ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Подход оптимиста
Критерий Гермейера.
Преобразуем матрицу в соответствии с методом Гермейера:
eij=aij·qj, если aij < 0
eij=aij/qj, если aij > 0
Далее к этой матрице применяется принцип максимина. Таким образом, новую матрицу необходимо дополнить справа еще одним столбцом, в который нужно внести наименьшие значения элементов каждой строки. Затем из элементов добавленного столбца нужно выбрать наибольший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией.
| Ai | П1 | П2 | П3 | П4 | min(eij) |
| A1 | 18.571428571429 | 17.857142857143 | 18.714285714286 | 17.142857142857 | 17.142857142857 |
| A2 | 17.428571428571 | 19.428571428571 | 17 | 17.571428571429 | 17 |
| A3 | 16.571428571429 | 17.285714285714 | 18.285714285714 | 17.142857142857 | 16.571428571429 |
| A4 | 16.428571428571 | 17 | 17 | 16.857142857143 | 16.428571428571 |
| pj | 0.7 | 0.7 | 0.7 | 0.7 | |
Выбираем из (17.142857142857; 17; 16.571428571429; 16.428571428571) максимальный элемент max=17.14
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1.
Задание 3
| Игроки | B1 | B2 | B3 | a = min(Ai) |
| A1 | 9 | 10 | 8 | 8 |
| A2 | 11 | 8 | 9 | 8 |
| A3 | 10 | 9 | 11 | 9 |
| b = max(Bi) | 11 | 10 | 11 | |
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 9, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 10.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 9 ≤ y ≤ 10. Находим решение игры в смешанных стратегиях.
Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:
найти минимум функции F(x) при ограничениях (для игрока II):
9x1+11x2+10x3 ≥ 1
10x1+8x2+9x3 ≥ 1
8x1+9x2+11x3 ≥ 1
F(x) = x1+x2+x3 → min
найти максимум функции Z(y) при ограничениях (для игрока I):
9y1+10y2+8y3 ≤ 1
11y1+8y2+9y3 ≤ 1
10y1+9y2+11y3 ≤ 1
Z(y) = y1+y2+y3 → max
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции Z(Y) = y1+y2+y3 при следующих условиях-ограничений.
9y1+10y2+8y3≤1
11y1+8y2+9y3≤1
10y1+9y2+11y3≤1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
9y1+10y2+8y3+y4 = 1
11y1+8y2+9y3+y5 = 1
10y1+9y2+11y3+y6 = 1
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: y4, y5, y6
Пвободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
Y0 = (0,0,0,1,1,1)
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 |
| y4 | 1 | 9 | 10 | 8 | 1 | 0 | 0 |
| y5 | 1 | 11 | 8 | 9 | 0 | 1 | 0 |
| y6 | 1 | 10 | 9 | 11 | 0 | 0 | 1 |
| Z(Y0) | 0 | -1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
min (1 : 8 , 1 : 9 , 1 : 11 ) = 1/11
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (11) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | min |
| y4 | 1 | 9 | 10 | 8 | 1 | 0 | 0 | 1/8 |
| y5 | 1 | 11 | 8 | 9 | 0 | 1 | 0 | 1/9 |
| y6 | 1 | 10 | 9 | 11 | 0 | 0 | 1 | 1/11 |
| Z(Y1) | 0 | -1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | |
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y6 в план 1 войдет переменная y3.
Получаем новую симплекс-таблицу:
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 |
| y4 | 3/11 | 19/11 | 38/11 | 0 | 1 | 0 | -8/11 |
| y5 | 2/11 | 31/11 | 7/11 | 0 | 0 | 1 | -9/11 |
| y3 | 1/11 | 10/11 | 9/11 | 1 | 0 | 0 | 1/11 |
| Z(Y1) | 1/11 | -1/11 | -2/11 | 0 | 0 | 0 | 1/11 |
Итерация №1.
min (3/11 : 35/11 , 2/11 : 7/11 , 1/11 : 9/11 ) = 3/38
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (35/11) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | min |
| y4 | 3/11 | 19/11 | 38/11 | 0 | 1 | 0 | -8/11 | 3/38 |
| y5 | 2/11 | 31/11 | 7/11 | 0 | 0 | 1 | -9/11 | 2/7 |
| y3 | 1/11 | 10/11 | 9/11 | 1 | 0 | 0 | 1/11 | 1/9 |
| Z(Y2) | 1/11 | -1/11 | -2/11 | 0 | 0 | 0 | 1/11 | |
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y4 в план 2 войдет переменная y2.
Получаем новую симплекс-таблицу:
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 |
| y2 | 3/38 | 1/2 | 1 | 0 | 11/38 | 0 | -4/19 |
| y5 | 5/38 | 5/2 | 0 | 0 | -7/38 | 1 | -13/19 |
| y3 | 1/38 | 1/2 | 0 | 1 | -9/38 | 0 | 5/19 |
| Z(Y2) | 2/19 | 0 | 0 | 0 | 1/19 | 0 | 1/19 |
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 |
| y2 | 3/38 | 1/2 | 1 | 0 | 11/38 | 0 | -4/19 |
| y5 | 5/38 | 5/2 | 0 | 0 | -7/38 | 1 | -13/19 |
| y3 | 1/38 | 1/2 | 0 | 1 | -9/38 | 0 | 5/19 |
| Z(Y3) | 2/19 | 0 | 0 | 0 | 1/19 | 0 | 1/19 |