Файл: методичка по математике для агро и зоо.docx

Решение.

1. Данная функция является многочленом, поэтому определена и непрерывна на всей действительной оси, т.е. при

Так как не выполняются ни равенства f(-x) = f( x) (что явилось бы признаком четной функции), ни f(-x) = -f(x) ( что свидетельствовало бы о нечетности функции), то данная функция общего вида.

3. При , т.е. точки графика с возрастанием |х| удаляются наверх.

4. Точки пересечения графика с осью ОХ найдем, приравняв y к нулю:

или , отсюда х = 0 или х = 4, т.е. график функции пересекает ось ОХ в точках О(0;0) и А(4;0)

Находя точки пересечения графика с осью OY и подставляя для этого в формулу функциональной зависимости значение х = 0, получаем ту же точку О(0;0).

5. Найдем промежутки возрастания и убывания (монотонного изменения) функции и точки экстремума.

Первая производная функции

Критические точки найдем из условия (необходимого условия экстремума дифференцируемой функции):

Эти точки разделили действительную ось на три промежутка: [], [], [].

Исследуя знак на каждом промежутке, убеждаемся, что припервая производнаяи, следовательно, функция убывает, а припервая производная, т.е. функция возрастает.

Результаты исследования схематически изображены на рис.4.

В критической точке x=3 – производная меняет свой знак с минуса на плюс, следовательно,x = 3 – точка минимума.

Итак, получена еще одна точка графика функции: B(3;-6.75).

6. Исследуем теперь формулу графика и найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции и, приравняв её к нулю, вычислим корни получившегося уравнения:

Точки х=0 и х=2 разбивают числовую ось на три промежутка[],[0;2],[2;+]

Исследуя знак на каждом промежутке, видим, что:

При и график функции вогнутый;

При и график функции выпуклый;

При и график функции вогнутый;

Схематически результаты исследования изображены на рис.5:

В точках х=0 и х=2 есть перегиб, так как в них вторая производная равна нулю (т.е. выполняется необходимое условие существования точки перегиба) и меняет знак при переходе через эти точки (выполнено и достаточное условие существования точки перегиба).

Вычислим ординаты точек перегиба:

Итак, О(0;0) и С(2;4) – точки перегиба.

7. На основании всех полученных данных строим график функции. Для этого отмечаем на плоскости XOY найденные точки О, А,В и С. Можно найти координаты дополнительных точек. Найдем например,

Итак, Д(-1;1.25) – дополнительная точка графика.

Замечание1. При построении графика функции нужно иметь ввиду, что на участках выпуклости график функции расположен под касательной, проведенной в любой точке, а на участках вогнутости, наоборот, - над касательной. В точках перегиба график переходит с одной стороны касательной на другую (см. рис.6, точки О и С).

В экстремальных точках касательная параллельна оси ОХ (см. рис6, точка В).

Замечание2. Для нахождения точек экстремума можно пользоваться и вторым достаточным условием: если в критической точке вторая производная дифференцируемой функции отлична от нуля, то в этой точке есть экстремум. Это максимум, если , и минимум, если.

Например, в задаче 11, х=0, х=3 - критические точки.

Найдем в этих точках ;, поэтому, требуется исследовать знакследовательно, в точке х=3 функция имеет минимум.

Задача 12. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке []

Решение

Данная функция, являлась многочленом, непрерывна на заданном отрезке и, следовательно, достигает на нем своего наименьшего и наибольшего значений. Для того, чтобы их найти, поступим следующим образом.

1. Найдем критические точки, принадлежащие данному отрезку, и вычислим в них значения функции (не исследуя на экстремум):

Данному отрезку принадлежат критические точки х =0 и х=1.

2. Вычислим значения функции на концах отрезка:

3. Сравнивая полученные результаты f(2)= - 8, f(0)=0, fвыбираем из них наибольшее и наименьшее значения и получаем:

Наименьшее значение функции на данном отрезке –f(2)= -8,

наибольшее ее значение – f(1)=1.

Тема 6. Неопределенный интеграл.

Основные вопросы теории.

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

2. Основные методы интегрирования.

Для справок приводим таблицу основных интегралов

Свойства неопределенного интеграла:

Примеры решения задач.

Задача 13. Найти интегралы:

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, введя дробные и отрицательные показатели степени( см.(*) и (**)) на стр 16.), затем применим свойства неопределенного интеграла и табличные формулы

б) применяя свойства неопределённого интеграла и формулы (4), (6) таблицы интегралов, получим:

в) Воспользуемся тем, чтоа затем выполним деление под знаком интеграла:

Записав полученный интеграл в виде разности двух интегралов, по формулам (8) и (1) таблицы получим:

г) Раскрыв скобки и записав интеграл в виде разности интегралов, а затем применив формулы (5) и (9) таблицы, имеем:

Все рассмотренные неопределенные интегралы найдены при помощи свойств неопределённого интеграла, простейших тождественных преобразований и основных табличных интегралов.

В более сложных случаях, когда этот способ не позволяет получить результат, иногда помогает переход к новой переменной (интегрирование подстановкой). В таких случаях целесообразнее пользоваться таблицей интегралов, в которой за аргумент принимается переменная u = u(x), являющаяся дифференцируемой функцией переменной x.

Приведём эту таблицу.

1а.

2a.

3a.

4a.

5a.

6a.

7a.

8a.

9a.

10a.

11a.

12a.

13a.

14a.

Задача 14. Найти:

а) б)

в) г)

Решение.

а)

Если ввести переменную z = 7x+3 и найти дифференциалы обеих частей равенства 7х+3 = z, то получим 7dx = dz, откуда и поэтому