Файл: методичка по математике для агро и зоо.docx

где ∆ главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных; ∆x, ∆y, ∆z–вспомогательные определители системы, которые получаются из главного определителя путем замены столбца коэффициентом при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.

Составим и вычислим определители системы:

∆==2·– (- 1)·+3·= - 52

∆х== 4·-(-1)·+3·= - 52

∆y== 2·- 4+3 ·= 104

∆z== 2·- (-1) ·+ 4 ·=0

По формулам Крамера находим:

x = = -2,z = .

Выполним проверку, поставив найденные значения неизвестных в уравнениях системы:

2·1-(-2)+3·0=4,

5·1+2·(-2)-2·0=1,

1-3·(-2)+0=7.

Равенства выполняются, следовательно, система решена правильно.

Итак, для донной системы x=1, y=-2, z=0.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.

Основные вопросы теории.

1. Прямоугольная система координат на плоскости.

Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении. Текущие координаты.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в «отрезках». Пересечение двух прямых.

3. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

4. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Примеры решения задач.

Задача 4. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В(2;6) и С(7;1).

Найти:

1. Уравнение стороны ВС;

2. Уравнение высоты, проведенной из вершины А;

3. Длину этой высоты;

4. Уравнение медианы, проведенной из вершины С;

5. Уравнение средней линии треугольника, параллельной АС;

6. Уравнение окружности, для которой сторона АВ служит диаметром.

Решение.

1. Для составления уравнения прямой ВС пользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки

=.

причем безразлично, координаты какой из двух данных точек принять за и, а какой заи, лишь бы не изменять порядок индексов приxиy в правой и левой чпстях уравнения. Возьмем, например, так: =.

Подставив в это уравнение координаты точек = 2,=6,=7,получим

Откуда, умножив обе части уравнения на -5, имеем у-6=-х+2, или у=-х+8.

Итак, уравнение стороны ВС имеет вид: у=-х+8.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀) в заданном направлении имеет вид:

у-у₀₌k∙(х-х₀).

Так как высота AD проходит через точкуА перпендикулярно стороне ВС, в качестве х₀ и у₀ возьмём координаты точки А(-2,0), а угловой коэффициент k найдём из условия перпендикулярности двух прямых:

Так как k_BC=-1, то k_АD=1, и уравнение высоты AD примет вид: у=х+2.

3. Чтобы найти длину высоты AD, найдём координаты точки Dпересечения прямых BC и AD, решив систему уравнений:

Сложив почленно обе части этих уравнений, имеем 2у=10, откуда y=5; вычитая их почленно, получаем 0=-2х+6, 2х=6, х=3.

Следовательно, D(3,5).

Теперь найдём длину AD как расстояние между точками A(-2,0) иD(3,5), подставив координаты точек A и D в формулу

Получим:или

4. Чтобы написать уравнение медианы СЕ, надо найти координаты точки Е – середины стороны АВ. Находим их, применив формулы:

,

т.е.

Уравнение медианы запишем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

7y-21=-2xили 2x+7y-21=0 – уравнение медианы СЕ.

5. Уравнение средней линии EF будем искать в виде уравнения прямой через данную точку в заданном направлении (см. п.2).

Эта прямая проходит через точку Е параллельно прямой АС, поэтому в качестве х₀ и у₀ возьмём координаты точки Е, а угловой коэффициент найдём из условия параллельности прямых: k_EF= k_AC.

угловой коэффициент прямой _АС Так как А(-2,0) и С(7,1), то

Следовательно,

Итак, уравнение средней линии EF имеет вид:

Следовательно,

6. Уравнение окружности с диаметром АВ ищем в виде:

Где (x₀;y₀) –координаты центра окружности, т.е. точки E(0;3), а R = AE–радиус окружности.

Следовательно, уравнение окружности: x² + (y – 3)² = 13.

Построим треугольник АВС и все упомянутые линии в прямоугольной системе координатXOY:

Тема 3. Введение в математический анализ.

Основные вопросы теории:

1. Переменная величина и область ее изменения. Понятие функции. Область определения функции.

2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3. Предел переменной величины. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

4. Бесконечно малая величина. Теоремы о бесконечно малых величинах. Бесконечно большая величина.

5. Сравнение бесконечно малых величин.

6. Первый замечательный предел:

7. Второй замечательный предел: число е; натуральный логарифм. Раскрытие простейших неопределителей.

8. Приращение аргумента и приращение функции.

9. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва функции.

Примеры решения задач.

Задача 5. Найти пределы указанных функций:

Решение:

Данная дробно-рациональная функция при предельном значении аргумента х = 3 имеет знаменатель, отличный от нуля, и является непрерывной. Поэтому для нахождения ее предела при х → 3 достаточно аргумент х заменить его предельным значением, а именно:

Числитель и знаменатель дроби – непрерывные функции и при х → 1 знаменатель есть величина бесконечно малая, а числитель имеет конечный предел, отличный от нуля. Итак, под знаком предела находится произведение функции х² + 2х +3, имеющей конечный предел, отличный от нуля, на функцию , которая при х →1 является бесконечно большой величиной как величина, обратная бесконечно малой величине. Поэтому данная функция является бесконечно большой. Условно это обозначается символом ∞.

Следовательно,

если непосредственно в данную функцию подставить вместо х его предельное значение

-3, то получим выражение вида – неопределённость. В подобных случаях числитель и знаменатель необходимо разложить на множители, сократить дробь и затем перейти к пределу.

В числители находится квадратный трёхчлен вида ах² + вх + с, корни которого находим по формуле: а именно, т.е.

Так как

то

Знаменатель разложим на множители, вынося общий множитель х за скобки и применив формулу разности квадратов

Итак, .

Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как и числитель и знаменатель конечного предела не имеют. В этом случае говорят, что имеет место неопределённость вида . В подобных примерах для раскрытия такой неопределённости можно разделить числитель и знаменатель на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу. Деля числитель и знаменатель дроби на х² и используя теоремы о пределах и свойства бесконечно малых величин получаем:

При х→∞ числитель и знаменатель дроби являются бесконечно большими величинами, т.е. имеем неопределённость . Разделив числитель и знаменатель дроби на х³, перейдём к пределу при х →∞:

Тема 4. Производная и дифференциал функции.

Основные вопросы теории:

1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрический смысл производной.

2. Правила дифференцирования. Производная суммы и произведения нескольких функций. Дифференцирование сложной функции.

3. Формулы дифференцирования основных элементарных функций.

4. Понятие о дифференциале функции. Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции.

5. Производная второго порядка.