ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный технический университет
им. И.И. Ползунова»
Заочный институт
Направление: «Экономика»
Работа защищена с оценкой: ____________________
Преподаватель _______ (Никифорова Елена Геннадьевна)
«___» _______________20____г.
Контрольная работа
По дисциплине «Теория игр»
Выполнила: студентка гр. 4Эк(с)-01, Латышева Тахмина Ташрифовна
Шифр зачетной книжки: 20330002
Проверил: кандидат физико-математических наук, кафедра высшей математики - доцент Никифорова Елена Геннадьевна
Барнаул 2023
Задание 1
| | Стратегии "B" | ||
| Стратегии "A" | B1 | B2 | B3 |
| A1 | 4 | 11 | 8 |
| A2 | 11 | 6 | -1 |
Определим нижнюю цену игры - α
.
Таблица 1
| | Стратегии "B" | | ||
| Стратегии "A" | B1 | B2 | B3 | Минимумы строк |
| A1 | 4 | 11 | 8 | 4* |
| A2 | 11 | 6 | -1 | -1 |
В нашем случае нижняя цена игры равна: α = 4, и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 4 мы должны придерживаться стратегии A1
Определим верхнюю цену игры - β
Таблица 2
| | Стратегии "B" | | ||
| Стратегии "A" | B1 | B2 | B3 | Минимумы строк |
| A1 | 4 | 11 | 8 | 4* |
| A2 | 11 | 6 | -1 | -1 |
| Максимумы столбцов | 11 | 11 | 8+ | |
В нашем случае верхняя цена игры равна: β = 8, и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 8 противник ( игрок "B") должен придерживаться стратегии B3
Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они различаются, т.е. α ≠ β, платежная матрица не содержит седловой точки. Это значит, что игра не имеет решения в чистых минимаксных стратегиях, но она всегда имеет решение в смешанных стратегиях.
Сравнивая стратегии B2 и B3 (см. Табл.2) видим, что B2 является заведомо невыгодной относительно B3, поэтому удалим стратегию B2 из платежной матрицы и получим игру представленную в таблице 3.
Таблица 3
| | Стратегии "B" | |
| Стратегии "A" | B1 | B3 |
| A1 | 4 | 8 |
| A2 | 11 | -1 |
Из последней таблицы (табл. 3) видно, что игроку "A" следует искать свою оптимальную стратегию, смешивая случайным образом стратегии A1 и A2, а игроку "B" стратегии B1 и B3.
Находим оптимальную частоту стратегии A1:
| p1 = |
| ( 3 ) |
В данной задаче:
| p1 = |
| = |
|
Вероятность р2 найдем вычитанием р1 из единицы:
| p2 = 1 - p1 = | 1 | - |
| = |
|
Находим цену игры подставив р1, р2 в уравнение (1) :
| v = k11p1 + k21p2 = | 4 | · |
| + | 11 | · |
| = |
|
| Находим оптимальную смешанную стратегию для игрока "B": |
|
где: q1 , q3 - вероятности (частоты) с которыми применяются соответственно стратегии B1 и B3
Если игрок "A" будет пользоваться чистой стратегией A1, то средний выигрыш v составит:
k11q1 + k13q3 = v ( 4 )
Поскольку цена игры v нам уже известна и учитывая, что q1 + q3 = 1, то оптимальная частота стратегии B1 может быть найдена как:
| q1 = |
| ( 5 ) |
В данной задаче:
| q1 = |
| = |
|
Вероятность q3 найдем вычитанием q1 из единицы:
| q3 = 1 - q1 = | 1 | - |
| = |
|