Файл: методичка по математике для агро и зоо.docx

Если y=f(u), а u=u(x), то y=f(u(x)) – сложная функция от х. Производная сложной функции равна произведению этой функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной x:

Запишем теперь таблицу производных основных элементарных функций, давая рядом формулы для сложной функции.

Примеры решения задач.

Задача 6.

Найти производные следующих функций:

Решение

А) Введем дробные и отрицательные показатели степени, вспомнив, что:

Получим

Применив правило дифференцирования аналитической суммы (3), правило вынесения постоянного множителя за знак производной (5), правило (1), а также формулу для производной степенной функции, получаем:

откуда, используя формулы (*), (**), имеем:

б) По правилу дифференцирования произведения (4) и табличные формулы получаем:

в) Применяем правила дифференцирования дроби (6), суммы (3) и табличные формулы:

г) Применив (**), запишем функцию в виде степени , а затем применим формулу производной сложной функции:

Ответ запишем, применив (*), (**):

д) Применив формулу производной сложной функции и формулы таблицы производных, получаем:

Так как =, тооткуда умножив числитель и знаменатель на2, получаем ответ:

Задача 7.

Найти дифференциал функции:

Решение

Запишем функцию иначе:

По определению, дифференциал dy функции y = f(x) вычисляется по формуле

Поэтому сначала найдем производную данной функции, применив правила дифференцирования суммы (3) и произведения (4), формулу производной сложной функции и формулы таблицы производных:

Заметив, что 2sinx cosx = sin2x и вынося их из последних двух слагаемых за скобку ,

Получаем :

Найдем теперь дифференциал y: .

Тема 5. Применение производной к исследованию функций.

Основные вопросы теории.

Теоремы о возрастании и убывании функции.
Экстремум функции. Необходимое условие существование экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия существования экстремума.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на заданном отрезке.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба графика функции. Дифференциальные признаки выпуклости, вогнутости кривой и точки перегиба
Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Примеры решения задач.

Задача 8. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

Решение:

Известно, что функция возрастает на тех интервалах, на которых ее первая производная положительна, и убывает там, где ее первая производная отрицательна. Границами интервалов возрастания и убывания функции являются точки экстремума. Из необходимого условия существования экстремума следует, что у дифференцируемой функции точки экстремума являются стационарными(критическими), т.е. в точках экстремума

Найдем стационарные точки заданной функции обращается в нуль.

Когда

На числовой оси отложим найденные значения На полученных интервалах определим знак производной:

Таким образом, функция f(x) возрастает при

и f(x) убывает при

Задача 9.

Исследовать на экстремум функцию задачи 8.

Решение

Дифференцируемая функция имеет в критической точке экстремум, если меняет знак при переходе через точку В данном случае при переходе через критические точки

Первая производная меняет знак, поэтому в этих точках есть экстемумы. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум:

При переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке функция имеет минимум:

Задача 10.

Найти интервалы вогнутости и выпуклости перегиба графика функции

Решение:

Известно, что если вторая производная функцииy = f(x) положительна (отрицательна) на некотором промежутке, то график такой функции на этом промежутке вогнутый (выпуклый). График функции имеет при точку перегиба, еслии вторая производнаяменяет свой знак при переходе через эту точку.