Файл: Занятие по теме Аналитическая геометрия в пространстве Раздел Аналитическая геометрия ав пространстве.ppt

Аналитическая геометрия в пространстве

Раздел «Аналитическая геометрия ав пространстве» курса «Высшая математика» включает две основные темы:
1. Плоскость
2. Прямая в пространстве
3. Поверхности 2-го порядка

1. Плоскость

Основные уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору
2. Общее уравнение плоскости

- вектор нормали

3. Уравнение плоскости « в отрезках»

Уравнения плоскости

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и

Условие компланарности векторов

Построение плоскостей

1. Построить плоскость

Находим координаты точек пересечения плоскости с осями координат.

x	0	0	4
y	0	3	0
z	2	0	0

Z

Y

X

2

3

4

Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках»

1) Переносим вправо свободный член уравнения

2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части

3) Убираем коэффициенты из числителей

Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат

Построение плоскостей

2. Построить плоскость

В уравнении отсутствует переменная z.

Находим точки пересечения плоскости с осями OX и OY.

X	0	10/3
y	-2	0

Соединяем точки прямой линией и получаем след плоскости на плоскости XOY.
Теперь из точек пересечения проводим прямые, параллельные оси OZ.

Z

Y

X

10/3

-2

Аналогично строятся все плоскости, в уравнении которых отсутствует одна переменная

X

Y

Z

7

2

X

Y

Z

2

3

Построение плоскостей

3. Построить плоскость

В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая плоскость проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т.е. она проходит параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ.

Z

Y

X

8/3

0

Аналогично строятся плоскости, в уравнениях которых отсутствуют две переменные

Z

X

Y

0

Z

X

Y

9/4

3/5

0

Таким образом, если в уравнении плоскости отсутствует одна переменная, то плоскость проходит параллельно той оси координат, переменной которой нет в уравнении.
Если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.
Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, то плоскость проходит параллельно координатной плоскости, переменных которой нет в уравнении.
Уравнения координатных плоскостей

- уравнение плоскости YOZ

- уравнение плоскости XOZ

- уравнение плоскости XOY

Взаимное расположение плоскостей

1. Условие параллельности плоскостей

2. Условие перпендикулярности плоскостей

3. Косинус угла между плоскостями

Угол между плоскостями – это угол между векторами нормалей этих плоскостей

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

Правило: для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно
координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости,
разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение
взять по абсолютной величине.

Расстояние – величина всегда положительная

!

Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость

2. Прямая в пространстве. Основные уравнения

1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору

- канонические уравнения

- направляющий вектор

2. Параметрические уравнения

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

и

Прямая в пространстве. Основные уравнения

4. Общее уравнение прямой в пространстве

а) Направляющий вектор

б) Нахождение точки на прямой

- канонические уравнения прямой

Взаимное расположение прямых в пространстве

1. Нахождение угла между прямыми.

Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому угол между прямыми – это угол между направляющими векторами

2. Проверка условий параллельности и перпендикулярности прямых

Условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности прямых

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Задача о нахождении расстояния от точки до прямой

решается так же, как в векторной алгебре находилась высота параллелограмма, построенного на двух известных векторах.

На векторах и строим параллелограмм.

Высоту находим как отношение площади параллелограмма к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного произведения векторов, а длина основания – это длина вектора

Высота этого параллелограмма и есть искомое расстояние.

1. Условие параллельности прямой и плоскости

2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью считается угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. На рисунке это угол .

Из уравнений прямой и плоскости известны направляющий вектор прямой и вектор нормали плоскости.

Косинус угла между этими векторами легко можно найти.
Легко заметить, что углы и в сумме дают 90 градусов, а значит

Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как синус угла в данной ситуации может быть только положительным

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно составить систему из уравнений прямой и плоскости

Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в параметрический вид

Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости

Из этого уравнения находим параметр и подставляем его значение в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения

Составление уравнений плоскости

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Исходное уравнение:

Подставляем координаты точки и вектора

Раскрываем скобки

Приводим подобные

Получили общее уравнение плоскости.

Решение типовых задач контрольной работы № 4

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и

Используем уравнение

Координаты точки нам известны. Необходимо найти координаты вектора нормали. Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали можно взять вектор, являющийся векторным произведением данных в условии задачи векторов, так как такой вектор перпендикулярен каждому из данных векторов, а значит перпендикулярен и плоскости.

Итак,

Подставляем все данные в уравнение плоскости

Аналогично решаются задачи с такими условиями:
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

Из уравнения прямой можно определить координаты направляющего вектора и точки

Чтобы найти вектор нормали плоскости, нужно знать два вектора, параллельных этой плоскости. Один из этих векторов –
направляющий вектор прямой, а другой вектор можно получить, соединив две известные точки

Итак, вектор нормали

Раскрываем скобки и упрощаем

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

и

Из уравнения каждой прямой можно определить координаты направляющего вектора и точки

Задача сводится к предыдущей, если образовать вектор, соединяющий две известные точки на прямых. Тогда для нахождения вектора нормали будут известны координаты двух векторов в этой плоскости. Точку для составления уравнения плоскости можно взять любую.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям

и

Для составления уравнения плоскости есть точка .
Вектором нормали может являться вектор, равный векторному произведению векторов нормалей данных плоскостей.

Основное уравнение:

Остается только подставить все данные в уравнение.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

В данном случае можно воспользоваться готовой формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки

Подставляем в это уравнение координаты точек и раскладываем определитель по элементам первой строки

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали плоскости можно взять направляющий вектор прямой

Таким образом, для составления уравнения плоскости есть все данные:
координаты точки и вектора нормали

Основное уравнение плоскости

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающую на осях координат одинаковые отрезки

Для решение задачи используем уравнение плоскости «в отрезках»

Отрезки на осях одинаковые, поэтому

или

Для нахождения подставляем в это уравнение координаты точки

Итак, уравнение плоскости

8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Требуется составить канонические уравнения прямой

Подставляем исходные данные

9. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Для все параллельных прямых можно использовать один направляющий вектор. Поэтому для искомой прямой имеем точку и направляющий вектор

Уравнения прямой

10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси OY.

Канонические уравнения прямой

11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки

В качестве направляющего вектора можно использовать вектор, соединяющий эти точки.

Уравнения прямой

В качестве направляющего вектора можно использовать любой вектор, параллельный оси OY. Самый простой вектор – это орт оси OY

и

Точку можно подставить любую.

12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

Из рисунка видно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор нормали плоскости

Таким образом, для составления уравнения прямой есть все данные:
координаты точки и направляющего вектора

Канонические уравнения прямой

13. Перейти от общего уравнения прямой к каноническому виду

Как уже отмечалось, для перехода к каноническому виду

нужно знать точку на прямой и направляющий вектор

а) Находим направляющий вектор

б) Находим точку на прямой. Для этого можно положить в системе уравнений одну из координат равной нулю. Итак,

Тогда система примет вид

Решая ее, найдем

Точка

и канонические уравнения

Итак, направляющий вектор

Получим параметрические уравнения

14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и составляющую с осями координат углы

и

Направляющим вектором в данном случае может являться единичный вектор – орт, координатами которого являются направляющие косинусы

Нам известны углы, которые вектор образует с осями OX и OY соответственно.
Для нахождения косинуса угла с осью OZ используем основное свойство направляющих косинусов вектора

или

Направляющий вектор

Канонические уравнения прямых

(получили уравнения двух прямых)