетов на втором этапе вводятся относительные величины рассматриваемых стоимостных показателей q_i (в процентах), тем самым производим нормирование показателей:

Для удобства расчетов количество деталей N целесообразно нормировать в интервале 0–1 и ввести аргумент х. Величины q_i суммируются нарастающим итогом и представляются в табличной форме в виде пар значений для подбора аналитической зависимости.

В большинстве случаев используются две нелинейные зависимости:

Выбор той или иной зависимости зависит от значения коэффициента корреляции (чем он выше, тем точнее зависимость).

На третьем этапе определяем коэффициенты зависимостей (a₀, a₁, a, b) с использованием метода наименьших квадратов (МНК). При определении коэффициентов необходимо соблюдать начальные условия: первое – при х = 0, = 0; второе – при х = 1, = 1.

Методика определении коэффициентов представлена в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Методика определения коэффициентов зависимостей

Продолжение табл. 4.1

Для определения координат точки О' (рис. 4.1) воспользуемся теоремой Лагранжа, согласно которой:

(4.1)

где f' (x) – производная функции f (x) в точке касания; f (B), f (A) – значения функции f (x) в начальной и конечной точках.

Решив уравнение (4.1) относительно х_A, определим абсциссу и далее переходим к номенклатуре по формуле:

которая делит номенклатуру на две группы.

Вводим новую систему координат, принимая за начало отсчета абсциссу x_A и ординату (x_A). В некоторых случаях с целью унификации расчета шкалы по осям могут быть вновь отнормированы. Таким образом, основное уравнение (4.1) записывается в виде:

(4.2)

Пример. В результате анализа расходования запасных частей на предприятии были получены следующие данные (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Для проведения расчетов отнормируем величину аргумента, а также просуммируем значение q_i с нарастающим итогом (табл. 4.3)

Таблица 4.3

Отнормированные исходные данные

Используя метод наименьших квадратов, выполнив предварительно соответствующие преобразования, находим параметры зависимостей:

– а₀ = 2,4585; а₁ = –1,4998,

– а = 0,7328; b = 0,2688.

Результаты расчетов значений по приведенным аналитическим зависимостям приведены в табл. 4.4.

По результатам расчетов построен график (рис. 4.2).

Как видно из рис. 4.2 степенная зависимость (черная прерывистая линия) не точно описывает имеющиеся исходные данные (синяя линия). Таким образом, в качестве аналитической зависимости принимаем первую функцию (красная линия)

Для расчета абсциссы точки касания воспользуемся уравнением (4.1). Поскольку с одной стороны

а с другой стороны по теореме Лагранжа

(получается подстановкой в уравнение (4.1) значений функции и аргумента в начальных и конечных точках, т. е. при х = 0, у = 0 и при х = 1, у = 1), получим

В результате решения квадратного уравнения, с подстановкой в него уже определенных коэффициентов, получим два корня – x₁ = 1,28 и x₂ = 0,3. Так как значение аргумента не может быть больше единицы, то истинным корнем является x_A = x₂ = 0,3.

Подставив полученное значение аргумента в исходную аналитическую зависимость, получим относительную стоимостную оценку деталей группы А:

Полученные значения указывают координаты точки О' – границы группы А (рис. 4.1). Домножив x_A = 0,3 на количество (номенклатуру) деталей данного узла N, получим количественную оценку числа наименований деталей группы А.

Определим координаты точки О". При подстановке x_A = 0,3, q_A = 0,755 в формулу (4.2), находим

Затем по формуле

получим x = x_A+B = 0,45 и q_A+B = 0,88.

Если в качестве зависимости будет выбрана функция , то методика оценивания номенклатуры групп будет иметь следующие позиции:

Задание

По результатам анализа расхода запасных частей были получены данные по значениям единого стоимостного показателя (C_i) для различных деталей автомобиля (табл. 4.5 и 4.6). Исходя из имеющейся информации, определить номенклатуру запасных частей входящих в группы A, B, C используя аналитический метод расчета.

Таблица 4.5