Файл: Расчет нелинейно деформируемой балки.docx

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»
Институт урбанистики, архитектуры и строительства Кафедра «Строительные материалы, конструкции и технологии»
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Нелинейные задачи строительной механики»

на тему:

«Расчет нелинейно деформируемой балки»

Выполнил:

студент гр. c1-СЗС-41

Харченко Никита

Олегович

№ 190232




(дата, подпись)

Проверил:

доктор технических наук, профессор

Петров Владилен Васильевич.





(дата, подпись)

Саратов 2022 г.

Задача №1

Для нелинейно деформируемой балки с индивидуально заданными схемами закрепления и загружения распределенной нагрузкой требуется:

1. Аппроксимировать экспериментальную зависимость кубической параболой, параметры которой следует определить из условия прохождения кривой через две заданные точки на участке упрочнения материала.

2. Для балки с заданными условиями закрепления и нагрузкой построить аппроксимирующую функцию прогиба статическим методом В.З. Власова.

3. Используя уравнение изгиба нелинейно деформируемой балки (НДБ) в полных функциях



расчетать балку заданным методом.

4. Применяя аппроксимацию кривой деформирования в виде кубической параболы рассчитать балку методами:

• 
  Бубнова-Галеркина в полных функциях и инкрементальным методом последовательных нагружений.
  
• 
  Ритца-Тимошенко в полных функциях и инкрементальным методом последовательных нагружений.
  
• 
  Итерационным методом переменных параметров упругости И.А. Биргера с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина.
  
• 
  Итерационным методом упругих решений А.А. Ильюшина с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина.
  
• 
  Итерационным методом Ньютона-Канторовича с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина.
  

---

5. Результаты расчета представить в виде эпюр прогибов и изгибающих моментов. При решении задачи инкрементальными методами построить кривую «нагрузка – амплитуда прогиба».

6. Сравнить результаты расчетов (максимальные прогибы и изгибающие моменты) при заданной нагрузке, полученные всеми методами.

7. В сечении балки с наибольшим по модулю изгибающим моментом построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения.

8. В конце работы провести анализ полученных результатов и сформулировать развернутые выводы.

Исходные данные

Параметры нелинейно деформируемой балки:

Длина

Прямоугольным поперечным сечением с высотой и шириной

Левая опора балки — Шарнир

Правая опора балки — Заделка

Нагрузка —

Метод расчета для п.3 — Ритца-Тимошенко

Диаграмма № 3



Рисунок 4 – Диаграмма деформирования образца №3

Образец №3
ε	Σ
0	0
0.001217	13.75250
0.001671	17.08208
0.002061	19.31700
0.00248	21.16041
0.003224	23.23974
0.003935	24.10748
0.004507	24.21108
0.005454	24.57353

1. Аппроксимировать экспериментальную зависимость кубической параболой, параметры которой следует определить из условия прохождения кривой

---

через две заданные точки на участке упрочнения материала.

Если экспериментальную диаграмму деформирования аппроксимируем кубической параболой , то условия прохождения ее через точки 9 – 11 будет иметь вид





E=9418

m=2.126·10⁸


Синяя — Исходная диаграмма деформирования

Красная — Аппроксимация диаграммы в виде кубической параболы

2. Для балки с заданными условиями закрепления и нагрузкой построить аппроксимирующую функцию прогиба статическим методом В.З. Власова.

1. 
   Определяем граничные условия:
   

На защемленных краях пластины должны быть равны нулю прогиб и углы наклона касательной к изогнутой срединной поверхности:

• 
  Жестко защемленный край:
  
• 
  Жестко защемленный край:
  

В первом приближении методом Власова прогиб пластинки будем искать в виде

Для решения используем частный вид уравнения Софи Жермен:



Постепенно интегрируем обе части уравнения:









Подставляем граничные условия и определяем неизвестные константы:

= 0; = 0

---

Выделяем главную часть решения, принимая :



Выполняем проверку формулы прогиба балки, подставляя граничные условия:





Проверка выполнена.
Рассчитаем балку методом Ритца-Тимошенко.

Выражение полной потенциальной энергии деформирования в безразмерной форме имеет вид:


Работа внешних распределенных и сосредоточенных нагрузок в безразмерной форме подсчитывается по формуле:

Выражение полной энергии деформируемой системы:



В первом приближении прогиб ищем в виде:



В этом случае выражение полной энергии принимает вид

,

коэффициенты которого определяются по формулам







На основании теоремы Лагранжа имеем кубическое уравнение:

,

Решая которое найдем действительный корень

Прогиб в 1 приближении будет иметь вид:



Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:

Метод Бубнова-Галеркина в полных функциях

Для расчета балки методом Бубнова-Галеркина необходимо решить обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение при соответствующих граничных условиях. Приближенный прогиб балки ищем в виде ряда с конечным числом членов. Аппроксимирующая функция должна быть линейно независимая, и, в отличие от метода РТ, должна удовлетворять заданным граничным условиям, как геометрическим, так и статическим.

---

В первом приближении обобщенная координата Kопределяется как действительный корень уравнения:

,

коэффициенты которого определяются по формулам:







Решая которое найдем действительный корень

Прогиб в 1 приближении будет иметь вид:



Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:





Инкрементальный метод последовательных нагружений

Бубнова-Галеркина

Для расчета балки необходимо решить линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с известными переменными коэффициентами при заданных граничных условиях. Приращение прогиба ищем в виде ряда с конечным числом членов.

Приращение обобщенной координаты ΔK_nна каждом этапе нагружения определяется по формуле: В первом приближении прогиб и приращение прогиба ищем в виде:



Приращение обобщенной координаты ΔK_nна каждом этапе нагружения определяется по формуле:



коэффициенты которого определяются по формулам:









n=3;











Решая линейное уравнение

---