Файл: Геометрия.doc

Однополостным гиперболоидом назыв пов-ть, кот в некот системе декарт прямоуг корд-т, опред ур-ем . Двуполостным гиперболоидом наз пов-ть, определ

у р-ем

Поверхность, кот в некот декарт ПСК опред ур-ем вида , наз конусом 2-го проядка. Эллиптическим параболоидом наз пов-ть, определ ур-ем

Гиперболическим параболоидом - пов, определ ур-ем Эллиптич цилиндр Гипербол цилиндр

Параб цилиндр Мнимый цилиндр Общее ур-ие цилиндра . Если лев часть этого ур-ия есть произведение двух множителей первой степени, то цилиндр вырождается в пару плоскостей.

---

Б1.В3Топологич пр-ва.Гомеоморф.Примеры

Б.1 В.4 Понятие линии и поверхности в евкл-ом пр-ве. Гладкие линии и пов-ти. примеры первая квадратичная форма пов-ти Пусть Е₃ – евклидово трехмерное пространство с пространством переносов V. Зададим п.с.к. . Положение точки М, движущейся в пространстве Е₃ (рис.1), в момент времени tI определяется радиус – вектором точки М относительно п.с.к. . Т.о., имеем векторную ф-ию скалярного аргумента tI =, (1) причем M(x(t), y(t), z(t) ) в п.с.к. в момент времени t.Опр 1: Равенство (1) называется законом движения точки (частицы) M в системе . Если время t изменяется в промежутке I, то точка M описывает в пространстве E₃ некоторую траекторию.

Опр 2: Если закон движения (1) устанавливает гомеоморфизм промежутка I на траекторию M, то эта траектория называется элементарной линией. Опр 3: Простейшими линиями в пространстве E₃ называются прямые, отрезки и замкнутые лучи. Очевидно, что определение 2 эквивалентно следующему определению:

---

О пр2’: Фигура γ₀ E₃ наз-ся элементарной линией (или элементарной кривой), если она гомеоморфна одной из простейших линий

Элементарная линия Неэлементарная линия

Замечание: Фигура, гомеоморфная отрезку, наз-ся дугой. Зададим гомеоморфизм f : Rd по след правилу: на прямой d рассмотрим систему координат, тогда каждому числу tR: поставим в соответствие точку М (t) (т.е. такую точку М, что) прямой d .

M(t) d

Рис.3

Очевидно, что в гомеоморфизме f числовая прямая переходит в прямую d, числовой интервал – в отрезок прямой d без концов; числовой отрезок – в отрезок, полуинтервал в отрезок без одного конца, который гомеоморфен лучу. Следовательно, любой числовой промежуток гомеоморфен одной из простейших линий. Поэтому определение 2 эквивалентно определению: Опр . Фигура γ₀ E₃ называется элементарной линией, если она гомеоморфна некоторому числовому промежутку. Примеры: 1) Полуокружность с концами А и В гомеоморфна отрезку (рис.4), поэтому полуокружность является элементарной линией (дугой).

---

Опр 4: Линией (кривой) называется фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных линий.

Из определения 4 следует, что если γ −линия, М – точка этой линии, то существует элементарная линия γ₀, такая, что М γ₀ γ. Примеры: 2) Гипербола состоит из двух ветвей, каждая из которых гомеоморфна прямой линии. Следовательно, гипербола – линия. И т.д. Опр 5: Точка М линии γ называется обыкновенной, если ε>0│ γ∩B(M,ε) является элементарной линией. Если пересечение гомеоморфно прямой, то точка называется внутренней, если лучу – то граничной (концом линии). Опр 6: Точка M₀ называется особой, если она не является обыкновенной.

M_{0 М}

Опр 7: Линия, все точки которой обыкновенные, называется простой. Примеры: Окружность, эллипс – простые, но не элементарные линии. Зам: 1)Всякая простая линия явл одномерным многообразием (или одномерным многообразием с краем). 2)Всякая простая линия либо является элементарной, либо гомеоморфна окружности.

Гладкие линии Опр 1: Элементарная линия γ_0, определяемая параметрическими уравнениями x=(x(t), y= y(t), z= z(t) (1) tI (t изменяется в промежутке I), называется гладкой линией класса С^k, где k – некоторое натуральное число, если функции x(t), y(t), z(t) имеют в промежутке I непрерывные производные до порядка k включительно, причем в каждой точке t).

ранг =1. (2)

---

гладкая прямая негладкая прямая

Замечание: Аналитически условие (2) означает, что производные не обратятся в нуль одновременно ни при каком значении tI. Пр 1:

Синусоида на плоскости определяется ур-ми .

условие (2) выполнено. Сл, синусоида – гладкая линия класса С ^∞.Опр 3: Линия γ называется кусочно-гладкой, если область U можно покрыть не более как счетным множеством промежутков I_k, внутри каждого из которых уравнения (1) определяют гладкую линию (на концах этих промежутков требование гладкости может нарушаться).не выполняется.

Понятие поверхности. На евклидовой плоскости E₂ зададим прямоугольную систему координат и рассмотрим гомеоморфизм φ: Е₂ →R² по правилу: (M(x;y)E₂) φ(M)=(x;y); (x;y) R² - точка в R² (арифметическом пространстве). Таким образом, можно отождествить числовое пространство R² с плоскостью E₂, числовое полупространство R²₊ с замкнутой полуплоскостью y0; числовой квадрат с квадратом OABC.

Опр 1: Простейшей поверхностью в пространстве E₃ будем называть любую из следующих фигур: плоскость, замкнутую полуплоскость, квадрат. Опр 2: Элементарной поверхностью называется фигура, гомеоморфная какой-либо из простейших поверхностей (или, что то же самое, некоторому двумерному промежутку G R²). Примеры: Эллиптический, гиперболический параболоиды; параболический цилиндр гомеоморфны пл-ти; полусфера с границей гомеоморфна кругу и т.д.

---