Файл: методичка по математике для агро и зоо.docx

M(x²)=(-1)²·0,1+0²·0,2+2²·0,3+4²·0,3+7²·0,1=0,1+1,2+4,8+4,9=11,0.

Тогда D(X)=11,0-(2,4)²=11,0-5,76=5,24.

3. Среднее квадратическое отклонение

4. Для графического изображения закона распределения в виде многоугольника распределения на оси абсцисс откладываем возможные значения случайной величины, по оси ординат – вероятности этих значений; полученные точки соединяем отрезками прямых.

Вычисленное значение математического ожидания откладываем от начала координат по оси абсцисс.

Задача 24.

Вес плода – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием 5г и средним квадратическим отклонением 0,4г.

Определить: 1) процент плодов, вес которых заключён между 4г и 5,5г;

2) процент плодов, имеющих вес свыше 4,5г;

3)величину, которую не привысит вес плода с вероятностью 0,95.

Решение.

Пусть непрерывная случайная величина Х – вес плода.

1. Вероятность попадания на заданный интервал (α,β) непрерывной случайной величины Х, подчинённой нормальному закону с параметрами α, σ, т.е. ХϵN(α,σ), вычисляются по формуле:

Где - функция Лапласа, а=М(Х), σ=σ(Х).

В этой задаче а=М(Х)=5г. σ=σ(Х)=0,4г, α=4г, β= 5,5г, поэтому

В силу нечётности функции Лапласа Ф(-2,5)=-Ф(2,5). По таблице 2 приложения находим Ф(1,25)=0,3944, Ф(2,5)=0,4938.

Таким образом, Р(4<X<5,5)=0,3944+0,4938=0,8822.

Итак 88,82% плодов имеют вес от 4г до 5,5т

2. Требуется найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения, больше 4,5г.

Здесь использован тот факт, что функция Лапласа Ф(х)=0,5, если х>5, т.е. Ф(+∞)=0,5.

Следовательно 89,44% плодов имею вес свыше 4,5г.

3. Обозначим искомую величину ϒ. Находим ее из условия Р(Х<ϒ)=0,95 или Р(-∞<Х<ϒ)=0,95. Выражение для вероятности в левой части равенства запишем через функцию Лапласа:

Итак, , отсюда находим значение функции Лапласа

По таблице 2 приложения находим значение аргумента, при котором значение функции Ф(х) равно 0,45;

Таким образом, вес наугад взятого плода не будет превышать 5,656г с вероятностью 0,95.

Тема 12. Основные сведения из математической статистики.

Основные вопросы теории.

1. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора статистических сведений. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Статистическое распределение выборки.

2. График статистического распределения. Полигон и гистограмма.

Примеры решения задач.

Задача 25

Построить вариационный ряд и полигон относительных частот числа зерен в главном колосе пшеницы, если результаты обследования 20 растений оказались такими:20; 19; 21; 21; 21; 20; 22; 20; 21; 18; 20; 20; 18; 19; 22; 20; 21; 17; 20; 20.

Решение.

Полученные результаты наблюдений (варианты) располагаем в порядке возрастания: 17; 18; 18; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22.

Определим частоты различных вариант. Варианта 17 встречается 1 раз, следовательно, ее частота m₁=1; для варианты 18, встречающейся 2 раза, m₂=2; для варианты 19 m₃=2; частота варианты 20 m₄=8, варианты 21 – m₅=5 и наконец частота варианты 22 m₆=2.

Относительные частоты вариант выборки находим по формуле , гдеi=1,2,3,4,5,6, а m_i– частоты, n – объем выборки.

Итак,

Для контроля правильности вычислений суммируем найденные относительные частоты:

Результаты вычислений оформляем в виде таблицы 3 которая называется вариационным рядом или рядом распределения.

Таблица 3.

Ряд распределения числа зерен в главном колосе пшеницы.

Построим полигон относительных частот. Для этого в прямоугольной системе координат по горизонтальной оси откладываем значения вариант х₁, а по вертикальной оси - относительные частоты w₁. После чего последовательно соединяем концы ординат отрезками. Полученная фигура называется многоугольником или полигоном относительных частот.

Задача 26.

Известна длина главного колоса 20 растений пшеницы в см: 4,2; 7,7; 6,1; 10,3; 9,5; 8,5; 8,3; 7,2; 10,1; 10,3; 9,7; 11,3; 13,6; 10,2; 9,3; 9,5; 9,2; 12,5; 5,3; 6,5.

Получить интервальный ряд распределения длины колоса и начертить его гистограмму.

Решение.

Записываем данные выборки в порядке возрастания: 4,2; 5,3; 6,1; 6,5; 7,2; 7,7; 8,3; 8,5; 9,2; 9,3; 9,5; 9,5; 9,7; 10,1; 10,2; 10,3; 10,3; 11,3; 12,5; 13,6.

Диапазон изменения вариант в выборке составляет 4-14. Разобьём этот диапазон на пять интервалов, взяв длину интервала, равную 2 (∆х₁ =2). Получим пять интервалов: первый 4-6, второй 6-8, третий 8-10, четвёртый 10-12, пятый 12-14.

Вычислим частоту попадания вариант в каждой из этих интервалов. В первый интервал попадает два значения (4,2; 5,3), поэтому m₁=2, во второй – четыре значения (6,1; 6,5; 7,2; 7,7), следовательноm₂=4. Аналогично получаем: m₃=7, m₄=5, m₅=2.

Определим относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

Проводим контроль, суммируя относительные частоты:

Вычислим плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты w₁к размеру ∆х₁=2 интервала:

Результаты расчётов оформим в виде таблицы 4.

Таблица 4.

Для графического изображения интервального вариационного ряда построим гистограмму. Для этого на оси абсцисс откладываем интервалы значений признака и на каждом из них как на основании, строим прямоугольник, с высотой, равной соответствующей плотности относительных частот.

Эта столбчатая диаграмма (рис.11) и называется гистограммой относительных частот.