Файл: Преобразование Фурье (оно нам надо для памяти) Преобразование Фурье.docx

Преобразование Фурье (оно нам надо для памяти)

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Впрочем, чуть позже мы увидим, что его можно применять и к сигналам периодическим, но это потребует использования аппарата обобщенных функций.

При спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом:

• 
  частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным параметром преобразования (то есть kω₁ в формуле (1.9) заменяется на ω);
  
• 
  удаляется множитель 1/T;
  
• 
  результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда C_k является функция частоты S(ω) - спектральная функция сигнала s(t). Иногда ее называют также спектральной плотностью.
  

В результате перечисленных модификаций формула (1.9) превращается в формулу прямого преобразования Фурье:



В формуле самого ряда Фурье суммирование, естественно, заменяется интегрированием (и, кроме того, перед интегралом появляется деление на 2π). Получающееся выражение называется обратным преобразованием Фурье:



Области положительных и отрицательных частот появляются из-за свойств ПФ, а именно наличия действительной и мнимой частей.

1. Защита речевой информации в каналах связи. Общая классификация методов скремблирования речевой информации.

Я не знала, что конкретно написать, поэтому вот общая инфа:

Передача речевой информации составляет основу телекоммуникации в человеческом обществе, то ее защита — важнейшая задача инженерно-технической защиты информации. Речевая информация, передаваемая по каналу связи, содержится в информационных параметрах электрических и радиосигналов. Сигналы распространяются по линиям связи в аналоговом и цифровом виде. В результате несанкционированного перехвата этих сигналов и их модуляции речевая информация может быть добыта злоумышленником.

Для структурного скрытия речевой информации в каналах связи применяют шифрование и техническое закрытие.

---

При шифровании аналоговый речевой сигнал с выхода микрофона преобразуется с помощью аналогово-цифрового преобразователя в цифровой сигнал. При аналого-цифровом преобразовании амплитуда сигнала измеряется через равные промежутки времени,называемые шагом дискретизации. Для того чтобы цифровой речевой сигнал имел качество не хуже переданного по телефонному каналу в аналоговой форме, шаг дискретизации выбирается в соответствии с теоремой Котельникова: Δt ≤ 1/(2* Fmax)(частота дискретизации не менее чем в 2 раза больше максимальной частоты сигнала).

А это более к теме:

Речевой сигнал - это множество гармонических колебаний, мало отличающихся друг от друга по частоте(сплошной спектр).

Скрытие речевого сигнала в узкополосном телефонном канале осуществляется методами технического или аналогового закрытия. По названию технических средств, обеспечивающих техническое закрытие, эти методы называются также скремблированием (перемешиванием). Техническое закрытие (скремблирование) отличается от криптографического тем, что при шифровании происходит скрытие речевого сообщения в символьной форме, а при техническом закрытии — скрытие речевого сигнала без преобразования его в цифровую форму. При техническом закрытии изменяются признаки (характеристики) исходного речевого сигнала таким образом, что он становится похож на шум, но занимает ту же частотную полосу. Это позволяет передавать скремблированные сигналы по обычным стандартным телефонным каналам связи.

То же, что и выше, но короче

Выбор системы защиты зависит от предполагаемого способа нападения. Наиболее простой способ получения речевой информации из канала связи - это непосредственное подключение к линии в любой точке от абонента до входа в АТС (автоматическая телефонная станция-она соединяет в одну сеть разные телефонные линии). При использовании аппаратуры съема высокого класса практически невозможно определить несанкционированное подключение к линии. В таком случае единственным способом защиты информации является преобразование ее к такому виду, из которого злоумышленник не сможет понять ее содержания в течение какого-то определенного времени.

Скремблирование - изменение характеристик речевого сигнала, в результате которого полученный сигнал неразборчив и неузнаваем, при этом занимает такую же полосу частот спектра, как и исходный сигнал

---

Цифровое-преобразование речевых компонент в цифровой поток данных, который обрабатывается по одному из криптографических алгоритмов.

Аналоговое-преобразования речевого сигнала (частотные, временные и комбинированные), искажение сигнала таким образом, чтобы его нельзя было прослушать при перехвате сообщения, но можно вскрыть при помощи специальной аппаратуры

Частотная инверсия-низкие частоты в высокие и наоборот

Временное скремблирование- разбиваем сигнал на сегменты, переставляем во времени

Классификация скремблирования, которую показывал Окатов (нарисовала специально для нас)



Мозаичные - комбинация разных методов

во временной инверсии нет частотного параметра, который мы можем выбрать, сигнал просто инвертируется. Поэтому нет ключа.

2. Скремблирование методом частотной инверсии. Описание алгоритма скремблирования (прямое и обратное преобразования). Основные свойства и практическая реализация метода.

Скремблирование методом частотной инверсии» основано на инверсии частотного спектра (результата преобразования Фурье) передаваемого речевого сигнала. Смысл термина “частотная инверсия” состоит в том, что в результате скремблирующего преобразования все низкочастотные компоненты спектра Фурье исходного речевого сигнала «превращаются» в высокочастотные компоненты, а высокочастотные компоненты – наоборот в низкочастотные (упрощенно говоря, они «меняются местами»). Преобразование Фурье в данном случае не является «инструментом» для обработки исходного сигнала, оно лишь наглядно описывает (для лучшего понимания) весь происходящий процесс выполнения «скремблирующего» преобразования исходного сигнала с целью получения закрытого от посторонних – получения «скремблированного» исходного сигнала.(выполняется отнюдь не в частотной области, а во временной - на основе перемножения сигналов) (ох уж это “отнюдь”)
Дискретизация - преобразование непрерывного сигнала в последовательность отсчётов. Шаг дискретизации по времени Δt(«расстояние» между соседними отсчётами модельного сигнала во временной области) выбираем по теореме Котельникова: Δt ≤ 1/(2* Fmax), где Fmax - максимальная частота сигнала.

---

Δf- шаг дискретизации по частоте(частотное «расстояние» между соседними отсчетами дискретного спектра Фурье). Шаг дискретизации по частоте и длительность сигнала - обратные величины: Δf = 1/(N*Δt).



Алгоритм:



В основе данного алгоритма скремблирования методом частотной инверсии лежит общеизвестная простейшая тригонометрическая формула:

cos(x)∙cos(y) = ½ [cos(x - y) + cos(x + y)].

Из формулы (1) видно, что в результате умножения полезного (исходного информационного) сигнала cos(x) на «вспомогательный» сигнал cos(y) получаем сумму двух составляющих: разностную cos(x - y) и суммарную cos(x + y). То есть полезное колебание cos(x) по сути «расщепилось» на две составляющие, существенно взаимно различные по спектральному составу. В правой части формулы (1) в слагаемом cos(x - y) из аргумента x (полезного сигнала) вычитается вспомогательный аргумент y «скремблирующего» сигнала. В итоге первое слагаемое дает разность частотных составляющих, а для слагаемого cos(x + y) получаем сумму частотных составляющих. Полученная сумма из двух слагаемых представляет собой «скремблированный» (преобразованный) исходный сигнал. Принципиально важно, что (в общем случае) по форме скремблированный сигнал уже существенно отличается от исходного информационного сигнала.

Чтобы получить дескремблированный сигнал нужно скремблированный сигнал умножить на скремблирующий. В основе этого преобразования лежит формула (после знака = должна быть 1/4)



Cos(x) – исходный сигнал. Значит нужно отфильтровать разностную составляющую и умножить на коэффициент 4.
Свойства:

• 
  простота практической реализации;
  
• 
  выполняется во временной области;
  
• 
  для организации связи не нужна взаимная синхронизация приём/передача; (если вдруг кто-то понимает, что это значит - напишите, пожалуйста)(при синхронной передаче данных приёмнику и передатчику известно время передачи данных, то есть передатчик и приёмник работают синхронно, в такт)
  
• 
  обеспечение определённой неразборчивости сигнала;
  
• 
  возможно абсолютно точное восстановление исходного сигнала при равенстве частот скремблирования на передаче и приёме.
  

3. Обоснование целесообразности и практической возможности сокращения полосы частот скремблированного сигнала за счет фильтрации его суммарных составляющих. Реализация метода фильтрации.

---

Результатом скремблирующего преобразования, в основе которого лежит формула cos(x)∙cos(y) = ½ [cos(x - y) + cos(x + y)], является половина суммы двух слагаемых: разностной и суммарной составляющей. За счет появления суммарных составляющих происходит двукратное расширение спектра сигнала. Эта суммарная составляющая практического интереса не представляет - частота скремблирования находится за пределами полосы частот речевого канала 300-3400 Гц, а значит, частота суммарной составляющей будет много больше частоты скремблирования и не будет пропускаться каналом. Поэтому её можно без каких-либо информационных потерь отфильтровать, что позволит сократить полосу частот скремблированного сигнала.

Реализация метода фильтрации происходит в частотной области.

1. 
   Определим верхнюю и нижнюю границы частотного окна для фильтрации.
   

Нижняя граничная частота равна частоте скремблирования: .

Верхняя граничная частота определяется по следующей формуле: =N* - , где N - количество отсчетов, - шаг дискретизации по частоте(частотное «расстояние» между соседними отсчетами дискретного спектра Фурье). Шаг дискретизации по частоте и длительность сигнала - обратные величины: Δf = 1/(N*Δt).

2. 
   Удалим спектральные составляющие на частотах на отрезке [ ; ], приравняв спектральную плотность амплитуды к нулю.
   

Результат фильтрации - спектр отфильтрованного сигнала с ненулевыми составляющими на частотах вне отрезка [ ; ].

4. Обоснование выбора частоты скремблирования, установление диапазона её возможных значений при скремблировании конкретного звукового файла.

Определение диапазона возможных значений для частоты скремблирования зависит от требований и ограничений конкретного звукового файла и системы, в которой он будет использоваться.

---