Файл: Учебнометодический комплекс Для студентовбакалавров, обучающихся по направлению.doc

Все алгебры можно классифицировать с точки зрения свойств операций, заданных на множествах-носителях. Эта классификация позволяет выделить из множества алгебр алгебры определенного рода, которые будут одинаковы, с точностью до изоморфизма.

Прежде, чем давать определения различных родов алгебр, договоримся о терминологии. Если задана бинарная алгебраическая операция на множестве А, то в зависимости от того, какая задана операция и как она обозначена, будем говорить и писать:

В общей терминологии	В аддитивной терминологии	В мультипликатив-ной терминологии
Операция *	Сложение +	Умножение •
Результат a * b	Сумма a + b	Произведение a • b
Нейтральный элемент е	Нуль 0	Единица 1
Симметричный элемент a'	Противополож-ный элемент -a	Обратный элемент a^-1

Определение 1. Алгебра <А, *> с одной бинарной операцией называется группоидом.

Например, , , - группоиды, a , , . - не являются группоидами.

Определение 2. Полугруппой называется алгебра <А, *> с бинарной ассоциативной операцией:

 a,b,c А, (а*b)*с = а*(b*с). Можно сказать, что полугруппа - это ассоциативный группоид.

Например, N, •>. Z, +>, Q, +> - полугруппы, так как операции сложения и умножения на множествах N, Z, Q - ассоциативны. Алгебры , не являются полугруппами.

Определение 3. Моноидом называется алгебра <А, *>, бинарная операция которой удовлетворяет условиям:

1)  a,b,c  А, (а*b)*с = а*(b*с) - операция ассоциативна,

2)  е А |  a  A, е*а = а*е = а - существует нейтральный элемент.

Можно сказать, что моноид - это полугруппа с нейтральным элементом.

Например, - является моноидом, так как е = 1, 1 Z, a не является моноидом, так как е=0, 0N.

Определение 4. Группой называется алгебра, бинарная операция которой удовлетворяет условиям, называемым также аксиомами группы:

А_l. " a,b,cÎ G, (a*b)*c = a*(b*c) (ассоциативность);

А₂.  е  G | aG, e*a = a*e = а (существование нейтрального элемента);

A₃. " a Î G,  a'  G | a*a' = a'*a = e (симметризуемость каждого элемента).

Из определения видно, что любая группа является полугруппой и моноидом. Можно сказать, что группа - это моноид, каждый элемент которого имеет симметричный элемент.

В некоторых случаях, удобно использовать следующее определение группы:

Определение 4*. Алгебра с бинарной операцией * называется группой, если выполняются следующие условия:

а) " a,b,c Î G, (a*b)*c = a*(b*c).

б) " a,b Î G, каждое из уравнений а*х = b и у*а = b имеет хотя бы одно решение.

Первое определение группы более удобно для проверки того факта, будет ли данная алгебра группой. Второе определение характеризует группу как алгебру, в которой разрешимы уравнения первой степени. Можно доказать, что определения 4 и 4* равносильны. В определении группы заложен алгоритм решения всех задач, связанных с выяснением вопроса - будет ли данная алгебра группой.

Определение 5. Группа называется коммутативной (или абелевой), если операция * коммутативна, т.е. выполняется аксиома:

А₄. " a,b Î G, a*b = b*a (коммутативность).

Указание. Для доказательства того, что множество А с операцией * является группой, нужно.

во-первых, показать, что операция * является бинарной операцией на множестве А, т.е. выполнимой и однозначной операцией ранга 2 на А,

во-вторых, проверить выполнимость аксиом A₁, A₂, A₃ группы для алгебры <А, *>.

Если первое из этих условий не выполняется, то нет смысла в проверке аксиом.

Пример 1. Рассмотрим множество Z целых чисел относительно операции сложения. Покажем, что - абелева группа.

а) Операция + является выполнимой на Z, так как " a,bÎZ, (a+b)Z; однозначной на Z, так как результат (а + b) определяется однозначно. Ранг операции "+" равен двум, так как в определении операции используется пара элементов (а, b)  (а + b). Следовательно, - группоид.

б) Операция "+" ассоциативна на Z, так как " a,b,cÎ Z,

(а+b)+с = а+(b +с). Следовательно, - полугруппа.

в) Роль нейтрального элемента будет играть число 0, так как

" a Î Z, а + 0 = 0 + а = а. Следовательно, - моноид.

г) Для всякого целого числа существует противоположное число: " aÎZ,  (-а) | а + (-а) = (-а) - а = 0.

Следовательно, - группа.

д) Операция + коммутативна на Z, так как " a,b Î Z, a + b = b + a.

Таким образом, - коммутативная группа. Ее обычно называют аддитивной группой целых чисел.

Пример 2. Рассмотрим множество Z относительно операции умножения целых чисел. Выясним, алгеброй какого рода является пара :

а) Умножение является бинарной операцией на Z, выполнимой и однозначной. Следовательно, - группоид.

б) Операция умножения на Z ассоциативна, т.е. " a,b,cÎZ,

a(bc) = (ab)c. Следовательно, - полугруппа.

в) Число 1 является нейтральным элементом относительно операции умножения, так как " a Î Z, 1 • а = а  1 = а. Значит,

- моноид.

г) Теперь осталось проверить аксиому существования симметричного элемента на Z относительно операции умножения. Очевидно, что все целые числа, кроме 1 и -1, не имеют обратных элементов на Z, то есть аксиома A₃ не выполняется.

Следовательно, - группой не является. Можно также показать, что уравнения ах = b, уа = b разрешимы не для всех целых чисел.

Пример 3. Выясним, будет ли группой множество Q⁰ рациональных чисел без нуля относительно бинарной операции умножения рациональных чисел.

а) Очевидно, что умножение рациональных чисел является бинарной операцией на Q, выполнимой и однозначной. Следовательно, < Q⁰, •> -группоид.

б) Операция умножения - ассоциативна. Следовательно,

< Q⁰, •> -полугруппа.

в) Нейтральный элемент равен 1. Следовательно, < Q⁰, •> - моноид.

г) Кроме того, " aÎ Q⁰, а^-1Q⁰ | а • а^-1 = а^-1• а = 1.
Итак, < Q⁰. •> - группа. Ее обычно называют мультипликативной группой рациональных чисел. Очевидно, что группа

< Q⁰, •> - абелева.

Определение 6. Группу называют бесконечной, если G -бесконечное множество.

Пример 4. Пусть {^к} - множество целочисленных степеней некоторого целого числа а. Тогда <{^к}, •> - бесконечная мультипликативная группа.

Проверьте самостоятельно!

Определение 7. Группу называют конечной, если G -конечное множество. Число элементов множества G называют порядком группы и обозначают |G| (или 0r, или (G: 1)).

Пример 5. Рассмотрим пример конечной группы. Пусть дано множество Z и натуральное число m. Будем делить все целые числа на m. Числа, которые при делении на m будут иметь одинаковые остатки, соберем в один класс. Так как различных остатков будет m (0, 1, 2, ... , m-1), то и различных классов тоже будет m {

}.

Обозначим это множество классов символом Z_m и зададим на этом множестве операцию сложения классов по правилу:

Тогда m, > - будет конечной группой. Докажите это самостоятельно!

Пример 6. Доказать, что 0, •>, где р - простое число и

будет тоже группой.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16

§3. Подгруппа. Достаточные условия подгруппы.

Определение 1. Пусть - группа и HG. Подалгебра <Н, *> группы называется подгруппой группы G, если алгебра <Н, *> сама является группой относительно операции *.

Если Н - подгруппа группы G, то пишут Н < G.

Замечание. Для того, чтобы выяснить, является ли некоторое множество HG подгруппой группы G относительно операции *, заданной на G, достаточно проверить следующие условия:

а)  а  Н,  b  Н, а * b  H - условие замкнутости,

б)  а  Н, а'  Н - условие симметризуемости,

называемые в дальнейшем достаточными условиями подгруппы.

Действительно, если  а  Н, а'  Н, то а * а'Н. Так как а * а' = е, то нейтральный элемент е группы G также принадлежит и множеству Н. Операция * на множестве Н является ассоциативной, так как она ассоциативна на множестве G, включающем Н. Итак, <Н, *> - группа.

Пример 1. Рассмотрим аддитивные группы чисел , <2Z, +>, , . Имеет место следующая цепочка 2Z
Покажем, например, что 2Z
а)  a, b  2Z, a + b  2Z,

б)  a  2Z, -a  2Z.

Таким образом, достаточные условия подгруппы выполнены.

Аксиома нейтрального элемента выполнима на 2Z, так как из условий а) и б) следует, что а + (- а) = 0, 02Z. Аксиома ассоциативности тоже выполнима, так как 2ZZ. Таким образом, 2Z < Z.

Пример 2. Подгруппами абстрактной группы G будут так называемые тривиальные подгруппы - сама группа G, т е G
Пример 3. Показать, что алгебра +, +> не является подгруппой аддитивной группы .

Действительно, R⁺  R. Кроме того,

а)  a, b  R⁺. (a + b)R⁺. - условие замкнутости выполнено,

б) aR⁺ -aR⁺, - условие симметризуемости не выполняется на R⁺. Следовательно, алгебра < R⁺, +> не является подгруппой группы R,+>.

§4. Кольцо, поле, линейное пространство.

Определение 1. Алгебра <А, +, •> - называется кольцом, если бинарные операции +, • удовлетворяют условиям:

1 -4) <А, +> - коммутативная группа

5) " a, b, c Î A, a • (b + c) = ab + ас

(b + с) • а = bа + са

Из определения следует, что любое кольцо - это коммутативная группа, в которой операция сложения связана с операцией умножения левым и правым дистрибутивными законами. На операцию умножения в общем случае никаких ограничений не накладывается. Если операция умножения дополнительно обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и нейтральным элементом, то кольцо называют ассоциативно - коммутативным кольцом с единицей.

Пример 1. , , , m, +, •> - коммутативные кольца.

Определение 2. Алгебра <А, +, • > называется полем, если бинарные операции сложения и умножения удовлетворяют условиям (аксиомам):

1 -4) < А, +> - коммутативная группа

5-8) <А\{0}, •> - коммутативная группа

9)" a, b, c Î A, a • (b + c) = ab + ас

(b +с) • а = bа + са

Из определения следует, что любое поле - это аддитивная и мультипликативная группа одновременно, а также коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Пример 2. , , P, +, • > - поля.

Пусть дано не пустое множество V и поле F.

Элементы множества V будем обозначать малыми буквами латинского алфавита и называть векторами. Элементы поля F будем обозначать малыми буквами греческого алфавита и называть скалярами.

Определим на множестве V бинарную операцию сложения векторов : VVV, +  а + b

и внешнюю композицию w: F•VV

w:<,а>  а (умножение вектора на скаляр),

которую при фиксированном значении скаляра можно считать унарной операцией на множестве V.

Определение 3. Алгебра называется линейным векторным пространством относительно операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, если 1-4) - коммутативная группа.

5)  a, b  V    F, (а+b) = а + b

6)  ,   F  a  V, (+) • a = a + a

7)  ,   F  a  V, ( • ) • a = a • (b • a)

8) " a Î V, la = a

Из определения следует, что любое линейное векторное пространство является аддитивной коммутативной группой.

Примеры 3. n, + {wl | R}> - арифметическое линейное векторное пространство.

Роль векторов в этом пространстве играют арифметические векторы вида: a =(₁,₂, ...,_n)

Операция  - это операция сложения таких векторов, операция wl -это операция умножения арифметического вектора на действительное число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют условиям 1-8. Покажем, например, что n, +> - коммутативная группа.

1. Так как операция + по определению является бинарной операцией на Rⁿ, то < Rⁿ, +> - алгебра.

2.  a, b  Rⁿ, a + b = b + a

Действительно, пусть a =(₁,₂, ...,_n), b = (₁ ₂, ... ,_n)

Тогда а+b=(a₁+₁,a₂+₂, ...,a_n+_n), b+a=(₁+a₁,₂+a₂, ...,_n+a_n)

Так как операция сложения действительных чисел коммутативна, то a+b=b+a

3. " a, b, cÎ Rⁿ, (a+b)+c=a+(b+c) проверяется аналогично.

4. Роль нуля будет играть вектор  =(0,0 .. 0).

5. " a ÎV -а : а + (- а) = (-а) + а =  действительно, если a =(a₁,a₂, ...,a_n), то -a =(-a₁,-a₂, ...,-a_n), которые в сумме дадут нулевой вектор.

Итак, n, +> - коммутативная группа. Остальные условия в определении линейного пространства проверить самостоятельно.

Замечание. Линейные пространства 1, + {w | R}>, 2, +{w | R}>, <R³,+{w | R}> имеют наглядную геометрическую интерпретацию:

R¹ - множество радиусов-векторов на прямой;

R² - множество радиусов-векторов на плоскости;

R³ - множество радиусов-векторов в пространстве.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16

Глава 2. Матрицы и определители.

Перечень основных знаний и умений по данной теме:

- знать, какие операции определяются на множестве Mmn(R), при каких условиях они выполнимы:

- знать основные свойства операций, определенных на множестве Mmn(R);

- знать и уметь выполнять алгоритм каждой операции;

- уметь решать матричные уравнения;

- знать определение детерминанта n-го порядка, понимать структуру этого определения;

- знать основные свойства определителя;

- уметь записать разложение определителя порядка n = 2, n = 3, n = 4:

- знать и уметь пользоваться правилом Саррюса;

- уметь приводить определитель любого порядка с помощью элементарных преобразований к «треугольному виду» и вычислять его.

§1.Матрицы. Группа и кольцо матриц.

Пусть дано поле R. тогда таблицу вида:

, где _ikR, называют матрицей порядка mn и обозначают короче ||_ik|| i = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ...,m или буквами А, В, С, ...

Любая строка этой матрицы есть n-мерный арифметический вектор, а любой столбец - m-мерный арифметический вектор.

Всю матрицу можно рассматривать как mn -мерный вектор.

Множество всех матриц с элементами из поля R принято обозначать символом Mmn(R). На некоторых подмножествах этого множества можно определить две бинарные операции (+, ) и две унарные операции (умножение матрицы на скаляр и нахождение обратной матрицы).

Операция сложения матриц определяется только для тех матриц из множества Mnm(R), которые имеют одинаковый порядок, т.е. одинаковое число строк и столбцов.

Если A = ||_ik|| и В=||_ik||, то А + В = С = ||_ik+ _ik || i = 1, 2,... m, k= 1,2,...,n

Например, матрицы порядка 23

можно сложить и в результате получим матрицу:

того же порядка 2x3, а матрицы вида:

и (1 3 4 5) сложить нельзя, т.к. они имеют различный порядок.

Операция умножения матриц определяется только для тех матриц из множества Mmn(R), порядки которых удовлетворяют следующему требованию: число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй матрицы.

То есть, если матрица А имеет порядок mn, то матрица В в произведении А  В должна иметь порядок ns .

Тогда А • В = С = ||C_ik ||. где C_ik находится по правилу: i-ая строка матрицы А умножается на k-ый столбец матрицы В (в смысле скалярного произведения).

Например, если А =

и В =

, то произведение А • В = С =

Найдем произведение В • А, это тоже можно сделать, так как число столбцов матрицы В совпадает с числом строк

матрицы А

•

= =

Замечания:

1. Как видим, А•В  В•А, то есть операция умножения матриц некоммутативна.

2. Порядок матрицы А•В связан с порядками матриц А и В, матрица А•В имеет столько же строк, сколько и матрица А и столько же столбцов, сколько их имеет матрица В.

Матрицы

перемножить нельзя, так как их порядки не удовлетворяют требуемому условию.

Операция умножения на скаляр определяется на всем множестве Mmn(R) без ограничений: ||_ik ||=||_ik ||

Пример 1: 3•

Определение 1. Нулевой матрицей называется квадратная матрица вида:

0 =

, у которой все элементы равны нулю.

Проверьте самостоятельно, что если матрицы А и 0 одного порядка, то А+0 = 0+А = А т.е. матрица 0 играет роль нейтрального элемента на множестве Mmn(R), относительно операции сложения.

Определение 2. Матрица (-А) называется противоположной матрице А, если (-А) + А=А+(-А) = 0

Самостоятельно проверьте, что для матрицы А =

-А=

Теорема 1. Алгебра - аддитивная абелева группа.

Схема доказательства:

1. Множество Mnn(R) замкнуто относительно операции сложения матриц, т.к. A, B  Mnn(R), (A+B=C)  Mnn(R) (смотри определение операции +).

2. A, B, C  Mnn(R), (A+B)+C = А+(В+С) т.к. операция сложения матриц определяется через операцию сложения действительных чисел, которая ассоциативна.

3. A, B  Mnn(R), А+В = В+А, т.к. операция сложения действительных чисел коммутативна.

4.  нулевая матрица 0 =

такая, что"A Î Mnn(R) 0 + А = А + 0 = А

5. "A Î Mnn(R)  (-A) =

такая, что А + (-А) = (-А) + А = 0

Итак. - абелева группа.

Определение 3. Единичной матрицей называется квадратная матрица вида:

E =

, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все другие элементы равны нулю.

Проверьте самостоятельно, что если матрицы А и Е одного порядка, то А•Е=Е•А=А, т.е., что Е играет на множестве Mnn(R) роль нейтрального элемента по умножению.

Теорема 2. Алгебра - некоммутативное, ассоциативное кольцо с единицей и делителями нуля.

Для доказательства нужно проверить выполнимость всех условий в определении кольца:

1. Множество Mnn(R) замкнуто относительно операций, т.к.

"A, B Î Mnn(R), (A+B) Î Mnn(R) и (A•B) Î Mnn(R)

2. - абелева группа (см. теорему 1).

3. "A,B,CÎMnn(R), А•(В+С)=А•В+А•С, (В+С)•А= В•А+С•А.

4. "A, B, C Î Mnn(R), (A•B)•C = A•(B•C).

5.  A, BMnn(R), A•B  B•A.

6.  E  Mnn(R): A, (E•A = A•E =A).

Каждую аксиому проверьте самостоятельно.

Покажем, что в кольце Mnn(R) есть делители нуля, например, если

А =

В =

, то А•В =

Понятно, что таких матриц одного и того же порядка существует множество.

Запишите самостоятельно такие матрицы третьего порядка.

Теорема 3. Алгебра |  R}> - линейное пространство размерности nn.

Схема доказательства:

1-4) - абелева группа.

5) "A, B Î Mnn(R) R: (A+B) = A+B.

6) ,   R  AMnn(R) : ( + )A = A + A.

7) ,   R  AMnn(R): ()•A = (A).

8) 1 • A = A.

Роль единичного базиса играет система матриц вида:

E₁=

, E₂=

, E_n=

Например. В пространстве R₂₂(R) матрица А =

может быть разложена по единичному базису так:

= 3

+ 4

+ 5

+ 2

Определение 4. Ведущим (главным) элементом i-ой строки матрицы А называется первый отличный от нуля элемент этой строки.

Пример 2. А=

1 - ведущий элемент 1-ой строки, 3 - ведущий элемент 2-ой строки, 2 - ведущий элемент 3-ей строки.

Определение 5. Матрица А называется ступенчатой, если:

1. под ведущими элементами каждой её строки стоят нулевые элементы.

2. нулевые строчки стоят последними.

Пример 3. А =

- ступенчатая матрица.

Определение 6. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1. Перемена местами строк матрицы;

2. Умножение строки на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к одной строке другой, умноженной на число, не равное нулю.

Если на множестве матриц Mnn(R), задать отношение  так: А  В  (когда от А к В можно перейти с помощью элементарных преобразований), то это отношение будет отношением эквивалентности.

Действительно:

1. А Mnn(R), А  А (очевидно).

2. "A, B Î Mnn(R), А  B => B  А (достаточно совершить преобразование в обратном порядке).

3. "A, B, C Î Mnn(R), (А  В) & (В  С) =>(А  С).

Если матрицы А и В эквивалентны, то будем записывать это так: А  В.

Частным случаем этого отношения будет отношение А j В  (А=В)

Определение 7. Если A = ||_ik|| и B = ||_ik|| i, k = 1...n, то А = В  (_ik = _ik)

Теорема 4. Любую ненулевую матрицу A  Mnn(R) можно привести к ступенчатому виду. Доказательство проведите самостоятельно методом математической индукции по числу строк матрицы.

Пример 4. В =



Первую строку матрицы умножили на 2 и сложили со второй строкой, затем снова первую строчку умножили на 3 и вычли из третьей строки, затем 2-ю строчку умножили на 5, 3-ю на 4 и сложили.

Определение 8. Строчным рангом ступенчатой матрицы называется число ее ненулевых строк. Обозначение: rang A = k. В примере 4 rang В = 3.

Определение 9. Матрица A = ||a_ik||, где i, к = 1,2, ..., n называется обратимой (невырожденной), если существует X Î Mnn(R): А•Х = Х•А = Е.

Докажем, что такая матрица (X) единственная для А.

Предположим противное, пусть существуют матрицы X и У, удовлетворяющие определению. Тогда (Х•А)•У=Х•(А•У) в силу ассоциативности операции умножения матриц.

Тогда: Е•У=Х•Е => (У=Х).

Матрицу X называют обратной матрицей к матрице А и обозначают А^-1.

Теорема 5. Если квадратная матрица А порядка nn обратима, то строчный ранг её ступенчатой матрицы равен n.

Доказательство: Так как матрица А обратима, то А^-1: А • А^-1= Е (rang E=n) => (rang A=n). (Справедлива и обратная теорема. Докажите её самостоятельно).

Теорема 6. Любую обратимую матрицу A Î Mnn(R) с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице Е (т.е. матрица А эквивалентна единичной матрице Е).

Эта теорема является следствием теоремы 4.

Поэтому алгоритм нахождения обратной матрицы основан на том, что матрицы (А/Е) и (Е/А^-1) - эквивалентны, и состоит в следующем:

1. К квадратной матрице А справа приписывается единичная матрица того же порядка, что и А, (А/Е);

2. С помощью элементарных преобразований от матрицы (А/Е) переходят к матрице (Е/А^-1);

3. Записывают А^-1 отдельно.

Замечание 1. В процессе нахождения обратной матрицы не обязательно проверять - обратима ли матрица, т.к. при элементарных преобразованиях сразу будет видно, имеет ли она обратную матрицу.

Пример 5. Найти обратную матрицу для матрицы

A =

rang A=3 (проверьте), значит она обратима.

Найдем А^-1

(А/Е) =



=> A^-1=

Проверка: А • A^-1=

С помощью обратной матрицы можно решать матричные уравнения, в которых роль переменной играет матрица X

Пример 6. Решить в общем виде уравнение. X • A + X = B

Решение.

Чтобы матрицу X можно было вынести за скобки, нужно представить слагаемое X =Е•Х, тогда Х•(А+Е) = В. Нельзя писать, что Х•(А+1) = В, т.к. А+1 не имеет смысла во множестве Rmn(R). Если матрица (А+Е) будет невырожденной, т.е. имеет обратную матрицу (А+Е)^-1, то получим уравнение X (А+Е) (А+Е)^-1 = В (А+Е)^-1 , т.к. умножение матриц некоммутативно, то в этом случае нужно умножать справа, тогда X • Е = В•(А+Е)^-1 или Х = В•(А+Е)^-1

Если матрица (А+Е) не имеет обратной матрицы, то исходное уравнение таким способом решать нельзя.

Пример 7. Решить матричное уравнение: