Файл: Занятие по теме Аналитическая геометрия в пространстве Раздел Аналитическая геометрия ав пространстве.ppt

15. Найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью


Для нахождения точки пересечения преобразуем канонические уравнения прямой к параметрическому виду


Подставляем в уравнение плоскости и находим параметр t


Подставляем t в параметрические уравнения


Итак, координаты точки пересечения


Угол между прямой и плоскостью находим по формуле


- вектор нормали плоскости


- направляющий вектор прямой


Подставляем в формулу


16. Найти расстояние от точки до плоскости


Используем формулу расстояния от точки до плоскости


17. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве


d


Искомое расстояние – это высота параллелограмма, построенного на векторах


и


Площадь параллелограмма находим, используя векторное произведение


Длина основания – это длина вектора


Расстояние от точки до прямой

3. Поверхности 2-го порядка

Общее уравнение плоскости или прямой в пространстве – есть уравнения линейные относительно переменных и


Уравнение поверхности 2-го порядка


квадратичная часть


линейная часть


.


К поверхностям 2-го порядка относятся :
сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и построить поверхность в системе координат.


,

1. Сфера

Определение. Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром


Уравнение сферы со смещенным центром


Уравнение сферы с центром в начале координат


В уравнение сферы входят квадраты трех переменных, причем коэффициенты при квадратах и знаки при них одинаковые.


!

Построение сферы

Построить сферу

Данное уравнение определяет сферу, так как имеются квадраты всех переменных, знаки и коэффициенты при которых одинаковые.
Для построения сферы необходимо знать координаты центра и радиус.
Наличие слагаемого с первой степенью переменной y указывает на наличие смещения центра сферы по оси OY


Для приведения уравнения к каноническому виду


необходимо выполнить преобразования, связанные с выделением полного квадрата

---

- центр сферы


- радиус сферы


3

Построение сферы

2. Построить сферу


Данное уравнение определяет сферу, так как имеются квадраты всех переменных, знаки и коэффициенты при которых одинаковые.


Для приведения уравнения к каноническому виду


необходимо выполнить преобразования, связанные с выделением полного квадрата


Наличие слагаемых с первой степенью переменных z и y указывает на наличие смещения центра сферы по осям OY и OZ


- центр сферы


- радиус сферы


1


4,5

Эллипсоид

Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид


a


b


c


полуоси эллипсоида.


Центр этого эллипсоида находится в начале координат.


Уравнение эллипсоида с центром в точке имеет вид


Признаки уравнения эллипсоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Одинаковые знаки при квадратах переменных
Разные коэффициенты при квадратах переменных

Построить поверхность

Построить поверхность


3


Полуоси эллипсоида


- центр эллипсоида


В уравнении есть квадраты переменных, знаки при которых одинаковые, а коэффициенты разные. Это эллипсоид, причем со смещенным центром.
Уравнение нужно привести к каноническому виду

Гиперболоиды

Канонические уравнения гиперболоидов


Каноническое уравнение однополостного
гиперболоида


Признаки уравнения однополостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения, в правой части плюс 1.


полуоси


В зависимости от знака перед единицей в правой части гиперболоиды делятся на одно и двуполостные.

Разные ориентации однополостных гиперболоидов

Ориентация гиперболоида зависит от того, перед какой переменной в каноническом уравнении стоит знак минус.


Однополостный гиперболоид с осью симметрии OY


Однополостный гиперболоид с осью симметрии OX

Гиперболоиды

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида


Признаки уравнения двуполостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной в левой части уравнения, другой в правой части при 1.

---

полуоси


Если из уравнения выразить z, то получим


Т.к.


, то получается, что


Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат.

Разные ориентации двуполостного гиперболоида

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида содержит два знака минус в уравнении.
Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а второй поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии.

Конусы 2-го порядка

Каноническое уравнение конуса


Признаки уравнения конуса:

Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Свободный член в правой части уравнения равен нулю.

Каноническое уравнение конуса от уравнений гиперболоидов отличает то, что в правой части уравнения стоит не единица, а ноль. Если один знак минус оставляем в левой части уравнения, то ось симметрии конуса определится также, как и для гиперболоидов: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ.

Конусы с разными осями симметрии

Ось симметрии конуса определяется по уравнению


Конус с осью симметрии OY


Конус с осью симметрии OX

Построить поверхность

Построить поверхность


Перенесем квадраты переменных в левую часть уравнения так, чтобы получился один знак «минус»


Это уравнение конуса, так как в правой части стоит ноль.


Вершина конуса смещена на 1 по оси OZ вверх.
Ось симметрии конуса – OZ, так как перед квадратом переменной z стоит знак минус.

Параболоиды

Канонические уравнения параболоидов можно записать в общем виде


Таким образом, в уравнении отсутствует квадрат одной переменной.
В зависимости от знака между квадратами двух других переменных различают эллиптические и гиперболические параболоиды


Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида:
Отсутствие квадрата одной из переменных
Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения

---

Эллиптический параболоид


Круговой параболоид


Если


то

Различные ориентации эллиптических параболоидов

Характерным признаком уравнения эллиптического параболоида является присутствие всех трех переменных, но одно из них входит в уравнение только в первой степени, т.е. в уравнении параболоида отсутствует квадрат одной переменной. Ось симметрии параболоида параллельна той оси, координата которой в уравнении только в первой степени.

параболоид с осью симметрии OY

параболоид с осью симметрии OX

Можно записать один из видов параболоидов со смещенной вершиной


- вершина параболоида


Возможна также смена направления чаши параболоида.
Если в каноническом уравнении в правой части стоит знак минус, то параболоид направлен в отрицательном направлении оси симметрии.


где


Построить поверхность


- вершина параболоида


Для построения эллиптического параболоида нужно знать:
Координаты вершины
Ось симметрии (определяется по переменной, квадрата которой нет в уравнении)
Направление чаши параболоида (определяется по знаку переменной в правой части канонического уравнения)


Уравнение определяет круговой параболоид с осью симметрии OY
и смещенной также по оси OY вершиной


Приведем уравнение к каноническому виду


Чаша параболоида направлена влево, т.е. в отрицательном направлении оси симметрии

Построить поверхность

Построить поверхность


Уравнение определяет эллиптический параболоид (так как коэффициенты при квадратах переменных различные) с осью симметрии OZ
(так как отсутствует квадрат переменной z) и смещенной также по оси OZ вершиной


Проведем необходимые преобразования уравнения к каноническому виду


- вершина параболоида


Чаша параболоида направлена вниз, т.е. в отрицательном направлении оси симметрии


Замечание: наличие коэффициентов при квадратах переменных при таком схематичном построении можно не принимать во внимание.

Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид


Признаки уравнения гиперболического параболоида:
Отсутствие квадрата одной из переменных
Разные знаки при квадратах переменных в левой части уравнения


Отличительным признаком уравнения гиперболического параболоида является то что в левой части уравнения между квадратами переменных знак минус.

---

Эта поверхность имеет форму седла.


Возможны различные варианты ориентации гиперболического параболоида в зависимости от оси симметрии, знаков при квадратах.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность-это поверхность, которую описывает прямая линия (образующая), которая оставаясь параллельно самой себе движется вдоль некоторой кривой, называемой направляющей. По названию направляющей получают свое название и цилиндры.
Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении соответствующую переменную. В этом случае уравнение цилиндра повторяет уравнение своей направляющей. Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно много.
Для построения цилиндра нужно построить направляющую в той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту линию вдоль той оси, координата которой отсутствует в уравнении.

Признаки уравнения цилиндрической поверхности:

В уравнении цилиндрической поверхности отсутствует
одна переменная.

Виды цилиндров

Круговые цилиндры:


ось симметрии OZ


ось симметрии OX


ось симметрии OY


На рисунке изображен цилиндр с осью симметрии OZ.


Для построения цилиндра строим окружность радиуса R в плоскости XOY, а затем «превращаем» эту окружность в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии.
Можно построить цилиндр и таким способом: нарисовать две или несколько одинаковых окружностей параллельных друг другу на разной высоте, а затем соединить их образующими параллельными оси симметрии.


Направляющей линией является окружность.

Эллиптические цилиндры

Эллиптические цилиндры


ось симметрии OZ


ось симметрии OX


ось симметрии OY


Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости XOY, а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии.


По внешнему виду при схематическом построении эллиптический и круговой цилиндры выглядят одинаково.


Направляющей кривой являются эллипсы

Построить поверхности

Построить поверхности


В уравнении отсутствует переменная y.
Это круговой цилиндр с осью симметрии OY. Приводим уравнение к каноническому виду

---