Файл: Аппарат дифференциальных уравнений первого порядка.doc

(5) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами , , , и представляет собой результат линеаризации уравнения (1).

Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x^’’, x^’, x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию.

Процесс линеаризации уравнения (1) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных x^’’, x^’, x, g уравнение (1) задает некоторую поверхность. Переход от уравнения (1) к линейному уравнению (5) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке, соответствующей установившемуся состоянию. Естественно, что ошибка при такой замене тем меньше, чем меньше отличаются друг от друга точки поверхности и точки плоскости. Это справедливо лишь в некоторой малой окрестности установившегося состояния.

Понятие пространства состояний

С точки зрения анализа и синтеза систем представляется целесообразным разделить все переменные, характеризующие систему, на три группы:

1) входные переменные или входные воздействия mi, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на поведение системы;

2) выходные переменные или переменные, характеризующие реакцию системы y_j, позволяющие описать некоторые аспекты поведения системы, представляющие интерес для исследователя;

3) переменные (координаты) состояния или промежуточные переменные x_k, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы.

Величины m_i, y_j и x_k предполагаются функциями времени. Для удобства оперирования с многомерными величинами совокупность входных переменных представим в виде вектора входа, совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода, и совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния:

.

Множество всех значений, которые может принять вектор входа m в момент t, образует пространство входа системы. Множество всех значений, которые может принять вектор выхода y в момент t, образует пространство выхода системы. Множество всех значений, которые может принять вектор состояния x в момент t, образует пространство состояний системы.

---

Понятие управляемости и наблюдаемости.

Управляемость: Пусть линейный многомерный процесс описывается векторным дифференциальным уравнением

dx(t)/dt=Ax(t)+Dm(t), (1)

где x – n-мерный вектор состояния; m – r-мерный вектор, представляющий управляющие воздействия; A – квадратная матрица коэффициентов n-го порядка; D – матрица управления размера nxr.

Матрица A может быть приведена к диагональной матрице (или в общем случае к жордановой форме)



где _ш – собственные значения матрицы A, которые предполагаются все различными.

Применяя подстановку x=Tz, исходное уравнение запишется в канонической форме

dz(t)/dt=z(t)+m(t),

где D=T^-1D=[_ij]_nxr.

Вектор z в полученной формуле будем называть каноническим вектором состояния. Будем считать, что в предыдущих матричных выражениях собственные значения l_i расположены в порядке возрастания их модулей, комплексные l_i – в порядке возрастания их аргументов, векторы-столбцы матрицы T – нормализованы, то есть выбраны так, что евклидова длина их равна единице.

Запишем полученное выражение в развернутой форме, то есть в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:



Эти уравнения показывают, что управляющее воздействие m_k не будет оказывать какого-нибудь влияния на движение по координате z_j, если



то есть когда _jk=0 для k=1, 2, …, r. Запись в такой форме означает, что все элементы j-й строки матрицы D все равны нулю. Отсюда следует вывод, что неуправляемыми координатами системы являются все те канонические координаты, которые соответствуют нулевым строкам матрицы D. Равенство нулю всех элементов этих строк матрицы D делает невозможным управление по соответствующим координатам. Это означает также, что изменение координат происходит независимо от управляющих воздействий и, следовательно, целиком определяется начальными условиями и возмущениями. Можно сказать, что эти координаты развязаны от управления.

Приведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение управляемости: процесс, описываемый уравнением (1), является полностью управляемым, если матрица

---

D не содержит строк, элементы которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам D, считаются управляемыми.

Наблюдаемость: Перепишем еще раз выражение для вектора выхода линейного многомерного процесса:

y(t)=Bx(t)+Gm(t), (1)

где y – p-мерный вектор, представляющий выходные переменные; B – матрица выхода размером pxn; G – матрица обхода системы размера pxr.

Пусть матрица B имеет вид



а матрица обхода G задана в виде



Тогда, развертывая формулу (1), получаем p выражений

(2)

Координату состояния принято называть наблюдаемой, если она может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным. Анализ уравнений (2) показывает, что координата x_k может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным y₁, y₂, …, y_i, …, y_p, если коэффициенты b_ik для i=1, 2, …, p не все равны нулю. Другими словами, x_k является наблюдаемой координатой, если элементы k-го столбца матрицы выхода не все равны нулю. Если это условие не соблюдается, то координату x_k называют ненаблюдаемой. Таким образом, линейный процесс является наблюдаемым, если матрица выхода B не содержит столбцов, элементы которых равны нулю.

Соотношения вход – состояние – выход

Пусть R – система, описываемая соотношением вход-выход вида

L(p)y = u₁ (1),

где L(p) = a_npⁿ +…+ a₀, a_n≠0 и a_i, - постоянные, не обязательно вещественные. Тогда выражение для общего решения (1) будет

, t ≥ t₀ (2)

где импульсной реакции ,

передаточной функции , (3)

---

.

Функции времени φ₁,…, φ_n линейно независимые и удовлетворяют условию (дифференциальному уравнению)

L(p) φ_λ(t) = 0, ,

при начальных условиях

,

для μ ≠ λ; μ, .

Это значит, что они представляют собой множество (одностороннее) базисных функций .

Отождествим постоянные, появившиеся в (1), с составляющими вектора x(t₀) - состоянием в момент времени t₀-. Наиболее естественным способом будет отождествление базисных функций с функциями φ₁,…, φ_n в (3). В этом случае составляющие x(t₀-), которые представляют собой коэффициенты базисных функций, будут

x₁(t_0-) = y₀(t₀-),

x_n(t_0-) = y^(n-1)(t₀-),

или в более компактной форме

. (4)

Другой естественный способ состоит в том, чтобы положить базисные функции, или, точнее, их преобразования по Лапласу, равными

.

В этом случае составляющими x(t₀) будут

(6)

Рассмотрим случай, когда первая составляющая начального вектора состояния приравнена к выходу в моменты времени t₀-, вторая составляющая – первой производной выхода и т.д. Это значит, что вектор состояния в момент времени t представляется в виде

x(t) = (y(t),…, y^(n-1)(t)). (7)

Ради удобства вектор x(t), определенным с помощью (7), назовем нормальным вектором состояния , а соответствующие уравнения состояния – нормальными уравнениями для . Пространство состояний, которому принадлежат х будет

---

, т.е. пространства упорядоченных наборов по n комплексных чисел.

Уравнения состояния.

Чтобы получить уравнение системы найдем выражение , для чего продифференцируем обе части равенства (7). В результате получим

. (8)

С другой стороны из дифференциального уравнения (1) следует



и, следовательно,

.

Это соотношение показывает, что составляющие представляют собой линейные комбинации составляющих x(t) и u(t). Для представления этого соотношения в матричной форме обозначим через и , , i-ые составляющие соответственно. Тогда из (8) следует



или в матричной форме

.

Последнее соотношение есть уравнение состояния в канонической форме , где А и b представляют собой соответственно, n×n матрицу с постоянными коэффициентами и n-мерный вектор.

Таким образом, если x(t) задан с помощью (7), будучи определенным в , то x(t) удовлетворяет уравнению состояния (9). Этот результат совместно с соотношением

y(t) = x₁(t), или в матричной форме

.

Пусть - обратно-дифференциально-операторная система, описываемая соотношением вход-выход-состояние

L(p)y = u, L(p) = a_np

---