Файл: Геометрия.doc

:

.

Составим определитель вида , где , ,

.- ур-ие искомой пл-ти.

Задача 4 определить тип поверхности

Решение:

Сгруппируем

Упростим и получим выражение вида

Рассмотрим общий вид уравнения эллипсоида

Где a,b,c- полуоси,(0,0,0)- центр.

Следовательно уравнение это уравнения эллипсоида со смещенным центром (2,-1,2)и полуосями .

---------------------------------------------------------------

5.парабола с параметром расположена на плоскости так, что директриса совпадает с осью . написать ур-ие поверхности, образованной вращением параболы вокруг оси

Решение:

Найдем ур-ие пов-ти вращения. В общем виде:

.

найдем из ур-ия линии , ,

---

Подставим в общее ур-ие

- искомое ур-ие пов-ти в общем виде.

Для :

Ответ: .

6.привести к каноническому виду ур-ие пов-ти .

Решение.

Сделаем замену: .

------------------------------------------------------------------------------------------------

7.являются ли непрерывными и гомеоморфными отображения:

А), где - единичная окружность, заданная по правилу :

Решение:

, ,

существует

Опред. Отображение наз непрер в , если для окрестности точки найдется окрестность :

---

По определ имеем ,.

Определение выполняется для точки отображение непрерывно.

Опред. Отображение наз гомеоморфным, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно

Очевидно, что - непрерыв.отображ, но и обратное отобр.

нет явл непрерыв, т.к.происходит разрыв в т окружности .

обратное отображение не явл непрерывным

не явл гомеоморфизмом.

Б), где - полуокружность единичной окружности , расположенная в полуплоскости , заданная по правилу:

Решение

: отображ непрер. Аналогично обратное отображение

также непрерывно

Ответ : это гомеоморфизм по определению.

8.Показать что интервал гомеоморферфен числовой прямой, полуинтервал гомеоморфен лучу, а интервал - открытому лучу.

---

Решение.

Рассмотрим функциюс, , .

График функции задает отображение , где -ось . отображение явл биективным (взаимно однозначным).

Докажем это. Действит-но, каждая т на оси соответствует 1 и только одной точке интервала.

Непрерывность очевидна из графика. По определению для окрестности для окрестность точки , такая , что .

отображение непрер для точки отображение непрер. Ч.т.д.

Аналогично обратное отображение также непрерывно. -гомеоморфизм ( - гомеоморфен). Сужение этого отображения на дает гомеоморфизм. - замкнутый луч (мн-во всех неотриц чисел). Сужение дает гомеоморфизм - открытый луч.

---

---