Файл: Геометрия.doc

9.Найти эйлерову характеристику сферы .

Решение. Сфера в 3-мерном пространстве – это 2-мерное компактное связное отделимое многообразие без края.

Впишем в сферу тетраэдр - треугольная пирамида симплекс-3-мерном пр-ве

Тетраэдр - двумерное компактное связное отделимое многообразие без края.

Рассмотрим ортогональное проектирование из центра такое, что для ставим в соответствие . Ортогональное проектирование -это гомеоморфизм, т.е.оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно. и гомеоморфны.

Эйлерова характеристика , где - вершины, - ребра, -грани.

.

Но эйлерова характеристика – это топологический инвариант, т.е.она сохраняется при гомеоморфизмах..

эйлерова характеристика сферы .

Замечание. Эйлерова характеристика применима только к компактным многообразиям.

----------------------------------------------------------------------------------------------

10.найти точку пересечения касательной к линии , , в точке касания с плоскостью .

---

Решение.

,

Теорема. В каждой точке гладкой линии , заданной ур-ем , сущ-т касательная прямая, которая опред-ся точкой и направляющим вектором .

.

Т.к.рассматр.пересечение с , то координата по .

При имеем точку .

11. написать уравнение касательной плоскости и рнормали к геликоиду, заданному уравнениями , , , , , в точке .

Решение.

Уравнение касательной плоскости

Уравнение нормали:

В точке :

Найдем :

---

.

Уравнение касательной плоскости: .

Но , , . Поэтому

Уравнение нормали

12.найти первую квадратичную форму геликоида

, , , , .

Решение:

Квадр форма назыв первой квадратич формой поверхности .

, ,

---