Файл: Учебнометодический комплекс Для студентовбакалавров, обучающихся по направлению.doc

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет»

Кафедра алгебры, геометрии

и методики преподавания математики

АЛГЕБРА

Учебно-методический комплекс

Для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению

010100 Математика

Горно-Алтайск

РИО Горно-Алтайского госуниверситета

2009

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Горно-Алтайского государственного университета

УДК 512.57

ББК 22.14

П88

Алгебра: учебно-методический комплекс (для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 010100 Математика) / Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2009.  124 с.

Составители:

Пуркина В.Ф., кандидат педагогических наук,

доцент кафедры алгебры, геометрии и МПМ

Горно-Алтайского государственного университета

Кайгородов Е. В., ст. лаборант

кафедры алгебры, геометрии и МПМ

Горно-Алтайского государственного университета

Рецензенты:

Кириченко Т. Ф., кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и МПМ Санкт-Петербургского государственного педагогического университета

им. А. И. Герцена

Деев М. Е., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и МПМ

Горно-Алтайского государственного университета
Пособие содержит учебно-методические материалы по дисциплине «Алгебра» для студентов дневного отделения физико-математического факультета I курса по направлению «010100 Математика» и рассчитано на 1 семестр. Дисциплина «Алгебра» является общепрофессиональной дисциплиной федерального компонента ОПД Ф.02 для данного контингента студентов.

 Пуркина В.Ф., Кайгородов Е. В., 2009

1. Квалификационная характеристика бакалавра……...….

2. Набор компетенций бакалавра………………..…………

3. Рабочая программа

3.1. Цели и задачи дисциплины …………………..……..

3.2. Обязательные требования к минимуму содержания дисциплины……………………………..…..

3.3. Распределение часов …………………………….….

3.4. Технологическая карта учебного курса «Алгебра»

3.5. Содержание дисциплины……………………………

3.5.1. Лекционный курс………………………………..

3.5.2. Практические занятия ………………………….

3.5.3. Самостоятельная работа…………………………

3.5.4. Темы курсовых работ..………………………….

4. Вопросы к зачету и экзамену..………………………….

5. Лекции по алгебре……………………………………….

6. Практикум по алгебре……………………………………

7. Глоссарий…………………………………………………

8. Основная и дополнительная литература………………..

3

4
4
5

5

5

6

7

10

13

13

14

15

94

118

119

1. Квалификационная характеристика

бакалавра
Бакалавр математики подготовлен к выполнению деятельности в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления; программно-управленческому обеспечению научно-исследова-тельской, проектно-конструкторской и эксплуатациионно-управленческой деятельности.

Объектами профессиональной деятельности бакалавра математики являются научно-исследовательские центры, органы управления, образовательные учреждения, промышленное производство. Исходя из своих квалификационных возможностей, выпускник по направлению 010100 Математика может занимать должности: математик, инженер-программист (программист) и др.в соответствии с требованиями Квалификационного справочника должностей руководителей, бакалавров и других служащих, утвержденного постановлением Минтруда России от 21.08.98 № 37.

2. Набор компетенций бакалавра
После изучения курса «Алгебра» студенты должны:

овладеть основными методами современной алгебры;
приобрести опыт использования алгебраических методов в процессе решения задач смежных математических дис-циплин (геометрии, мат. анализа и т. д.)
получить представление о роли алгебры в системе математи-ческого знания и перспективах ее применения в естест-венных и гуманитарных науках.

3. Рабочая программа
Дисциплина «Алгебра» является общепрофессиональной дисциплиной федерального компонента. Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов первого курса дневных отделений физико-математических факультетов по направлению «010100 Математика» и рассчитано на один семестр.
3.1. Цели и задачи дисциплины

Познакомить студентов 1 курса с основными понятиями и методами современной алгебры;
Научить применять их в процессе решения различных задач;
Раскрыть роль современной алгебры в системе математи-ческого знания;
Сформировать у студентов алгебраическую составляющую математической культуры.

3.2. Обязательные требования к минимуму содержания дисциплины
В результате изучения курса «Алгебра» студенты должны овладеть следующим материалом:

n-арные операции на множествах. Алгебры. Подалгебры. Модели. Гомоморфизмы алгебр. Группа. Аксиомы группы. Подгруппа, достаточные условия подгруппы. Кольцо, поле, линейное векторное пространство.

Определители и их свойства. Системы линейных уравнений методы их решения. Поле комплексных чисел.

Теория делимости в кольце Z. Теория делимости в кольце многочленов P[x]. Методы нахождения корней многочлена из кольца P[x].
3.3. Распределение часов

Семестр	Учебные занятия						Контроль
	Общий объем	В том числе
		аудиторные				Самост. работа
		всего	из них
			лекции	практич.	лабор.
1	148	108	54	54	-	40	зач. экз.

3.4. Технологическая карта учебного курса «Алгебра»

№ п/п	Темы	Всего часов		Аудиторные занятия		Самост. занятия
				лекции	практ.
Модуль 1
1	Понятия об основ-ных алгебраичес-ких структурах	20		6	6	8
Модуль 2
2	Матрицы и определители	22		8	8	6
Модуль 3
3	Системы линейных уравнений, методы их решения	20		6	8	6
Модуль 4
4	Комплексные числа	16		6	4	6
Модуль 5
5	Теория делимости в кольце Z	22		8	6	8
Модуль 6
6	Теория делимости в кольце P[x]	48		20	22	6
Форма итогового контроля			Зачет и экзамен

3.5.Содержание дисциплины

Основные алгебраические структуры

N-арные операции на множествах. Алгебры. Подалгебры. Типы алгебр: группа, кольцо, поле, линейное пространство. Кольцо матриц. Определители и их свойства, методы вычисления.

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений методы их решения: Гаусса, Крамера, матричный.

Кольца и поля

Поле комплексных чисел. Кольцо целых чисел. Отношение делимости в кольце Z и его свойства. Кольцо многочленов P[x]. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной и его свойства.
3.5.1. Лекционный курс — 54 часа
Лекция №1

Понятия об основных алгебраических структурах. Алгебры, подалгебры. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр.

Лекция №2

Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией. Группа, аксиомы группы. Мультипликативная и аддитивная форма записи. Группы конечные и бесконечные. Подгруппа. Достаточные условия подгруппы.

Лекция №3

Кольцо, поле, линейное пространство. Арифметическое n- мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.

Лекция №4

Алгебры матриц. Матрицы типа (nm) и квадратные матрицы. Операции над матрицами. Свойства операций. Группа, кольцо и линейное пространство матриц.

Лекция №5

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Элементарные матрицы. Обратимые матрицы. Условия обра-тимости матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

Лекция №6

Перестановки и подстановки. Четные и нечетные подстановки. Конечная группа подстановок и ее знакопеременная подгруппа.

Лекция №7

Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Определитель произведения матриц. Способы вычисления определителя.

Лекция №8

Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы. Следствия системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных урав-нений и элементарные преобразования системы. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Лекция №9

Методы решения систем линейных уравнений: метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса); запись и решение системы

n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме (матричный метод); правило Крамера.

Лекция №10

Однородные системы линейных уравнений. Пространство решений однородных систем линейных уравнений. Фундаментальный набор решений (базис пространства) однородных систем линейных уравнений. Связь между реше-ниями неоднородной линейной системы и ассоциированной с ней однородной системы.

Лекция №11

Принцип расширения в алгебре. Причины, обуславливающие расширения поля действительных чисел до поля комплексных чисел. Построение поля комплексных чисел. Плоскость комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел.

Лекция №12

Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряженные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня квадратного из комплексного числа.

Лекция №13

Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Лекция №14

Кольцо целых чисел Z. Отношение делимости в кольце Z. Свойства отношения делимости в кольце Z. Кольцо классов вычетов по модулю m. Деление с остатком в кольце Z. Теорема о делении с остатком.

Лекция №15

Наибольший общий делитель целых чисел и его свойства. Способы нахождения наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя.

Лекция №16

Взаимно простые числа и их свойства. Наименьшее общее кратное целых чисел и его свойства. Способы нахождения наименьшего общего кратного.

Лекция №17

Простые и составные числа. Свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики и следствия из нее.

Лекция №18

Построение кольца многочленов P[x] от одной переменной над полем. Линейное пространство многочленов от одной переменной. Свойства степеней многочленов.
Лекция №19

Отношение делимости в кольце P[x] . Свойства отношения делимости в кольце P[x]. Деление с остатком в кольце P[x]. Теорема о делении с остатком.

Лекция №20

Наибольший общий делитель многочленов и его свойства. Способы нахождения наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя.