Файл: Расчет нелинейно деформируемой балки.docx

, найдем действительный корень:





Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:

Метод Ритца-Тимошенко в полных функциях

А) Выражение полной потенциальной энергии деформирования в безразмерной форме имеет вид:


Б) Работа внешних распределенных и сосредоточенных нагрузок в безразмерной форме подсчитывается по формуле:

В) Выражение полной энергии деформируемой системы:



В первом приближении прогиб ищем в виде:



В этом случае выражение полной энергии принимает вид

,

коэффициенты которого определяются по формулам







На основании теоремы Лагранжа имеем кубическое уравнение:

,

Решая которое найдем действительный корень

Прогиб в 1 приближении будет иметь вид:



Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:

Инкрементальный метод последовательных нагружений Ритца-Тимошенко

Для расчета балок методом Ритца-Тимошенко в инкрементальной форме необходимо получить выражение приращения удельной потенциальной энергии.

В первом приближении прогиб ищем в виде:



В этом случае выражение приращения полной энергии принимает вид

---

,

коэффициенты которого определяются по формулам







На основании теоремы Лагранжа имеем линейное уравнение:



n=4;















Находим амплитуду прогиба соответствующую величине заданной нагрузки





Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:





Метод ППУ И.А. Биргера с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина

В соответствии с методом нелинейных параметров упругости придаем искомому прогибу в дифференциальном уравнении индекс итерации n, а прогибу в коэффициенте этого уравнения индекс n-1. В результате получаем обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.

В первом приближении прогиб ищем в виде:



Выражение для определения обобщенной координаты K_nимеет вид:

,

коэффициенты которого определяются по формулам:

---

Решая линейное уравнение, при определенном количестве итераций, найдем действительный корень:





Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:




Метод УР А.А. Ильюшина с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина

Метод основан на возможности представления уравнения в виде линейной и нелинейной составляющих — метод начальных напряжений.

Алгоритм:

1. 
   Для нелинейно-деформируемого материала балки выбираем подходящее аналитическое выражение диаграммы деформирования и определяем функцию пластичности ????(????) и параметр ????????
   
2. 
   Для заданной нагрузки методом интегрирования ищем решение упругой задачи W1
   
3. 
   С учетом найденного прогиба, получаем фиктивную нагрузку
   
4. 
   Решаем уравнение с фиктивной нагрузкой, находим прогиб W2
   
5. 
   Определяем фиктивную нагрузку и определяем уточненное значение прогиба балки W3
   

В первом приближении прогиб ищем в виде:



Выражение для определения обобщенной координаты K_nимеет вид:

,

коэффициенты которого определяются по формулам:















Решая линейное уравнение найдем действительный корень:

---

Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:






Метод Ньютона-Канторовича

Сочетание 2 методов (итерационного метода НК и инкрементального метода БГ) позволяет получить рекуррентную формулу для уточнения приближенного решения нелинейной задачи.

В первом приближении прогиб ищем в виде:



Выражение для определения обобщенной координаты имеет вид:

,

коэффициенты которого определяются по формулам:

























Максимальные значения прогиба и изгибающего момента:




5. Результаты расчета, полученные методом Бубного-Галеркина представим в виде эпюр прогибов и изгибающих моментов.

Прогиб в 1 приближении будет иметь вид:



Построим эпюры прогиба и изгибающего момента.

---

6. Сравним результаты расчетов (максимальные прогибы и изгибающие моменты) при заданной нагрузке), полученные всеми методами.

Метод расчета		Отклонение в %		Отклонение в %
Б-Г (в полных функциях)		-		-
Р-Т (в полных функциях)		3.83%	52.234	3.85%

Метод расчета		Отклонение в %		Отклонение в %
Б-Г (инкремент.)		-		-
Р-Т (инкремент.)		2.164%	50.293	0.95%

Метод расчета		Отклонение в %		Отклонение в %
МППУ И.А.Биргера		-		-
УР А.А.Ильюшина		0.044 %		0.087 %
Н-К		0.087 %		0.056 %

---