Файл: Met_083.doc

Q_абс – абсолютная пропускная способность (среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени):

Q_макс – максимально возможная пропускная способность СМО:

М[S] – среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди):

М[K] – среднее число заявок на обслуживании (в каналах), или среднее число занятых каналов:

М[γ] – среднее число свободных каналов:

K_прост – коэффициент простоя каналов:

K_занят – коэффициент занятости каналов:

– среднее число заявок в СМО, т. е. на обслуживании и в очереди:

t_{ср. ожид} – среднее время пребывания заявки в очереди (среднее время ожидания обслуживания):

t_сум – среднее время пребывания заявки в СМО, т. е. в очереди и на обслуживании:

Величины Р₀ и М[K] характеризуют степень загрузки СМО. Эти величины представляют интерес с точки зрения стороны, осуществляющей эксплуатацию СМО. Например, если в качестве СМО рассматривается предприятие, выполняющее некоторые заказы, то эти величины представляют интерес для владельцев предприятия.

Величины Р_отк, Р_отн, t_{ср. ожид} и t_сум характеризуют качество обслуживания заявок. Они представляют интерес с точки зрения пользователей СМО. Желательна минимизация значений Р_отк, t_{ср. ожид}, t_сум и максимизация Р_отн.

Величина Q_абс представляет интерес с точки зрения стороны, осуществляющей эксплуатацию СМО. Обычно желательна максимизация этой величины, особенно в случаях, когда обслуживание каждой заявки обеспечивает получение определенной прибыли.

Величины М[S] и обычно используются в качестве вспомогательных для расчета других характеристик СМО.

Экономические характеристики СМО

Под экономическими характеристиками понимают величины, выражающие прибыль от работы СМО, затраты на обслуживание заявок и т. д.

Выручка от обслуживания заявок в СМО в течение времени T, руб.:

где С – выручка от обслуживания одной заявки, руб.

Затраты, связанные с обслуживанием заявок в СМО в течение времени T, руб.:

где С_ОБС – затраты, связанные с обслуживанием одной заявки, руб.

Затраты, связанные с эксплуатацией СМО в течение времени T, руб.:

где С_РАБ – затраты, связанные с работой одного канала в течение единицы времени, руб.; С_ПР – затраты, связанные с простоем одного канала в течение единицы времени, руб.

Убытки, связанные с отказами в обслуживании за время T, руб.:

где С_ОТК – убытки, связанные с отказом в обслуживании одной заявки, руб.

Оптимизация числа обслуживающих постов

Для определения оптимального числа обслуживающих постов проведенное вероятностно-статистическое исследование надо дополнить, т. е. связать с экономической стороной явления, оценивающей процесс в рублях.

Для выбора оптимального варианта мощности зоны ТО и ТР (оптимального числа обслуживающих постов) необходимо определить функцию цели:

где С_О – функция цели (суммарные затраты); С_А – затраты, связанные с отказом автомобилю в обслуживании (для разомкнутой СМО); С_п – затраты, связанные с простоем обслуживающей системы.

Задаваясь различным числом обслуживающих постов, вычисляют и строят кривые, отвечающие первому и второму слагаемым. Графическая интерпретация функции цели приведена на рис. 1.1.

По мере увеличения числа обслуживающих постов, затраты, связанные с отказом автомобилю в обслуживании, уменьшаются. С другой стороны, увеличение числа ремонтных бригад приводит к увеличению числа простоев постов и к увеличению затрат на выплату заработной платы рабочим ремонтных постов, что приводит к увеличению затрат, связанных с простоем обслуживающей системы.

Складывая значения ординат кривых С_А и С_п, получаем суммарную кривую С_О расхода денежных средств предприятием – функцию цели.

Кривая С_О является вогнутой и имеет минимум. Очевидно, что минимальному расходу средств отвечает максимальный доход предприятия.

На основе построенного графика определяют оптимальное количество постов, при котором организация процесса с экономической точки зрения будет наилучшей.

Обобщенная формула для решения открытой задачи, т. е. для многоканальной СМО с ограничением на длину очереди, имеет вид:

Пример. Исследуем функционирование станции технического обслуживания автомобилей (СТОА) с ожиданием в очереди.

Работу станции технического обслуживания можно представить как функционирование многоканальной (с несколькими постами) разомкнутой системы массового обслуживания. Причем посты СТОА могут быть универсальными или специализированными.

Универсальными называются такие посты, на которых выполняются все работы данного вида ТО или ремонта.

Специализированными называются такие посты, на которых выполняются однородные работы или работы по обслуживанию и ремонту отдельных агрегатов автомобиля.

В нашем примере расчет проводится для универсальных постов.

Станция имеет в своем распоряжении одно место для ожидания в очереди, количество мест ожидания задается самостоятельно, исходя из возможностей рассчитываемой СТО. После того, как место для ожидания в очереди будет занято, прибывающие автомобили получают отказ. Режим работы: восьмичасовой рабочий день.

Требуется определить числовые характеристики функционирования станции и определить оптимальное количество постов, при котором ее работа будет давать наибольший экономический эффект.

Исходными данными для расчета являются: количество каналов обслуживания (постов), количество мест ожидания, среднее время обслуживания заявки в канале, интенсивность потока заявок.

Так как целью расчета является оптимизация количества рабочих постов (n), то значениями n следует задаваться, начиная с 1 до тех пор, пока расчетное значение функции цели не достигнет своего минимума, полученное при этом соответствующее значение n и есть искомая величина.

Исследуемая СТОА выполняет обслуживание и ремонт 5 элементов.

Исходя из имеющейся статистической информации, можно определить общее количество заездов автомобилей и долю заездов по элементам. Всего за исследуемый период было зафиксировано 6130 заездов, количество заездов и время обслуживания по элементам представлено в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Количество заездов и время обслуживания по элементам

Так как на рассчитываемой СТОА посты универсальные, то необходимо определить среднее время обслуживания по всем элементам. Зная долю заездов по элементам и время обслуживания, можно найти среднее время обслуживания по всем элементам, час:

Для расчета интенсивности заездов используем исходные данные, представленные в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Исходные данные для определения интенсивности потока заявок (λ)

Для оценки интенсивности заездов необходимо сумму произведений среднего количества заездов в день и количества дней из всего периода, в которые были зарегистрированы заезды, разделить на общее количество дней, в которые были зарегистрированы заезды.

Для нашего примера:

– интенсивность заездов по первому элементу:

– интенсивность заездов по второму элементу:

– интенсивность заездов по третьему элементу:

– интенсивность заездов по четвертому элементу:

– интенсивность заездов по пятому элементу:

В итоге общая интенсивность заездов за рабочий день на СТОА составит:

Для дальнейших расчетов нам необходима часовая интенсивность, то есть полученное значение надо разделить на 8 (продолжительность рабочего дня):

В связи с тем, что нам необходимо рассчитать СМО с универсальными постами, в дальнейших расчетах будет использоваться общая часовая интенсивность заездов на СТОА.

Для расчета экономических характеристик необходимо знать затраты, связанные с обслуживанием одной заявки (С_ОБС), затраты, связанные с работой одного канала в течение единицы времени (С_РАБ), затраты, связанные с простоем одного канала в течение единицы времени (С_ПР), убытки, связанные с отказом в обслуживании одной заявки (С_ОТК).

Для оценки стоимости своих услуг СТО использует стоимость норма-часа (С_н-ч). Клиент оплачивает оказанные ему услуги, исходя из трудоемкости выполнения операции, т. е. из времени, реально затраченного на устранение отказа или выполнения обслуживания, в соответствии со стоимостью норма-часа.

На рассчитываемой СТОА стоимость норма-часа составляет 150 рублей. Распределение полученной от работы прибыли представлено в табл. 1.3.

Таблица 1.3

После обработки исходной информации все необходимые для расчета параметры были определены, теперь можно непосредственно приступить к решению поставленной задачи, т. е. определению основных характеристик СМО и оптимизации количества обслуживающих постов.

В расчетах вместо величины будем использовать интенсивность обслуживания заявок:

и приведенную плотность процесса:

Как уже отмечалось выше, значением параметра n (количеством каналов или постов обслуживания) будем задаваться.

Поясним порядок вычисления вероятностей состояний и основных характеристик СМО при n = 1.

Определяем вероятность того, что система будет в состоянии простоя:

Определяем вероятность состояния системы до возникновения очереди:

Определяем вероятность состояния системы после возникновения очереди:

Убеждаемся, что расчет выполнен правильно:

Определяем вероятность отказа:

Определяем относительную пропускную способность станции:

Из расчетов следует, что 10 % прибывающих автомобилей будут поставлены для немедленного обслуживания и 90 % получат отказ в обслуживании.

Вычисляем абсолютную пропускную способность станции за час работы:

Вычисляем максимально возможную пропускную способность станции за час работы:

Вычисляем математическое ожидание числа занятых каналов:

Определяем математическое ожидание длины очереди:

Определяем среднее число свободных каналов:

Вычисляем коэффициент простоя каналов:

Вычисляем коэффициент занятости каналов:

Определяем среднее число заявок в СМО:

Определяем среднее время ожидания в очереди автомобилем, не получившим отказ, час.:

Определяем среднее время пребывания автомобиля в системе, час.:

Вычисляем убытки, связанные с отказами в обслуживании, руб.:

Определяем затраты, связанные с эксплуатацией СМО, руб.:

Вычисляем затраты, связанные с обслуживанием заявок в СМО, руб.:

Основные числовые характеристики функционирования СТОА при n = 1 определены. В дальнейшем для построения графика оптимизации нам потребуются суммарные значения затрат и значение функции цели, руб.:

Теперь поясним порядок вычисления вероятностей состояний и основных характеристик СМО с ограничением на длину очереди с универсальными постами при n = 2. Расчет выполняется аналогично.

Определяем вероятность того, что система будет в состоянии простоя:

Определяем вероятность состояния системы до возникновения очереди:

Определяем вероятность состояния системы после возникновения очереди:

Убеждаемся, что расчет выполнен правильно:

Определяем вероятность отказа:

Определяем относительную пропускную способность станции:

Из расчетов следует, что 20 % прибывающих автомобилей будут поставлены для немедленного обслуживания и 80 % получат отказ в обслуживании.

Вычисляем абсолютную пропускную способность станции за час работы:

Вычисляем максимально возможную пропускную способность станции за час работы:

Вычисляем математическое ожидание числа занятых каналов:

Определяем математическое ожидание длины очереди:

Определяем среднее число свободных каналов:

Вычисляем коэффициент простоя каналов:

Вычисляем коэффициент занятости каналов:

Определяем среднее число заявок в СМО:

Определяем среднее время ожидания в очереди автомобилем, не получившим отказ, час.:

Определяем среднее время пребывания автомобиля в системе, час.:

Вычисляем убытки, связанные с отказами в обслуживании, руб.:

Определяем затраты, связанные с эксплуатацией СМО, руб.:

Вычисляем затраты, связанные с обслуживанием заявок в СМО, руб.:

Основные числовые характеристики функционирования СТОА при n = 2 определены. В дальнейшем для построения графика оптимизации нам потребуются суммарные значения затрат и значение функции цели, руб.:

Дальнейший расчет характеристик СМО при n = 3, ….., n ведется аналогично предыдущим расчетам и в той же последовательности.

В результате проведенных расчетов для нашего примера получим характеристики СМО, представленные в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Значения основных числовых характеристик функционирования СМО