Файл: 1 Задача 1С Плоская система сходящихся сил 3 2 Задача 2С Плоская система произвольно расположенных сил 5.docx

СОДЕРЖАНИЕ

1 Задача 1-С: Плоская система сходящихся сил

Условие. Грузы весом G₁, G₂и G₃находятся в равновесии. Известны вес груза G₂=55 Н и углы α=75°, β=60°. Определить вес груза G₃.

С
хема по заданию.
Решение.

Выбираем правую плоскую декартовую систему координат и составляем расчетную схему (рисунок 1).



Рисунок 1 Расчетная схема

Реакции связей направлены по тросам от узла С соединения тросов. Реакция S₁будет направлена в направлении блока 1 и трос будет растянут. Реакция S₂будет направлена вниз, а S₃ в направлении блока 2 троса будут растянуты.

Начало координат возьмем в точке пересечения С действующих сил. Следовательно, получаем плоскую систему сходящихся сил.

Запишем уравнение равновесия:



Поскольку в исходных данных не задан вес G₁, то уравнение два рассматривать нет смысла.

Тогда из уравнения (1) находим усилие S₃, которое и будет равно весу G₃.



Ответ G₃= 62,8 H.

2 Задача 2-С: Плоская система произвольно расположенных сил

Условие. На жесткую раму действует пара сил с моментом M=60 H‧м и две силы F₁=10 H приложена в точке К под углом α₁=30^о и F₄= 40 H приложена в точке H под углом α₄=60^о . Cхема рамы рис. 5, a=0,5 м.

Определить реакции связей (опорные реакции) в точках А и В с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения

---

, выполнив проверку.

Схема рамы показана на рисунке 2.1.



Рисунок 2.1 –Схема жесткой рамы
Решение.

Выбираем правую плоскую декартовую систему координат и составляем расчетную схему (рисунок 2.2).

В точке А шарнирно-неподвижная опора, поэтому неизвестную силу реакции связи ????_А раскладываем на составляющие, параллельные осям координат.

????_А=????_????А+????_????А

В точке В шарнирно-подвижная опора. Неизвестную силу реакции связи ????В направляем по нормали к опорной поверхности.



Рисунок 2.2 –Расчетная схема жесткой рамы
Записываем условия равновесия плоской системы в аналитической форме.

Σ????_????????=0 : ????_????????+????₄∙sin????₄+????₁∙cos????₁=0 (2.1)

Σ????_????????=0 : ????_????????−????₄∙cos????₄+????₁∙sin????₁+????_????=0 (2.2)

Σ????_????(????_????)=0 : −????₄∙sin????₄∙????−????₄∙cos????₄∙4????+????₁∙sin????₁∙????+

+????_????∙2????−????=0 (2.3)

Решаем систему из трех уравнений.

Из уравнения (2.1) получаем:

????????????=−????4∙sin ????₄ − ????1∙cos ????₁= −40∙sin 60−10∙cos 30 = −40∙0,866 − 10∙0,866 = =−43,3 ????.

Из уравнения (2.3) получаем:

????_???? = (????₄∙sin????₄∙???? + ????₄∙cos????₄∙4???? − ????₁∙sin????₁∙???? + ????)/2a = (40∙sin60∙0,5 + 40∙cos60∙4∙0,5 − 10∙sin30∙0,5 + 60)/2∙0,5 = (40∙0,866∙0,5 + 40∙0,5∙4∙0,5 – 10∙0,5∙0,5 +60)/1= 17,32+69,28+60=114,82 H.

Из уравнения (2.2) получаем:

????????????=????4∙cos ????₄−????1∙sin ????₁−????????= 40∙0,5 − 10∙0,5 −144,1= 20–5–144,1 =

= -99,82 ????.

Выполняем проверку:

Σ????_H(????????)=0 : ????_????????∙????−????_????????∙4????+????₁∙cos????₁∙????−????₁∙sin????₁∙3????−????_????∙2????−????=

=(−43,3)∙0,5−(-99,82)∙4∙0,5+10∙0,866∙0,5−10∙0,5∙3∙0,5−114,82∙2∙0,5−60=0.

О пределяем величину реакции связи ????????





Значениeи RxA RyA получились отрицательными. Это указывает на то, что принятые направления этой силы противоположны их действительным направлениям.

---

Рисунок 2.3 – Схема для определения направления R_A
Направление RA найдем по направляющим косинусам.

cos????=????????????/????????= −4 3,3/108,81=−0,3979 => ????=113,45°

cos????=????????????/????????=−99,82/108,81=−0,9174 => ????=156,55°

Ответ: RA = 108,81 H, RB = 114,82 H.

3 Задача 3-С: Плоская система произвольно расположенных сил

Условие. На жесткую раму действуют силы, указанные в таблице 3.. Схема конструкции рамы представлена на рисунке3.1. Размеры стержней указаны в м.

Определить реакции связей (опорные реакции) в конструкции с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.
Таблица 3.1. Исходные данные.

№ вар.	G, кН	P, кН	M, кН·м	q, кН/м	α, град.
18	20	10	10	-	30

Рисунок 3.1 - Схема конструкции рамы

Решение:

Выбираем правую плоскую декартовую систему координат и составляем расчетную схему (рисунок 3.2).

В точке А шарнирно-неподвижная опора, поэтому неизвестную силу реакции связи ???????? раскладываем на составляющие, параллельные осям координат.

????_????=????_????????+????_???????? , (3.1)

В точке В шарнирно-подвижная опора. Неизвестную силу реакции связи ????_В направляем по нормали к опорной поверхности.

2


Рисунок 3.2 – Расчетная схема конструкции рамы
Записываем условия равновесия плоской системы в аналитической форме.

Σ????_????????=0 : ????_????????−P∙sin????=0 , (3.1)

Σ????_????????=0 : ????_????????−2????−P∙cos????+R_B=0, (3.2)

Σ????_????(????_????)=0 : −????∙2 cos????−P∙cos????∙4∙ cosα+ P∙sin????∙4∙sinα –

−????∙6∙cos???? − ????+R_B∙6∙cosα=0 , (3.3)

Решаем систему из трех уравнений.

Из уравнения (3.1) получаем

????????????=P∙sin 30 = 10∙0,5=5 ????????.

Из уравнения (3.3) получаем

R_B=(????∙2cos????+P∙cos????∙4∙cosα−P∙sin????∙4∙sin????+????∙6∙cos????+????)/8∙cosα= (20∙0,866∙2+10∙0,866∙4∙0,866–10∙0,5∙4∙0,5+20∙6∙0,866+10)/8∙0,866=24,33

---

кН.

Из уравнения (3.2) получаем

????_????????=2????+P∙cos????-R_B=2 ∙20 +10 ∙0,866–24,33=24,33 кН

Выполняем проверку:

Σ????P(????????)=0 :

-R_yA∙4∙cosα+R_xA∙4∙sinα+G∙2∙cosα–G∙2∙cosα+R_B∙4∙cosα-М=-24,33∙4∙0,866+5∙4∙0,5+20∙2∙0,866-20∙2∙0,866+24,33∙4∙0,866-10=0.

Определяем величину реакции связи ????????



Значения RxA и RyA получились положительными. Это указывает на то, что принятые направления этих сил совпадают с их действительными направлениями.

Направление RA найдем по направляющим косинусам.

cos????=????????????/????????= 5/24,84=0,2012 => ????=78,4°

cos????=????????????/????????=24,33/24,84=−0,9795 => ????=11,6°

О
твет: RA = 24,84 H, RB = 24,33 H.

4 Задача 4-С: Плоская система произвольно расположенных сил

Условие: На жесткую раму действуют силы, указанные в таблице 4.1. Схема конструкции рамы представлена на рисунке 4.1. Размеры стержней указаны в м.

Определить реакции связей (опорные реакции) и давление в промежуточном шарнире составной конструкции (система двух тел) с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

Таблица 4.1. Исходные данные.

№ вар.	P1, кН	P2, кН	M, кН·м	q, кН/м
18	7	16	27	0,8

Рисунок 4.1 - Схема конструкции рамы

Решение. Выбираем правую плоскую декартовую систему координат и составляем расчетную схему.

Согласно аксиоме о связях в точках А и В вместо связей изображаем силы реакции связей.

В точке В шарнирно-подвижная опора. Неизвестную силу реакции связи ????В направляем по нормали к опорной поверхности.

В точке А заделка, поэтому неизвестные силы реакции ???????? раскладываем на составляющие, параллельные осям координат. А также там прикладывается момент М_В.

????_????=????_????????

---

+????_???????? , (4.1)



Рисунок 4.2 – Расчетная схема конструкции

Сначала записываем условия равновесия плоской системы в аналитической форме для всей конструкции.

Σ????_????????=0 : −R_B∙cos60+R_????x−P₂∙ sin60 =0 (4.1)

Σ????_????????=0 : −????₁+ R_B∙sin60+R_????y−q 2−????₂∙cos60=0 (4.2)

Σ????????(????_????)=0 : ????₁∙6−R_B∙sin60∙4− R_B∙cos60∙2 +????∙2∙3−????−

−????₂∙sin60∙4+M_B=0 (4.3)
Решить систему не представляется возможным, поэтому разобьем составную конструкцию на две по шарниру (правую (рисунок 4.3) и левую (рисунок 4.4)). Усилие (давление) в шарнире ???????? раскладываем на составляющие, параллельные осям координат.

????_????=????_????????+????_???????? , (4.4)

Усилия ????_???????? и ????_???????? в шарнире правой части конструкции равны по величине и противоположны по направлению усилиям в левой части конструкции. Если снова соединить две части конструкции, то давление в шарнире будет = 0.



Рисунок 4.3 – Расчетная схема конструкции (левая)

Рисунок 4.4 – Расчетная схема конструкции (правая)
Записываем условия равновесия плоской системы в аналитической форме для левой части конструкции.

Σ????????????=0 : ????_????????−????_????∙cos60=0 (4.5)

Σ????????????=0 : ????_????????−????₁+????_????∙sin60–q∙2=0 (4.6)

Σ????_с(????_????)=0 : − ????_????∙sin60∙2+????₁∙4 + q∙2∙1=0 (4.7)

Из уравнения (4.7) получаем

????_В=(–????₁∙4 – q∙2∙1)/(2∙0,866)=(–7∙4 – 0,8∙2∙1)/2∙0,866=17,1 кН.

Из уравнения (4.6) получаем

????_yC =(−????_B sin60+????₁+q∙2)= −17,1 0,866+7+0,8∙2=−6,2 кН.

Из уравнения (4.5) получаем

????_????????=????_????∙cos60=17,1∙0,5=8,55 кН.

Выполняем проверку:

Σ????_B(????_????)=0 :

P₁∙2−q∙2∙1+R_yC∙2= 7∙2−0,8∙2 1+(−6,2∙2)=14−1,6−12,4=0.

Возвращаемся к решению уравнения (4.1)

R_????x =R_B∙cos60+P₂∙sin60 =17,1∙0,5+16∙0,866=22,406 кН.

Из уравнения (4.2) получаем

R_y????=????₁− R_B∙sin60+ q 2+????₂∙cos60=7−17,1 0,866+0,8 2+16 0,5=1,7914 кН

Из уравнения (4.3) получаем

M_B =−????₁∙6+R_B∙sin60∙4+R_B∙cos60∙2 −????∙2∙3+????+????₂

---